数学必修五培优讲义-学生版

1、精选文档人教版高中数学必修五培优辅导拔高讲义第一章解三角形1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径，则占a有sinsin2R.sinC2、正弦定理的变形公式:2Rsin2Rsin,c2RsinC；sin3)sina.一,sin2RabcsinsinCbc,sinC2R2Raba:b:csin:sin:sinC；sinsinsinCc（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐

2、角）求B。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹与AD有无交点：1.当无交点则B无解、2.当有一个交点则B有一解、3.当有两个交点则B有两个解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：1.当a<bsinA,则B无解2.当bsinA<a<b,则B有两解3.当a=bsinA或a>b时，B有一解注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。D4、余弦定理：在SC1.一bcsin21,1-absinC-acsin22C中，有a2b222c2bccos,b3、三角形面积公式:2a2accos,c2a2b22abcosC.5、余弦定理的推论：cosb22c2

3、bccos2c2acb2,cosC2,2ab2ab（余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角）6、如何判断三角形的形状：设C的角C的对边,则：若a2b2c2,则C90°若a2b290°若a2b2CD7.正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,但不能到达，在岸边选取相距J3千米的C、D两点，并测得/ACB=75O,/BCD=45O,/ADC=30O,/ADB=45°(A、B、C、D在同平面内）,求两目标A、B之间的距离。8.三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点内心：三角形三内角

4、的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.第二章数列1、数列：按照一定顺序排列的一列数.2、数列的项：数列中的每一个数.3、有穷数列：项数有限的数列.4、无穷数列：项数无限的数列.5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：a+i>an）.6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：a+i<an）.7、常数列：各项相等的数列（即：an+i=an）.8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.9、数列的通项公式：表示数列an的第n项与序号n之间的关系的公式.10、数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项

5、an1（或前几项）间的关系的公式.11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差.符号表示：an1and。注：看数列是不是等差数列有以下三种方法:称为a与b的等差中项.D%1d(n2,d为常数)2anan1an1(n2)anknb(n,k为常数)12、由三个数a,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则ac一bac,则称b为a与c的等差中项.213、若等差数列an的首项是a1,公差是d,则sna114、通项公式的变形：斗 am nmd； a1 d；ana1an a)n1；ddanam15、若an是等差数列，且m n p

6、P、则amapal；若 an旦 TH差数列，且2n pp、q),则 2alap16、的前n项和的公式：Sn a1Snna)an17、等差数列的前n项和的性质：若项数为 2n nn斗不1 ,且S禺S nd,an.若项数为2n 1 nan 1S奇n 一，则 S2nl2n 1 an,且 S奇 G禺 an, (其中S禺 n 1na n , S偶n 1 an ) 18、如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比.符号表示:an 1anq （注：等比数列中不会出现值为0的项；同号位上的值同号）注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：a

7、n an 1q(n 2,q为常数，且 0)anan1an1（n2,anan冏10）ancqn（Gq为非零常数）.正数列an成等比的充要条件是数列logxan（x1）成等比数列.G2则称G为a与b的等比中项.（注：由G2 ab不能彳#出a, G,b成等比,G2ab)19、在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，则G称为a与b的等比中项.若20、21、通项公式的变形： ann amqanqan"；qa1am22、若an是等比数列，且mq（ m、),则anapaq ；若an数列，且 2 n p q （ n、p、),则2anap aq23、等比数列 an的前n项和的公式:Snna

8、q 1a1 1 qna.s!24、对任意的数列 an 的前n项和Sn与通项an的关系：anS1a1(n1)/注:sn Sn 1(n 2) L an a1 n 1 d nd a1d （ d可为零也可不为零一为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）一若d不为0,则是等差数列充分条件）.等差 an前n项和Sn An2 Bn-n2 a1 - n色可以为零也222可不为零一为等差的充要条件一若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件. 非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）25、几种常见的数列的思想方法：等差数列的前n项和为Sn ,在d 0

