数学高考试题+模拟新题分类汇编：专题G立体几何（文科）

1、G 立体几何G1 空间几何体的结构9G12021重庆卷 设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，那么a的取值范围为()A(0，) B(0，)C(1，) D(1，)图129A解析 如图12所示，设ABa，CD，BCBDACAD1，那么ACDBCD45，要构造一个四面体，那么ACD与共面BCD不能重合，当BCD与ACD重合时，a0；当A、B、C、D四点共面，且A、B两点在DC的两侧时，在ABC中，ACBACDBCD454590，AB，所以a的取值范围是(0，)8G1、G22021陕西卷 将正方体(如图13所示)截去两个三棱锥，得到图所示的几何体，那么该几何体的左

2、视图为()图13图148B解析 分析题目中截几何体所得的新的几何体的形状，结合三视图实线和虚线的不同表示可知对应的左视图应该为B.15G1、G122021安徽卷 假设四面体ABCD的三组对棱分别相等，即ABCD，ACBD，ADBC，那么_(写出所有正确结论的编号)四面体ABCD每组对棱相互垂直；四面体ABCD每个面的面积相等；从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90而小于180；连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长15解析 如图，把四面体ABCD放入长方体中，由长方体中相对面中相互异面的两条面对角线不

3、一定相互垂直可知错误；由长方体中ABCABDDCBDCA，可知四面体ABCD每个面的面积相等，同时四面体ABCD中过同一顶点的三个角之和为一个三角形的三个内角之和，即为180，故正确，错误；长方体中相对面中相互异面的两条面对角线中点的连线相互垂直，故正确；从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱可以移到一个三角形中，作为一个三角形的三条边，故正确答案为.5G12021上海卷 一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的外表积为_56解析 考查圆柱的外表积，利用圆的周长求得圆柱的底面半径由圆柱的底面周长可得底面圆的半径，2r2，r1，得圆柱的外表积S2r22h246.19G1、G112021上海卷 如图

4、11，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点，BAC，AB2，AC2，PA2，求：图11(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)19解：(1)SABC222，图12三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)取PB的中点E，连接DE、AE，那么EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE，所以ADEarccos.因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是arccos.G2 空间几何体的三视图和直观图10G22021天津卷 一个几何体的三视图如图12所示(单位：m)，那

5、么该几何体的体积为_m3.图121030解析 由三视图可得该几何体为两个直四棱柱的组合体，其体积V342(12)1430.13G22021辽宁卷 一个几何体的三视图如图13所示，那么该几何体的体积为_图131312解析 本小题主要考查三视图和体积公式解题的突破口为通过观察分析三视图，得出几何体的形状，是解决问题的根本由三视图可知， 几何体是一个长方体与一个圆柱构成的组合体，所以该几何体的体积为VV长方体V圆柱43112112.7G22021课标全国卷 如图12，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，那么此几何体的体积为()图13A6 B9 C12 D187B解析 根据三视图

6、可知该几何体是三棱锥，其底面是斜边长为6的等腰直角三角形(斜边上的高为3)，有一条长为3的侧棱垂直于底面，所以该几何体的体积是V6339，应选B.3. G2、G72021浙江卷 某三棱锥的三视图(单位：cm)如图11所示，那么该三棱锥的体积是()A1 cm3 B2 cm3C3 cm3 D6 cm3图113A解析 此题考查三棱锥的三视图与体积计算公式，考查学生对数据的运算能力和空间想象能力由三视图可知，该几何体为一个正三棱锥，那么VSh1231.8G1、G22021陕西卷 将正方体(如图13所示)截去两个三棱锥，得到图所示的几何体，那么该几何体的左视图为()图13图148B解析 分析题目中截几何

7、体所得的新的几何体的形状，结合三视图实线和虚线的不同表示可知对应的左视图应该为B.15.G22021湖北卷 某几何体的三视图如图14所示，那么该几何体的体积为_图14图1515答案 12 解析 由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱(底面圆半径为2，高为1)与中间一个圆柱(底面圆半径为1，高为4)组合而成，故该几何体的体积是V221212412.7G22021广东卷 某几何体的三视图如图11所示，它的体积为()图11A72 B48C30 D247C解析 根据三观图知该几何体是由半球与圆锥构成，球的半径R3，圆锥半径R3，高为4，所以V组合体V半球V圆锥3332430，所以选择C.4G22

