必修②第四章圆与方程

1、中山市东升高中 高一数学必修2导学案 编写：贺联梅 校审：汤建郎§4.1圆的标准方程 学习目标 1. 掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；2. 会用待定系数法求圆的标准方程. 学习过程 一、课前准备（预习教材P124 P127，找出疑惑之处）1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？二、新课导学 学习探究新知：圆心为，半径为的圆的方程叫做圆的标准方程.特殊：若圆心为坐标原

2、点，这时，则圆的方程就是探究：确定圆的标准方程的基本要素？ 典型例题例 写出圆心为，半径长为5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上.小结：点与圆的关系的判断方法：>，点在圆外；=，点在圆上；<，点在圆内.变式:的三个顶点的坐标是，求它的外接圆的方程反思：1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于的方程组，求或直接求出圆心和半径.2.待定系数法求圆的步骤：（1）根据题意设所求的圆的标准方程为；（2）根据已知条件，建立关于的方程组；（3）解方程组，求出的值，并代入所设的方程，得到圆的方程.例2 已知圆经过点和,且圆心在直线上,求此圆的标准方程. 动手试试练1. 已知圆经过点，圆心

3、在点的圆的标准方程.练2.求以为圆心，并且和直线相切的圆的方程三、总结提升 学习小结一方法规纳利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径.比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的位置关系.借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大化简计算的过程与难度.二圆的标准方程的两种求法：根据题设条件，列出关于的方程组，解方程组得到得值，写出圆的标准方程.根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知，则以为直

4、径的圆的方程（ ）.A BC D2. 点与圆的的位置关系是（ ）.A在圆外 B在圆内 C在圆上 D不确定3. 圆心在直线上的圆与轴交于两点，则圆的方程为（ ）. ABCD4. 圆关于关于原点对称的圆的方程 5. 过点向圆所引的切线方程 . 课后作业 1. 已知圆的圆心在直线上，且与直线切于点，求圆的标准方程.2. 已知圆 求：过点的切线方程. 过点的切线方程§4.1圆的一般方程 学习目标 1. 在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径掌握方程表示圆的条件；2能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程能用待定系数法求圆的方程；3培

5、养学生探索发现及分析解决问题的实际能力 学习过程 一、课前准备（预习教材P127 P130，找出疑惑之处）1已知圆的圆心为，半径为，则圆的标准方程 ，若圆心为坐标原点上，则圆的方程就是 2求过三点的圆的方程.二、新课导学 学习探究问题1方程表示什么图形？方程表示什么图形？问题2方程在什么条件下表示圆？新知：方程表示的轨迹.当时，表示以为圆心,为半径的圆；当时，方程只有实数解，即只表示一个点（-，-）;（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形小结：方程表示的曲线不一定是圆 只有当时，它表示的曲线才是圆，形如的方程称为圆的一般方程思考：1圆的一般方程的特点？2圆的标准方程与一般方程的区别？

6、 典型例题例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.；.例2 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 动手试试练1. 求过三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标. 练2. 已知一个圆的直径端点是，试求此圆的方程. 三、总结提升 学习小结1方程中含有三个参变数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转化.2待定系数法是数学中常用的一种方法，在以前也已运用过.例如：由已知条件确定二次函数，利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程有着广泛的运用，要求熟练掌握.3 使用待

7、定系数法的一般步骤：根据题意，选择标准方程或一般方程；根据条件列出关于或的方程组；解出或，代入标准方程或一般方程. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若方程表示一个圆，则有（ ）.A B. C D2. 圆的圆心和半径分别为（ ）. ABCD3. 动圆的圆心轨迹是（ ）. A BC D4. 过点，圆心在轴上的圆的方程是 .5. 圆的点到直线的距离的最大值为 . 课后作业 1. 设直线和圆相交于，求弦的垂直平分线方程. 2. 求经过点且与直线相切于点的圆的方程. §4.2

8、直线、圆的位置关系 学习目标 1理解直线与圆的几种位置关系；2利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；3会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系 学习过程 一、课前准备（预习教材P133 P136，找出疑惑之处）1把圆的标准方程整理为圆的一般方程 .把整理为圆的标准方程为 .2一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70处，受影响的范围是半径为30的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？3直线与圆的位置关系有哪几种呢？4我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间