9、时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：一是求使an0, an1。，成立的n值；二是由Sn，n2（a1"2）n利用二若等比数列an的首项是a1，公比是q,则anaqn1o次函数图像是条直线，则口9工-用分析：因为是等差数列，所以“也是关于n的一次函数，27、等差数列瓦中，町=25 ,前n项和为如，若的二见7 , n为何值时知最大?分析：等差数列前n项和工可以看成关于n的二次函数d 3 z d.S 可松 +再一 心匕=,d J +q d区与）是抛物线J=22上的离散点，根据题意，/=/（"）次函数的性质求n的值数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下:数列通

10、项公式对应函数等差数列"理二口1+（晁-l）d="用+（曰-d）y-dx+b（H黄口时为一次函数）等比数列n-1口1n卜花二总10二一V4尸一典（指数型函数）数列前n项和公式对应函数等差数列-1）,d<d、州二盟呵+24=2用+（叼_2M2v=也jt+6工（鼻*Q时为二次函数）等比数列一皿上=_卫4+8_1-（71一4y-aqx+b（指数型函数）我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。26、等差数列U中，/二用器二甩，（想E同）则/他=（n,m）,（m,n）,（m+n,“如招

11、）三点共线，所以利用每两点形成直线斜率相等，即=o（图像如上），这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。则因为欲求工最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为E最大。28、递增数列"J对任意正整数n,%=用恒成立，求义10构造一次函数，由数列/递增得到：即+1一%口。对于一切於后短恒成立，即2抖1+九>°恒成立，所以'>一加+D对一切依eM,恒成立，设/00=一（2并+1）,则只需求出/的最大值即可，显然丁伊）有最大值,（D二-3,所以兄的取值范围是：>-3o2构造二次函数，%二同工十助看成函数/二八汨，它的定

12、义域是工1"三产），因为是递增数列，即函数了幻"/一”工为递增函数，单调增区间为U'*0）,抛物线对称轴2,因为函数f（x）月X=为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴2在工=L5以3<的左侧也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，£2,得用,一三如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前1 11n项和的推倒导万法：错位相减求和.例如：1,3,.（2n1）,2 42n两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是

13、两个数列公差d1，d2的最小公倍数.29.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：（1）定义法：对于n>2的任意自然数，验证,an2anan1（）为同一常数（2）通项公式法。（3）中项公式法：验证2an1anan2（an1anSn2）nN都an1成立。am0,，一一一30.在等差数列an中，有关S的取值问题：当a1>0,d<0时，满足的项数m使得sm取最am10大值.（2）当a1<0,d>0时，满足的项数m使得Sm取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用。二、数列求和的常用方法1 .公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列

14、。c2 .裂项相消法：适用于其中an是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的anan1数列等。3 .错位相减法：适用于anbn其中an是等差数列，bn是各项不为0的等比数列。4 .倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.2)1+3+5+.+(2n-1)=5 .常用结论1):1+2+3+.+n=n(n"23) 13 2322 n(n 1)4)122231 n(n 1)(2n61)n(n 2)2 n6)pq(p q)c； a b, c 0ac bc, ab,c0 ac bc a b, c3、acabbd an,n 1 ； a b,n元二次不等式：只含有一个未知数

15、,并且未知数的最高次数是2的不等式.第三章不等式1、ab02、不等式的性质:4、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸5.整式不等式（高次不等式）的解法穿根法（零点分段法）求解不等式：a0Xn a1Xn 1 a2Xn 2an 0( 0)(a00)X的系数化“ +”；（为了统一方便解法：将不等式化为a0（X-X1）（X-X2）（X-Xm）0（0）形式，并将各因式（自右向次根穿而不过，奇次根一穿而过），经过数轴上表示各根的点（为什么？）；若不等式（X的系数化I求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；由右上方穿线（即从右向左、从上往下：偶,兀一次方程ax2bxc0a0的根后两相异实根