8、021福建卷 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱4D解析 球的三视图大小、形状相同，三棱锥的三视图也可能相同，正方体三种视图也相同，只有D不同12G2、G72021安徽卷 某几何体的三视图如图12所示，那么该几何体的体积等于_图121256解析 如图，根据三视图复原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱，其体积为VSh4456.7G2、G72021北京卷 某三棱锥的三视图如图14所示，该三棱锥的外表积是()图14A286 B306C5612 D60127B解析 此题考查三棱锥的三视图与外表积公式由三视图可知，几何体为一个侧面和底面垂

9、直的三棱锥，如下图，可知S底面5410，S后5410，S左626，S右4510，所以S表1036306.4G22021湖南卷 某几何体的正视图和侧视图均如图11所示，那么该几何体的俯视图不可能是()图114C解析 此题考查三视图，意在考查考生三视图的辨析，以及对三视图的理解和掌握选项A, B, D，都有可能，选项C的正视图应该有看不见的虚线，故C是不可能的易错点 此题由于对三视图的不了解，易错选D，三视图中看不见的棱应该用虚线标出7G22021江西卷 假设一个几何体的三视图如图12所示，那么此几何体的体积为()A. B5C. D4图127D解析 该几何体是直六棱柱，由左视图知其高为1，由主视图

10、和俯视图知其底面面积S(13)14，因此其体积为4，应选D.G3 平面的根本性质、空间两条直线G4 空间中的平行关系19G4、G52021山东卷 如图16，几何体EABCD是四棱锥，ABD为正三角形，CBCD，ECBD.图16(1)求证：BEDE；(2)假设BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM平面BEC.19证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CBCD，所以COBD，又ECBD，ECCOC，CO，EC平面EOC，所以BD平面EOC，因此BDEO，又O为BD的中点，所以BEDE.(2)证法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MNBE.又MN平面B

11、EC，BE平面BEC，所以MN平面BEC，又因为ABD为正三角形，所以BDN30，又CBCD，BCD120，因此CBD30，所以DNBC，又DN平面BEC，BC平面BEC，所以DN平面BEC，又MNDNN，故平面DMN平面BEC，又DM平面DMN，所以DM平面BEC.证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CBCD，BCD120.所以CBD30.因为ABD为正三角形所以BAD60，ABC90，因此AFB30，所以ABAF.又ABAD，所以D为线段AF的中点连接DM，由点M是线段AE的中点，因此DMEF.又DM平面BEC，EF平面BEC，所以DM平面BEC.18G4、G72021辽宁卷 如

12、图15，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABAC，AA1，点M，N分别为AB和BC的中点(1)证明：MN平面AACC；(2)求三棱锥AMNC的体积(锥体体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高)图1518解：(1)(证法一)连结AB，AC，由BAC90，ABAC，三棱柱ABCABC为直三棱柱，所以M为AB中点，又因为N为BC的中点，所以MNAC.又MN平面AACC，AC平面AACC，因此MN平面AACC.(证法二)取AB中点P，连结MP，NP，M、N分别为AB与BC的中点，所以MPAA，PNAC，所以MP平面AACC，PN平面AACC，又MPNPP，因此平面MPN平面AACC，而MN平面MP

13、N.因此MN平面AACC.(2)(解法一)连结BN，由题意ANBC，平面ABC平面BBCCBC，所以AN平面NBC.又ANBC1，故VAMNCVNAMCVNABCVANBC.(解法二)VAMNCVANBCVMNBCVANBC.16G4、G5、G72021北京卷 如图19(1)，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图19(2)(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由图1916解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以D

14、EBC.又因为DE平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)证明：由得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD，所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，所以A1F平面BCDE，所以A1FBE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如以下图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，那么PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP，由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，

15、使得A1C平面DEQ.16G4、G52021江苏卷 如图14，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.图1416证明：(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1

16、C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.5G4、G52021浙江卷 设l是直线，是两个不同的平面()A假设l，l，那么 B假设l，l，那么C假设，l，那么l D假设，l，那么l5B解析 此题考查了线面、面面平行，线面、面面垂直等简单的立体几何知识，考查学生对书本知识的掌握情况以及空间想象、推理能力对于选项A，假设l，l，那么或平面与相交；对于选项B，假设l，l，那么；对于选项C，假设，l，那么