9、的位置关系呢？ 二、新课导学 学习探究新知1：设直线的方程为，圆的方程为，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交；新知2：如果直线的方程为，圆的方程为，将直线方程代入圆的方程，消去得到的一元二次方程式，那么：当时，直线与圆没有公共点；当时，直线与圆有且只有一个公共点；当时，直线与圆有两个不同的公共点； 典型例题例1 用两种方法来判断直线与圆的位置关系.例2 如图2,已知直线过点且和圆相交,截得弦长为,求的方程变式：求直线截圆 所得的弦长. 动手试试练1. 直线与圆相切,求r的值. 练2. 求圆心在直线

10、上,且与两坐标轴相切的圆的方程. 三、总结提升 学习小结判断直线与圆的位置关系有两种方法 判断直线与圆的方程组是否有解a.有解,直线与圆有公共点.有一组则相切;有两组,则相交b无解,则直线与圆相离 如果直线的方程为，圆的方程为，则圆心到直线的距离.如果 直线与圆相交;如果直线与圆相切;如果直线与圆相离. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 直线与圆A相切 B相离 C过圆心 D相交不过圆心2. 若直线与圆相切，则的值为（ ）.A0或2 B2 C D无解3 已知直线过点，当直线与圆有

11、两个交点时，其斜率的取值范围是（ ）.A BC D4. 过点的圆的切线方程为 .5. 圆上的点到直线的距离的最大值为 . 课后作业 1. 圆上到直线的距离为的点的坐标. 2. 若直线与圆.相交；相切；相离；分别求实数的取值范围. §4.2圆与圆的位置关系 学习目标 1理解圆与圆的位置的种类；2利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；3会用连心线长判断两圆的位置关系 学习过程 一、课前准备（预习教材P136 P137，找出疑惑之处）1直线与圆的位置关系 ， ， .2直线截圆所得的弦长 .3圆与圆的位置关系有几种，哪几种？4. 设圆两圆的圆心距设为d.当时，两圆 当时，两圆

12、 当 时，两圆 当时，两圆 当时，两圆 二、新课导学 学习探究探究：如何根据圆的方程，判断两圆的位置关系？新课：两圆的位置关系利用圆的方程来判断.通常是通过解方程或不等式和方法加以解决 典型例题例1 已知圆，圆，试判断圆与圆的关系？变式：若将这两个圆的方程相减，你发现了什么？例2圆的方程是: ，圆的方程是:,为何值时两圆相切；相交；相离；内含. 动手试试练1. 已知两圆与问取何值时，两圆相切. 练2. 求经过点M(2,-2),且与圆与交点的圆的方程三、总结提升 学习小结1判断两圆的位置关系的方法:(1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定.(2)依据连心线的长与两半径长的和或两半径的差的绝

13、对值的大小关系.2对于求切线问题，注意不要漏解，主要是根据几何图形来判断切线的条数.3一般地，两圆的公切线条数为：相内切时，有一条公切线；相外切时，有三条公切线；相交时，有两条公切线；相离时，有四条公切线.4求两圆的公共弦所在直线方程，就是使表示圆的两个方程相减消去二次项即可得到. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知，则两圆与的位置关系是（ ）. A外切 B相交 C外离 D内含2. 两圆与的公共弦长（ ）. A B1 C D23. 两圆与的公切线有（ ）. A1条 B2条

14、C4条 D3条4. 两圆相交于两点，则直线的方程是 .5. 两圆和的外公切线方程 . 课后作业 1. 已知圆C与圆相外切,并且与直线相切于点,求圆C的方程. 2. 求过两圆和圆的交点,且圆心在直线上的圆的方程. §4.2.3直线与圆的方程的应用 学习目标 1理解直线与圆的位置关系的几何性质；2利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3会用“数形结合”的数学思想解决问题 学习过程 一、课前准备（预习教材P138 P140，找出疑惑之处）1圆与圆的位置关系有 .2圆和圆的位置关系为 .3过两圆和的交点的直线方程 .二、新课导学 学习探究1直线方程有几种形式? 分别是?2圆的方程有几种形

15、式?分别是哪些?3求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?4直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢? 典型例题例1 已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度,拱高,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱的高度(精确0.01m)变式：赵州桥的跨度是37.4m.圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程 例2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半. 动手试试练1. 求出以曲线与的交点为顶点的多边形的面积. 练2. 讨论直线与曲线的交点个数.三、总结提升 学习小结1用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几