16、xi,x2(xx2)后两相等实根bxix22a无实根ax2bxc0(a0)的解集xxx1或xx2xbx2aRax2bxc0(a0)的解集x|x1xx2对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。f(x)-f(x)f(x)-f(x)"一2.分式不等式的解法1)标准化：移项通分化为>0(或<0);>0(或&0)的形式,g(x)g(x)g(x)g(x)(2)转化为整式不等式(组)论)0g(x)f(x)g(x)0;-f-(x；0g(x)f(x)g(x)0g(x)03.含绝对值不等式的解法：基本形式：型如:|x|<a(a>0)的不等式的解集为

17、：x|axa型如|x|>a(a>0)的不等式的解集为x|xa,或xa变型|ax b| c(c 0)型的不等式的解集可以由x|caxbc解得。其中-c<ax+b<c等价于不等式组axbcaxbc在解-c<ax+b<c得注意a的符号。axbc(c0)型的不等式的解法可以由x|axbc,或axbc来解。对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法”f(0)0若两根有一根小于0根大于0,0,则有f(0)若两根在两实数m,n之间，即则有mf(m)f(n)b一n2a0若两个根在三个实数之间，即f(m)0则有f(t)0f(n)0常由根的分布情况来求解出现在a、

18、b、c位置上的参数5、二兀次不等式：含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式.2a6、二兀次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组.7、二兀次不等式（组）的解集：满足次不等式组的x和y的取值构成有序数对x,y的有序数对X,y构成的集合.8、在平面直角坐标系中，已知直线0,坐标平面内的点X0,y。若0,x0y0C0,则点X0,V。在直线0的上方.若0,x0y0C0,则点%，V。在直线0的下方.9、在平面直角坐标系中，已知直线0.（一）由B确定：若0,则xyC0表示直线0上方的区域;表示直线xyC0下方的区域.若0,则xyC0表不直线x0下方的区域；xyC0表示直线xyC0上方的区域.（

19、二）由A的符号来确定：先把x的系数A化为正后，看不等号方向：若是“>”号，则所表示的区域为直线l:xyC0的右边部分。若是“”号，则xyC0所表示的区域为直线l:xyC0的左边部分。（三）确定不等式组所表示区域的步骤：画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线定测：由上面（一）（二）来确定求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。10、线性约束条件：由x,y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x,y的线性约束条件.目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析式.线性目标函数：目标函数为x,y的一次解析式.线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.可行

20、解：满足线性约束条件的解x, y .可行域：所有可行解组成的集合.最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解.11、设a、b是两个正数，则ab称为正数a、b的算术平均数，而称为正数a、b的几何平均数.2ab12、均值不等式定理：若a0,b0,则ab2而，即一Vab.222.2ab13、常用的基本不等式：ab2aba,bR；aba,bR；2.22.2.2,ababababa0,b0；a,bR.22214、极值定理：设x、y都为正数，则有：若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值2亍.若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2jp.第1讲正弦定理和余弦定理知识梳理1.内角和定

21、理：在 ABC中，A B C；sin(A B) sin C ； cos(A B) cosccos-B sin C 221 ,.八2.面积公式6 ABe absin C2一 bcsin A 2一 casin B 23.正弦定理：在一个三角形中 ，各边和它的所对角的正弦的比相等.公式为:asin Absin BcsinC4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍2,2222222,2公式为：abc2bccosAbca2cacosBcab2abcosC,22222,22,22bcacababc变形为：cosA；cosB；cosC2bc2ca2ab重难

22、点突破1 .重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，利用内角和定理实现三内角之间的转换，解题时应注意四大定理的正用、逆用和变形用2 .难点：根据已知条件，确定边角转换.3 .重难点：通过正弦定理和余弦定理将已知条件中的角化为边或边化为角后，再实施三角变换的转化过程以及解三角形中的分类讨论问题.(1)已知两边和其中一对角，求另一边的对角时要注意分类讨论问题1：在ABC中，A、B的对边分别是a、b,且A30o,a2J3,b4,那么满足条件ABC()A、有一个解B、有两个解C、无解D、不能确定问题2:已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB2,BC6,CDDA4,求四边形ABCD的AB，ODC热