17、l或l在平面内；对于选项D，假设，l，那么l与平行、相交或l在平面内G5 空间中的垂直关系19G52021江西卷 如图17，在梯形ABCD中，ABCD，E，F是线段AB上的两点，且DEAB，CFAB，AB12，AD5，BC4，DE4，现将ADE，CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积图1719解：(1)证明：因为DEEF，CFEF，所以四边形CDEF为矩形，由GD5，DE4，得GE3.由GC4，CF4，得FG4，所以EF5.在EFG中，有EF2GE2FG2，所以EGGF，又因为CFEF，CFFG

18、，得，CF平面EFG，所以CFEG，所以EG平面CFG，即平面DEG平面CFG.(2)如图，在平面EGF中，过点G作GHEF于点H，那么GH.因为平面CDEF平面EFG，得GH平面CDEF，VCDEFGSCDEFGH16.14G52021四川卷 如图14，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，那么异面直线A1M与DN所成的角的大小是_.图141490解析 因为ABCDA1B1C1D1为正方体，故A1在平面CDD1C1上的射影为D1，即A1M在平面CDD1C1上的射影为D1M，而在正方形CDD1C1中，由tanDD1MtanCDN，可知D1MDN，由三垂线定理可知

19、，A1MDN.20G5、G6、G10、G112021重庆卷 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，ACBC3，D为AB的中点(1)求异面直线CC1和AB的距离；(2)假设AB1A1C，求二面角A1CDB1的平面角的余弦值图1320解：(1)因ACBC，D为AB的中点，故CDAB.又直三棱柱中，CC1面ABC，故CC1CD，所以异面直线CC1和AB的距离为CD.(2)解法一：由CDAB，CDBB1，故CD面A1ABB1，从而CDDA1，CDDB1，故A1DB1为所求的二面角A1CDB1的平面角因A1D是A1C在面A1ABB1上的射影，又AB1A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1A1D，从而A1

20、AB1，A1DA都与B1AB互余，因此A1AB1A1DA，所以RtA1ADRtB1A1A，因此，得AAADA1B18.从而A1D2，B1DA1D2，所以在A1DB1中，由余弦定理得cosA1DB1.解法二：如以下图，过D作DD1AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，由(1)知DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.设直三棱柱的高为h，那么A(2,0,0)，A1(2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0，0)，从而(4,0，h)，(2，h)由得0，即8h20，因此h2.图14故(2,0,2)，(2,0,2)，(0，0

21、)设平面A1CD的法向量为m(x1，y1，z1)，那么m，m，即取z11，得m(，0,1)设平面B1CD的法向量为n(x2，y2，z2)，那么n，n，即取z21，得n(，0，1)，所以cosm，n.所以二面角A1CDB1的平面角的余弦值为.5G4、G52021浙江卷 设l是直线，是两个不同的平面()A假设l，l，那么 B假设l，l，那么C假设，l，那么l D假设，l，那么l5B解析 此题考查了线面、面面平行，线面、面面垂直等简单的立体几何知识，考查学生对书本知识的掌握情况以及空间想象、推理能力对于选项A，假设l，l，那么或平面与相交；对于选项B，假设l，l，那么；对于选项C，假设，l，那么l或

22、l在平面内；对于选项D，假设，l，那么l与平行、相交或l在平面内20G4、G5、G112021浙江卷 如图15，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，ADAB，AB，AD2，BC4，AA12，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点(1)证明：(i)EFA1D1；(ii)BA1平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值图1520解：(1)证明：()因为C1B1A1D1，C1B1平面A1D1DA，所以C1B1平面A1D1DA，又因为平面B1C1EF平面A1D1DAEF，所以C1B1EF，所以A1D1EF.()因为BB1平面A1B1C1D

23、1，所以BB1B1C1.又因为B1C1B1A1，所以B1C1平面ABB1A1，所以B1C1BA1.在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tanA1B1FtanAA1B，即A1B1FAA1B，故BA1B1F，所以BA1平面B1C1EF.(2)设BA1与B1F交点为H，连结C1H.由(1)知BA1平面B1C1EF，所以BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角在矩形AA1B1B中，AB，AA12，得BH.在直角BHC1中，BC12，BH，得sinBC1H，所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是.17G5、G112021天津卷 如图14，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC

24、1，PC2，PDCD2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；(2)证明平面PDC平面ABCD；(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值图1417解：(1)如下图，在四棱锥PABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以ADBC且ADBC，又因为ADPD，故PAD为异面直线PA与BC所成的角在RtPDA中，tanPAD2.所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2. (2)证明：由于底面ABCD是矩形，故ADCD，又由于ADPD，CDPDD，因此AD平面PDC，而AD平面ABCD，所以平面PDC平面ABCD.(3)在平面PDC内，过点P作PECD交直线CD于点E，连接EB.由于平面PDC平面

25、ABCD，而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，故PE平面ABCD.由此得PBE为直线PB与平面ABCD所成的角在PDC中，由于PDCD2，PC2，可得PCD30.在RtPEC中，PEPCsin30.由ADBC，AD平面PDC，得BC平面PDC，因此BCPC.在RtPCB中，PB.在RtPEB中，sinPBE.所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.18G5、G72021陕西卷 直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，CAB.(1)证明：CB1BA1；(2)AB2，BC，求三棱锥C1ABA1的体积图1718解：(1)证明：如图，连结AB1，ABCA1B1C1是直三棱柱，CAB，AC

26、平面ABB1A1，故ACBA1.又ABAA1，四边形ABB1A1是正方形，BA1AB1，又CAAB1A.BA1平面CAB1，故CB1BA1.(2)ABAA12，BC，ACA1C11，由(1)知，A1C1平面ABA1，VC1ABA1SABA1A1C121.19G5、G72021课标全国卷 如图14，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点(1)证明：平面BDC1平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两局部，求这两局部体积的比图1419解：(1)证明：由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所

27、以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.(2)设棱锥BDACC1的体积为V1，ACV111.又三棱柱ABCA1B1C1的体积V1，所以(VV1)V111.故平面BDC1分此棱柱所得两局部体积的比为11.19G4、G52021山东卷 如图16，几何体EABCD是四棱锥，ABD为正三角形，CBCD，ECBD.图16(1)求证：BEDE；(2)假设BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM平面BEC.19证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CBCD，所以COBD，又E

28、CBD，ECCOC，CO，EC平面EOC，所以BD平面EOC，因此BDEO，又O为BD的中点，所以BEDE.(2)证法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MNBE.又MN平面BEC，BE平面BEC，所以MN平面BEC，又因为ABD为正三角形，所以BDN30，又CBCD，BCD120，因此CBD30，所以DNBC，又DN平面BEC，BC平面BEC，所以DN平面BEC，又MNDNN，故平面DMN平面BEC，又DM平面DMN，所以DM平面BEC.证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CBCD，BCD120.所以CBD30.因为ABD为正三角形所以BAD60，AB

29、C90，因此AFB30，所以ABAF.又ABAD，所以D为线段AF的中点连接DM，由点M是线段AE的中点，因此DMEF.又DM平面BEC，EF平面BEC，所以DM平面BEC.19G5、G72021湖南卷 如图17，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD.(1)证明：BDPC；(2)假设AD4，BC2，直线PD与平面PAC所成的角为30，求四棱锥PABCD的体积19解：(1)证明：因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.图18又ACBD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，所以BD平面PAC.而PC平面PAC，所以BDPC.(2)设A

30、C和BD相交于点O，连结PO，由(1)知，BD平面PAC，所以DPO是直线PD和平面PAC所成的角从而DPO30.由BD平面PAC，PO平面PAC知，BDPO.在RtPOD中，由DPO30得PD2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，ACBD，所以AOD，BOC均为等腰直角三角形从而梯形ABCD的高为ADBC(42)3，于是梯形ABCD的面积S(42)39.在等腰直角三角形AOD中，ODAD2，所以PD2OD4，PA4.故四棱锥PABCD的体积为VSPA9412.19G5、G72021湖北卷 某个实心零部件的形状是如图17所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1

31、C1D1ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCDA2B2C2D2.图17(1)证明：直线B1D1平面ACC2A2；(2)现需要对该零部件外表进行防腐处理AB10，A1B120，AA230，AA113(单位：cm)，需加工处理费多少元？19解：(1)因为四棱柱ABCDA2B2C2D2的侧面是全等的矩形，所以AA2AB，AA2AD，又因为ABADA，所以AA2平面ABCD.连接BD，因为BD平面ABCD，所以AA2BD.因为底面ABCD是正方形，所以ACBD.根据棱台的定义可知，BD与B1D1共面又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D平面ABC