16、何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”.2用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论3解实际问题的步骤：审题化归解决反馈. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 一动点到的距离是到的距离的2倍，则动点的轨迹方程（ ）. A

17、 BC D2. 如果实数满足，则的最大值为（ ） A1 B. C. D.3. 圆上到直线的距离为的点共有（ ）. A1个 B2个 C3个 D4个4. 圆关于直线对称的圆的方程 .5. 求圆关于点对称的圆的方程 . 课后作业 1. 坐标法证明:三角形的三条高线交于一点.2. 机械加工后的产品是否合格,要经过测量检验某车间的质量检测员利用三个同样的量球以及两块不同的长方体形状的块规检测一个圆弧形零件的半径.已知量球的直径为2厘米,并测出三个不同高度和三个相应的水平距离,求圆弧零件的半径. §4.2.3直线，圆的方程（练习） 学习目标 1理解直线与圆的位置关系的几何性质；2利用平面直角坐标

18、系解决直线与圆的位置关系；3会用“数形结合”的数学思想解决问题 学习过程 一、新课导学 学习探究（预习教材P124 P140，找出疑惑之处）一圆的标准方程例1 一个圆经过点A(5,0)与B(-2,1)圆心在直线上,求此圆的方程 二直线与圆的关系例2求圆上的点到的最远、最近的距离三轨迹问题 充分利用几何图形的性质,熟练掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式.例3 求过点A(4,0)作直线交圆于B,C两点,求线段BC的中点P的轨迹方程四 弦问题主要是求弦心距（圆心到直线的距离），弦长，圆心角等问题.一般是构成直角三角形来计算例4 直线经过点，且和圆相交，截得的弦长为，求的方程.五对称问题（ 圆关

19、于点对称，圆关于圆对称）例5 求圆关于点对称的圆的方程.练习1. 求圆关于直线对称的圆的方程2. 由圆外一点引圆的割线交圆于A,B两点,求弦AB的中点的轨迹.3. 等腰三角形的顶点是A(4.2)底边一个端点是B(3,5)求另一个端点的轨迹是什么?4已知圆的圆心坐标是,且圆与直线相交于两点,又是坐标原点,求圆的方程. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知是圆内一点，过M点的量长的弦所在的直线方程是（ ）.A B C D 2. 若圆上有且只有两点到直线的距离为1，则半径的取值范围

20、是（ ）.A B. C. B.3. 已知点和圆C：一束光线从A点经过轴反射到圆周C的最短路程是（ ）.A10 B. C. D.84. 设圆的弦AB的中点P（3，1），则直线AB的方程为_.5. 圆心在直线上且与轴相切于点（1，0）的圆的方程. 课后作业 1. 从圆外一点向圆引割线,交该圆于两点,求弦的中点的轨迹方程.22. 已知圆的半径为，圆心在直线上，圆被直线截得的弦长为，求圆的方程.§4.3 空间直线坐标系 学习目标 1.明确空间直角坐标系是如何建立；明确空间中的任意一点如何表示；2 能够在空间直角坐标系中求出点的坐标 学习过程 一、课前准备（预习教材P142 P144，找出疑惑

21、之处）1平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？2一个点在平面怎么表示？在空间呢？ 二、新课导学 学习探究1.怎么样建立空间直角坐标系？2.什么是右手表示法？3.什么是空间直角坐标系，怎么表示？思考：坐标原点O的坐标是什么？讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程 典型例题例1在长方体中，写出四点坐标.反思：求空间中点的坐标的步骤：建立空间坐标系写出原点坐标各点坐标.讨论：若以点为原点，以射线方向分别为轴，建立空间直角坐标系，则各顶点的坐标又是怎样的呢？变式：已知，描出它在空间的位置例2 为正四棱锥，为底面中心，若，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标. 动手试试练1. 建