23、点考点题型探析考点1：运用正、余弦定理求角或边题型1.求三角形中的某些元素例1.已知：A、B、C是ABC的内角，a,b,c分别是其对边长，向量m(6,cosA1),n(cos(A),1),mn.(i)求角A的大小；(n)若a2,2c3cosB,求b的长.3题型2判断三角形形状例2在ABC中，bcosAacosB,试判断三角形的形状考点2：三角形中的三角变换题型:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换，进行边角互换，结合三角函数的图象与性质进行化简求值.例1.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A60o,c3b。求：（i）三的值；（1）ccotBcotC的值.考点3与三角形的面积相关

24、的题题型1:已知条件求面积53.例1：在ABC中，cosA一，cosB-.（I）求sinC的值；（n）设BC5,求ABC的面135积.题型2:已知面积求线段长或角5一433例2.在ABC中，cosB,cosC.求sinA的值；设ABC的面积SABC，求BC的1352长.第2讲解三角形应用举例知识梳理1 .已知两角和一边（如A,B,c）,由ABC求C,由正弦定理求a,b.2 .已知两边和夹角（如a,b,C）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC,求另一角.3 .已知两边和其中一边的对角（如a,b,A）,应用正弦定理求B,由ABC求C,再由正弦定理或余弦定理求c边，

25、要注意解可能有多种情况.4 .已知三边a,b,c,应用余弦定理求A,B,C,再由ABC，求角C.5 .方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东XX度，北偏西XX度，南偏东XX度，偏西XX度6 .俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角.如图中OD,OE是视线，DOC是仰角，EOC是俯角.7 .关于三角形面积问题- SABC=1aha=1bhb=Ichc（ha、hb、hc分别表示ab、c上的高）；。卮222 SABC=1absinC=1bcsi

26、nA=1acsinB；SABC=2R2sinAsinBsinC（R为外接圆半径）E222abc1 SABC=；SABC=qs（sa）（sb）（sc）,s（abc）；4R2Sabc=-s,（r为ABC内切圆的半径）重难点突破1.重点：熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，结合几何性质建模解决生活中的应用问题2难点：实际问题向数学问题转化思路的确定3 .重难点：熟练掌握解斜三角形的方法.，熟悉实际问题向数学问题的转化的方法；（1）解三角函数应用题要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路，然后寻

27、求变量之间的关系，也即抽象出数学问题。问题1.如图，为了计算北江岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得ADCD,AD10km,AB14km,BDA60,BCD135,求两景点B与C的距离（假设A,B,C,D在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：4 1.414,731,732,752.236）问题2.用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是和，已知B,D间的距离为a,测角仪的高度是b,求气球的高度热点考点题型探析考点1:测量问题题型:运用正、余弦定理解决测量问题例1.如图4-4-12,甲船以每小时304

28、2海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于Ai处时，乙船位于甲船的北偏西105o方向的Bi处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10J2海里，问乙船每小时航行多少海里?例2.如图，某住宅小区白平面图呈扇形AOC.小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD,DC,且拐弯处的转角为120°.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）.1200【新题导练】1.为了立一块广告

29、牌，要制造一个三角形的支架,三角形支架形状如图，要求ACB60°,BC的AC的长度越短越好，求 AC最短为长度大于1米，且AC比AB长0.5米一为了广告牌稳固，要求多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？热点考点题型探析考点1：测量问题题型:运用正、余弦定理解决测量问题例1（2007山东）如图4-4-12,甲船以每小时30，2海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达4处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10J2海里，问乙

30、船每小时航行多少海里？【新题导练】1 .甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？2 .在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15。的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）于，-打“亲与w例2（08上海高考）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC.小区的两个出入口设置在点A及点C处,小区里有两条笔直的小路AD,DC

31、,且拐弯处的转角为120°.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟,从D沿DA走到A用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）.【新题导练】1.如图，货轮在海上以35公里/小时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为152°的方向航行.为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122°.半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32°.求此时货轮与灯塔之间的距离.CBC长度为多少米?ACBDArhR才能使桌子h=某市电力部门在今年的抗雪救灾的某项重建工程中A3问施工单位至少应该准备多长的电线?