32、DBD，平面BB1D1D平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1BD.于是由AA2BD，ACBD，B1D1BD，可得AA2B1D1，ACB1D1，又因为AA2ACA，所以B1D1平面ACC2A2.(2)因为四棱柱ABCDA2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S1S四棱柱上底面S四棱柱侧面(A2B2)24ABAA2102410301 300(cm2)又因为四棱台A1B1C1D1ABCD的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形所以S2S四棱台下底面S四棱台侧面(A1B1)24(ABA1B1)h等腰梯形的高2024(1020)1 120(cm2)于是该实心零部件的外表积为SS1

33、S21 3001 1202 420(cm2)，S2 420484(元)18G5、G122021广东卷 如图15所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是DC上的点且DFAB，PH为PAD中AD边上的高(1)证明：PH平面ABCD；(2)假设PH1，AD，FC1，求三棱锥EBCF的体积；(3)证明：EF平面PAB.图1518解：(1)由于AB平面PAD，PH平面PAD，故ABPH.又因为PH为PAD中AD边上的高，故ADPH.ABADA，AB平面ABCD，AD平面ABCD，PH平面ABCD.(2)由于PH平面ABCD，E为PB的中点，PH1，故E到平面A

34、BCD的距离hPH.又因为ABCD，ABAD，所以ADCD，故SBCFFCAD1.因此VEBCFSBCFh.(3)证明：过E作EGAB交PA于G，连接DG.由于E为PB的中点，所以G为PA的中点因为DADP，故DPA为等腰三角形，所以DGPA.AB平面PAD，DG平面PAD，ABDG.又ABPAA，AB平面PAB，PA平面PAB，DG平面PAB.又GE綊AB，DF綊AB，GE綊DF.所以四边形DFEG为平行四边形，故DGEF.于是EF平面PAB.19G5、G112021安徽卷 如图13，长方体ABCDA1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点(1)

35、证明：BDEC1；(2)如果AB2，AE，OEEC1，求AA1的长图1319解：(1)证明：连接AC，A1C1.由底面是正方形知，BDAC.因为AA1平面ABCD，BD平面ABCD，所以AA1BD.又由AA1ACA，所以BD平面AA1C1C.再由EC1平面AA1C1C知，BDEC1.(2)设AA1的长为h，连接OC1.在RtOAE中，AE，AO，故OE2()2()24.在RtEA1C1中，A1Eh，A1C12.故EC(h)2(2)2.在RtOCC1中，OC，CC1h，OCh2()2.因为OEEC1，所以OE2ECOC，即4(h)2(2)2h2()2，解得h3.所以AA1的长为3.16G4、G5

36、、G72021北京卷 如图19(1)，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图19(2)(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由图1916解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又因为DE平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)证明：由得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD，所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，所以A1F平面BCDE，所以A1

37、FBE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如以下图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，那么PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP，由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.16G4、G52021江苏卷 如图14，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)

38、直线A1F平面ADE.图1416证明：(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1.因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面AD

39、E.19G5、G7、G112021全国卷 如图11，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E是PC上的一点，PE2EC.(1)证明：PC平面BED；(2)设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小图1119解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BDAC，又PA底面ABCD，所以PCBD.设ACBDF，连结EF.因为AC2，PA2，PE2EC，故PC2，EC，FC，从而，.因为，FCEPCA，所以FCEPCA，FECPAC90，由此知PCEF.PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC平面BED.(2)在平面PAB内过点

40、A作AGPB，G为垂足因为二面角APBC为90，所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCPB，故AG平面PBC，AGBC.BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC平面PAB，于是BCAB，所以底面ABCD为正方形，AD2，PD2.设D到平面PBC的距离为d.因为ADBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即dAG.设PD与平面PBC所成的角为，那么sin.所以PD与平面PBC所成的角为30.方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如下图的空间直角坐标系Axyz.设C(2，0,0)，D(，b,0)，其中b