22、立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标.练2. 已知是棱长为2的正方体，分别为和的中点，建立适当的空间直角坐标系，试写出图中各中点的坐标 三、总结提升 学习小结1.求空间直角坐标系中点的坐标时，可以由点向各坐标轴作垂线，垂足的坐标即为在该轴上的坐标.2.点关于坐标平面对称，则点在该坐标平面内两个坐标不变，另一个变成相反数；关于坐标轴对称则相对于该轴的坐标不变，另两个变为相反数；关于原点对称则三个全变为相反数；3.空间直角坐标系的建立要选取好原点，以各点的坐标比较好求为原则，另外要建立右手直角坐标系.4.关于一些对称点的坐标求法关于坐标平面对称的点；关于坐标平面对称的点；关于坐标

23、平面对称的点；关于轴对称的点；关于对轴称的点；关于轴对称的点； 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 关于空间直角坐标系叙述正确的是（ ）. A中的位置是可以互换的B空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应的关系C空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分D某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同2. 已知点，则点关于原点的对称点的坐标为（ ）. ABCD3. 已知的三个顶点坐标分别为，则的重心坐标为（ ）. ABCD4. 已知为平行四边形，且，则顶点的坐标

24、.5. 方程的几何意义是 . 课后作业 1. 在空间直角坐标系中，给定点，求它分别关于坐标平面，坐标轴和原点的对称点的坐标. 2. 设有长方体，长、宽、高分别为 是线段的中点.分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.求的坐标；求的坐标；§4.3.2空间两点间的距离公式 学习目标 1. 通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式2. 掌握空间直角坐标系中两点间的距离公式及推导，并能利用公式求空间中两点的距离. 学习过程 一、课前准备（预习教材P145 P146，找出疑惑之处）1. 平面两点的距离公式？2. 我们知道数轴上的任意一点M都可用对应一个实数表示，建立了平面直角坐

25、标系后，平面上任意一点M都可用对应一对有序实数表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组表示出来呢？3. 建立空间直角坐标系时，为方便求点的坐标通常怎样选择坐标轴和坐标原点？二、新课导学 学习探究1.空间直角坐标系该如何建立呢？2.建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢？33.3.空间中任意一点与点之间的距离公式.注意：空间两点间距离公式同平面上两点间的距离公式形式上类似；公式中可交换位置；公式的证明充分应用矩形对角线长这一依据.探究：点与坐标原点的距离？如果是定长r,那么表示什么图形？ 典型例题例1 求点P1(1, 0, -1)与

26、P2(4, 3, -1)之间的距离变式：求点之间的距离例2 在空间直角坐标系中，已知的顶点分别是.求证：是直角三角形. 动手试试练1. 在轴上，求与两点和等距离的点. 练2. 试在平面上求一点，使它到,和各点的距离相等.三、总结提升 学习小结1.两点间的距离公式是比较整齐的形式，要掌握这种形式特点，另外两个点的相对应的坐标之间是相减而不是相加.2.在平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆.与之类似的是，在三维空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为球心，以定长为半径的球. 知识拓展1.空间坐标系的建立，空间中点的坐标的求法.2.平面上两点间的距离公式.3.平面上圆心在原点的圆的方程.

27、 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1空间两点之间的距离（ ）. A6 B7 C8 D92在轴上找一点，使它与点的距离为，则点为（ ）. A BC D都不是3设点是点关于面的对称点，则（ ）. A10 B C D384已知和点，则线段在坐标平面上的射影长度为 .5已知的三点分别为，则边上的中线长为 . 课后作业 1. 已知三角形的顶点为和.试证明A角为钝角. 2. 在河的一侧有一塔，河宽，另侧有点，求点与塔顶的距离.第四章 圆与方程 复习 学习目标 1. 掌握圆的标准方程、一般方程，

28、会根据条件求出圆心和半径，进而求得圆的标准方程；根据方程求得圆心和半径；掌握二元二次方程表示圆的等价条件；熟练进行互化.2. 掌握直线和圆的位置关系，会用代数法和几何法判断直线和圆的位置关系；会求切线方程和弦长；能利用数形结合求最值.3. 掌握空间直角坐标系的建立，能用表示点的坐标；会根据点的坐标求空间两点的距离. 学习过程 一、课前准备（复习教材P124 P152，找出疑惑之处）复习知识点1.圆的方程标准式：圆心在点，半径为的圆的标准方程为 当圆心在坐标原点时，圆的方程为 .一般式： .圆的一般式方程化为标准式方程为 . 是求圆的方程的常用方法.2.点与圆的位置关系有 ，判断的依据为：3.直线与圆的位置关系有 ，判断的依