32、ABD 05.( 15年韶关市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为C. 1.5小时r的平方成反比D . 2小时AC最:C的平分线CD把三角形面积分成 3: 2两部分4A测得山顶上一建筑物顶端 C对于山坡的斜度为 151.台风中心从 A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的A -33.如图山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45 ，假设建筑物高 50m,设山对于地平面的斜度B. 1小时A: B 1:2,C 3ADB 45o高压电线，因地理条件限制，不能直接测量 A、B两地距离.现测量人员在相距 J3 km的C、D两地75 /45C 一地区为危险区，A. 0

33、.5小时2.在ABC中 cosA (1cos =.4.如右图，在半径为 R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子1B -2在斜度一定的山坡上的一点C/30 kmsinI= k 2 r测得/ ACB 75°, BCD 45°, ADC 30o40 kmB2.(汕头市金山中学 2015届高三数学期中考试) 为了立一块广告牌， 要制造一个三角形的支架, 三角形 支架形状如图，要求ACB 600 , BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米为了广告牌稳固，6 .在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P,上午11时，测得一轮船在岛北30。东,俯

34、角为30°的B处，至IJ11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C处。（1）求船的航行速度是每小时多少千米；（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？7 .在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求AD：AB的值8 .在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15。角，速度为2.5km/h,同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h,在水中游的速度为

35、2km/h.问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少?第3讲等差数列知识梳理1 .等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d,这个数列叫做等差数列，常数d称为等差数列的公差.2 .通项公式与前n项和公式通项公式ana1（n1）d,a1为首项，d为公差.前n项和公式Snn（1一an）或Snnai1n（n1）d.223 .等差中项如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.即：A是a与b的等差中项2Aaba,A,b成等差数列.4 .等差数列的判定方法定义法：an1and（nN,d是常数）an是等差数列；中项法：2an1anan2

36、（nN）an是等差数列.通项公式法：anknb（k,b是常数）an是等差数列;2_前n项和公式法：SnAnBn（A,B是常数，A0）an是等差数列5.等差数列的常用性质数列an是等差数列，则数列anp、pan（p是常数）都是等差数列；在等差数列an中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,ank,an2k,an3k,为等差数列，公差为kd.2anam（nm）d；ananb（a,b是常数）；Snanbn（a,b是吊数，a0）若mnpq（m,n,p,qN）,则amanapaq；S若等差数列an的前n项和Sn,则是等差数列；当项数为2n（nN）,则nan,S禺Swnd,包吐；当项数为2n1（n

37、N）,则S奇S偶SWan重难点突破1.重点：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式、前n项和公式并能解决实际问题；理解等差中项的概念，掌握等差数列的性质.2难点：利用等差数列的性质解决实际问题.3.重难点：正确理解等差数列的概念，灵活运用等差数列的性质解题求等差数列的公差、求项、求值、求和、求Sn最值等通常运用等差数列的有关公式及其性质问题1：已知mn,且m,a1,a2,a3,n和m,bhb2,b3,b4,n都是等差数列，则a3一a1b3b2412问题2：已知函数f(x)T.则f(ff(-)243312f()f()20092009誓2009热点考点题型探析考点1等差数列的通项与前n项和题型

38、1已知等差数列的某些项，求某项【例1】已知an为等差数列，a158,a6020,则a75题型2已知前n项和Sn及其某项，求项数【例2】已知Sn为等差数列an的前n项和，a49,a96,Sn63,求n；若一个等差数列的前4项和为36,后4项和为124,且所有项的和为780,求这个数列的项数2【例3】已知Sn为等差数列an的前n项和，Sn12nn.ala2a3；求a1a2a3a10；求a1a2a3an【新题导练】1 .已知an为等差数列，amp,anq（m,n,k互不相等），求ak.2 .已知Sn为等差数列an的前n项和，a11,a47,Sn100,则n3 .已知5个数成等差数列，它们的和为5,平

