一道高考试题的错解引发的思考

1、学习必备欢迎下载一道高考试题的错解引发的思考导数是高中新课程的新增内容，它也是研究函数性态的有力工 具。近年来高考中，关于导数的题目是常见的。然而，学生在解决 这些问题的过程中常常由于个别环节的疏忽而导致失误丢分。下面 就 20102010 年高考文科数学全国一卷中的第 2121 题在解答中的典型错误 谈谈自己所思考的问题，以提高解题的准确性。题目（20102010 年全国i文 2121）已知函数（i）当时，求的值（ii）若在上是增函数，求的取值范围其中第（i）问是容易作答，就不再阐述了。第（ii）问是关于 求字母参数取值范围的问题，也是学生容易出错的问题。笔者对学 生的解答过程记录如下：解：

2、第（ii）问. .由于在上是增函数，所以在上有成立，即，也就是，从而 时, 有. .令，(1 1) 当时, 显然成立; ;(2 2) 当时, 则，有；(3 3) 当时，则，有；学习必备欢迎下载综上可知然而，正确答案是.整体看这个解答的思路是没有问题的，那 么求解过程中是哪个环节出了问题？事实上，关于导数及其应用这一部分常会遇到两类题目：一类是 已知函数求其单调区间；另一类是已知函数的单调区间，求函数解 析式中字母参数得范围.20102010 年全国i文 2121 题第二问就属于第二 类问题.从这两类数学问题的本质来看，它们又是紧密联系的.为 了对本文中的错解进行深入探讨，现从下面两个问题进行探

3、讨：1 1 已知函数求其单调区间例 1 1 确定函数 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：函数的导数为.由，解得或. .因此，函数在和是增函数. .由，解得 O Ovx xv2 2.因此，函数在是减函数.这道题的求解是容易的.但稍微留心的学生便会产生一个疑问： 可不可以写成函数 在和是增函数.函数 在是减函数.答案是 肯定的.只不过是解答中所列的不等式 和 中没有等号罢了，因此 解出的不等式也没有等号.关于这部分内容，北师大版高中数学选修 1 1 1 1,第四章导数应用 中“导数与函数的单调性”这一节指出：学习必备欢迎下载导函数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：如果在某个区间内

4、，函数 的导数，则在这个区间上，函数 是增加的；如果在某个区间内，函数 的导数，则在这个区间上，函数 是 减少的.由于学生对教材知识理解的不到位，因此很多学生在解此类问题 时候，所列出的不等式都是 和，很少去思考能否写成 和.事实上， 在数学分析中导数与函数的单调性这部分内容有下面两 个定理一个推论是需要教师注意的：定理 1 1 若函数 在 内可导，则 在 内递增（递减）的充要条件 是 ，.定理 2 2 若函数 在 内可导，则 在 内严格递增（递减）的充 要条件是：1对一切，有；2在内的任何子区间上. .推论设函数在内可导.若，则在内严格递增（严格递减）.例 2 2 函数的单调区间.解：由，可

5、知函数 在区间 上是递增的.但还有这的错误解答：由，解得或. .所以函数在和上单调递增. .产生这样错误的原因在于对教材中给出的导函数的符号与函数 的单调性之间的关系理解不清楚，对教材中的结论生搬硬套.需要 注意得是，学习必备欢迎下载上面的推论只是严格单调的充分条件.如，虽然，但它在整个数轴上是严格递增的.从函数的连续性和凹凸性看，点是拐点，虽然在 点两侧的函数导数值符号相反，由于 在 上连续, 因此在整个数轴上，其图像是递增的.例 3 3 函数，求其单调区间.解：因为定义域是，所以函数在上是递减的.其实这个题目中 也可以写成，只是在这个分式中分子不为零， 所以写成更好一些.从上面的问题中，可

6、以看出用导数求解函数的单调区间时，所列 的不等式应该是和更严密一些，至于是否，可以结合函数的定 义域及式子本身的特征来进一步选取.这样以来，对于“已知函数 的单调区间，求函数解析式中字母参数得范围”的问题就不会出现 漏解、错解的现象.2 2 已知函数在某一区间单调，求函数解析式中字母范围例 4 4 已知，函数在时是单调递增函数.求 的取值范围.解法 1 1:因为函数 在 时是单调递增函数，所以在成立，所以，而在上，因此. .解法 2 2:由，解得或，学习必备欢迎下载所以函数 的单调增区间是 和. .由于在是单调递增函数，所以，得，因此. .对于解法 1 1,如果不注意列出，则势必造成漏解现象.

7、对于解法 2,2,看到在时是单调递增函数，但并不是说是函数的 单调增区间，只说明 可能是这个函数的单调区间的一部分.3 3 对 20102010 年高考文科数学全国一卷中的第 2121 题第（ii）问错 误的思考3.13.1正如例 4 4 的解法 2 2,对题意有准确的理解.20102010 年高考文 科数学全国一卷中的第 2121 题第（ii）问中： 在 上是增函数，并 不是说是函数的单调增区间，可能是函数的单调增区间的一部 分.3.23.2从例 1 1、例 2 2 中可看到，对于求函数的单调区间这样的问 题，是用（），还是（），对于问题的求解是没有影响的.而例3 3 需要考虑函数的定义域及其导函数的特征，所以写成比写成更好一些.3.33.3由例 4 4,可以看到对于已知函数在某一区间单调，求函数解析式中字母范围这类问题，就要认真分析、多加思考是用（）,还是（）.再看 20102010 年高考文科数学全国一卷中的第