39、方和为165,求这5个数.4 .已知Sn为等差数列an的前n项和，S10100,Sio010,求S110.考点2证明数列是等差数列【例4】已知Sn为等差数列an的前n项和，bn殳(nN).求证：数列bn是等差数列n【新题导练】5设Sn为数列an的前n项和，Snpnan(nN),aia2.求常数p的值；求证：数列an是等差数列.考点3等差数列的性质【例5】已知Sn为等差数列an的前n项和，a6100,则Sii;知Sn为等差数列an的前n项和，Snm,Smn(nm),则Smn【新题导练】6.含2n1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为()2n1-n1A.B.-nnC.UnD.U2n考点4等

40、差数列与其它知识的综合【例6】已知Sn为数列an的前n项和,Sn1211一一，一，-n2n;数列bn满足：b311,bn22bn122其前9项和为153.求数列anbn的通项公式；设Tn为数列Cn的前n项和，Cn(2an11)(2bn1),求使不等式Tnk对nN都成立的最大正整数k的值.57【新题导练】2an(n 2).求数列an的通项公式；数列an8.已知Sn为数列an的前n项和，a13,SnSn1ak 1对任意不小于k的正整数都成立？若存在， 求最小的正整数k ,中是否存在正整数k,使得不等式ak若不存在，说明理由.抢分频道1.（2014广雅中学）设数列an基础巩固训练是等差数列，且a28

41、,如5,Sn是数列an的前n项和，则（）A.S10§1B.S10S11C.S9S10D.S9S102.在等差数列an中，a5120,则a2a4a6a83数列an中，an2n49,当数列an的前n项和Sn取得最小值时,4.已知等差数列an共有10项，其奇数项之和为10,偶数项之和为30,则其公差是5.设数列4中，a12,an1ann1,则通项an6.从正整数数列1,2,3,4,5,中删去所有的平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第1964项是7.（2013广雅中学）已知等差数列an中，a220,a1a928.求数列an的通项公式;若数列bn满足anlog2bn,设TnbbLbn,且T

42、n1,求n的值.8.已知Sn为等差数列an的前n项和,a125,a416.当n为何值时，Sn取得最大值;求a?a4a6a8a2。的值;求数列an的前n项和Tn.9.（2015执信中学）已知数列an满足ai*.一1a3,an23an12an(nN).证明：数列an1an是等比数列；求数列 an的通项公式；若数列bn满足4b114b214bn1(an1)bn(nN*),证明bn是等差数列.,2、，一、10.(2008北东)数列an满足ai1,ani(nn)an(n1,2,),是常数.当a21时，求及a3的值；数列an是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；求的取值范围，使

43、得存在正整数m,当nm时总有an0.第4讲等比数列知识梳理q(q 0),这个数列叫做等比数1等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数列，常数q称为等比数列的公正2 .通项公式与前n项和公式通项公式：anaqn1,a1为首项，q为公比前n项和公式：当q 1时，Sn na1当q 1时，g电g国.1 q 1 q3 .等比中项如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等差中项a,A,2b成等差数列G2ab.4.等比数列的判定方法定义法:2中项法：an 1 an an 2(nan 1q (n N , q 0是常数)NN an0 an是等比数列a

44、n是等比数列;5.等比数列的常用性质数列an是等比数列，则数列pan、pan(q0是常数)都是等比数列;等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,ank,an2k,an3k,为等比数列,公比为qk.anamqnm(n,mN)mnpq(m,n,p,qN),则amanapaq；等比数列an的前n项和Sn,则Sk、S2kSk、S3kS2k、S4kS3k是等比数列.等比数列的判定方法：a一一定义法：q(nN,q0是常数)an是等比数列；an2中项法：an1anan2(nN)且2口0an是等比数列.重难点突破1 .重点：理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式、前n项和公式并能解决实

45、际问题；理解等比中项的概念，掌握等比数列的性质.2 .难点：禾1J用等比数列的性质解决实际问题.3 .重难点：正确理解等比数列的概念，灵活运用等比数列的性质解题求等比数列的公比、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质问题1：已知等比数列an的前n项和Snpn1(p是非零常数，则数列an是()A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.非等差数列问题2：若实数数列1,a1,a2,a3,4是等比数列，则a?.热点考点题型探析考点1等比数列的通项与前n项和题型1已知等比数列的某些项，求某项【例1】已知an为等比数列，a22,a6162,则a1。【例2】已知Sn为等比数列an前

46、n项和，Sn93,an48,公比q2,则项数n.已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37,中间两数之和为36,求这四个数.题型3求等比数列前n项和【例3】等比数列1,2,4,8,中从第5项到第10项的和.【例4】已知Sn为等比数列an前n项和，an1332333n1,求Sn【例5】已知Sn为等比数列an前n项和，an(2n1)3n，求Sn.【新题导练】1 .已知an为等比数列，a1a2a33,a6a7a86,求a11a12a13的值.2 .如果将20,50,100依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为.3 .已知Sn为等比数列an的前n项和

47、，a23,a6243,Sn364,则n;4 .已知等比数列an中，a21,则其前3项的和&的取值范围是.5 .已知Sn为等比数列an前n项和，an0,Sn80,S2n6560,前n项中的数值最大的项为54,求S100.考点2证明数列是等比数列2 .n.【例6】已知数列an和bn满足：a1,an1-ann4,bn(1)(an3n21),其中为3实数，nN.对任意实数，证明数列an不是等比数列；试判断数列bn是否为等比数列，并证明你白结论.【新题导练】26.已知数列an的首项a1- , an 132a1一n-,n1,2,3，.证明：数列一1是等比数列;an1an考点3等比数列的性质【例7】

48、已知Sn为等比数列an前n项和，Sn54 , S2n 60 ,则 S3n【新题导练】7.已知等比数列an中，an0,(2a4a2a6)a436,贝Ua3a5n 1b 1 Sn证明：当b 2时，an n 2 是考点4等比数列与其它知识的综合【例8】设Sn为数列an的前n项和，已知ban2n等比数列；求an的通项公式【新题导练】nn8设Sn为数列an的前n项和，aia,an1Sn3,nN.设bnSn3,求数列bn的通项公式；若an1an（nN）,求a的取值范围.抢分频道拔高巩固训练1.设an是公比为正数的等比数列，若ai1,a516,则数列an前7项的和为（）A. 63B. 642 .设等比数列

49、an的公比q 2 ,A. 2B. 43 .已知等比数列an满足a1 a2A. 64B. 81C.127前n项和为Sn ,C.” 23, a? a3 6,C.128D. 128S4 则(a2则a7c 17 D.2()D. 2434.已知等比数列an的前三项依次为a1,a1,a4,则anA. 4B. 4C. 4D. 45.已知an是等比数列,a22, a5 一,则 a1a2a2a34anan 1=()A. 16(1 4 n)B. 16(1 2 n) C(1 4 n) D.(1 2 n) 336.（2014广雅中学）在等比数列中，已知a9aoa(a°) , a19a20b ,贝U a99a

50、100 an前20项的和S20 .7.（2015执信中学）等差数列an中，a410且a3,a6,ao成笠比数列，求数列1.8.（2009金山中学）已知数列an的前n项和为Sn,Sn-（an1）nN；求a1，a2的值;3证明数列an是等比数列，并求Sn.、.一，、一一一一.2,，.n,一9.(2014湖北)已知数列an和bn满足：a1,an1-ann4,bn(1)(an3n21),3其中为实数，nN.对任意实数，证明数列an不是等比数列；证明：当18,数列bn是等比数列；设Sn为数列bn的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n,都有Sn12?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.第4讲数列的通项的求法知识梳理1.数列通项的常用方法：利用观察法求数列的通项.，、丁S(n1)利用公式法求数列的通项：an;an等差、等比数列an公式.&Sm(n2)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项：an1anf(n);an1anf(n).