41、0，那么P(0,0,2)，E，B(，b,0)于是(2，0，2)，从而0，0，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BDE.(2)(0,0,2)，(，b,0)设m(x，y，z)为平面PAB的法向量，那么m0，m0，即2z0且xby0，令xb，那么m(b，0)设n(p，q，r)为平面PBC的法向量，那么n0，n0，即2p2r0且bqr0，令p1，那么r，q，n.因为面PAB面PBC，故mn0，即b0，故b，于是n(1，1，)，(，2)，cosn，n，60.因为PD与平面PBC所成的角和n，互余，故PD与平面PBC所成的角为30.G6 三垂线定理20G5、G6、G10、G112021重庆卷

42、 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，ACBC3，D为AB的中点(1)求异面直线CC1和AB的距离；(2)假设AB1A1C，求二面角A1CDB1的平面角的余弦值图1320解：(1)因ACBC，D为AB的中点，故CDAB.又直三棱柱中，CC1面ABC，故CC1CD，所以异面直线CC1和AB的距离为CD.(2)解法一：由CDAB，CDBB1，故CD面A1ABB1，从而CDDA1，CDDB1，故A1DB1为所求的二面角A1CDB1的平面角因A1D是A1C在面A1ABB1上的射影，又AB1A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1A1D，从而A1AB1，A1DA都与B1AB互余，因此A1AB1A1DA，

43、所以RtA1ADRtB1A1A，因此，得AAADA1B18.从而A1D2，B1DA1D2，所以在A1DB1中，由余弦定理得cosA1DB1.解法二：如以下图，过D作DD1AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，由(1)知DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.设直三棱柱的高为h，那么A(2,0,0)，A1(2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0，0)，从而(4,0，h)，(2，h)由得0，即8h20，因此h2.图14故(2,0,2)，(2,0,2)，(0，0)设平面A1CD的法向量为m(x1，y1，z1)，那么m，

44、m，即取z11，得m(，0,1)设平面B1CD的法向量为n(x2，y2，z2)，那么n，n，即取z21，得n(，0，1)，所以cosm，n.所以二面角A1CDB1的平面角的余弦值为.G7 棱柱与棱锥13G72021山东卷 如图13所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，那么三棱锥ADED1的体积为_图1313.解析 此题考查棱锥的体积公式，考查空间想象力与转化能力，容易题VADED1VEDD1A111.7G72021江苏卷 如图12，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，那么四棱锥ABB1D1D的体积为_cm3.图1276解析 此

45、题考查四棱锥体积的求解以及对长方体性质的运用解题突破口为寻找四棱锥的高连AC交BD于点O，因四边形ABCD为正方形，故AO为四棱锥ABB1D1D的高，从而V236.3. G2、G72021浙江卷 某三棱锥的三视图(单位：cm)如图11所示，那么该三棱锥的体积是()A1 cm3 B2 cm3C3 cm3 D6 cm3图113A解析 此题考查三棱锥的三视图与体积计算公式，考查学生对数据的运算能力和空间想象能力由三视图可知，该几何体为一个正三棱锥，那么VSh1231.18G5、G72021陕西卷 直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，CAB.(1)证明：CB1BA1；(2)AB2，BC，求三棱锥

46、C1ABA1的体积图1718解：(1)证明：如图，连结AB1，ABCA1B1C1是直三棱柱，CAB，AC平面ABB1A1，故ACBA1.又ABAA1，四边形ABB1A1是正方形，BA1AB1，又CAAB1A.BA1平面CAB1，故CB1BA1.(2)ABAA12，BC，ACA1C11，由(1)知，A1C1平面ABA1，VC1ABA1SABA1A1C121.19G5、G72021湖南卷 如图17，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD.(1)证明：BDPC；(2)假设AD4，BC2，直线PD与平面PAC所成的角为30，求四棱锥PABCD的体积19解：(

47、1)证明：因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.图18又ACBD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，所以BD平面PAC.而PC平面PAC，所以BDPC.(2)设AC和BD相交于点O，连结PO，由(1)知，BD平面PAC，所以DPO是直线PD和平面PAC所成的角从而DPO30.由BD平面PAC，PO平面PAC知，BDPO.在RtPOD中，由DPO30得PD2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，ACBD，所以AOD，BOC均为等腰直角三角形从而梯形ABCD的高为ADBC(42)3，于是梯形ABCD的面积S(42)39.在等腰直角三角形AOD中，ODAD2，所以PD2OD4，PA4.故四棱锥PABCD的体积为VSPA9412.19G5、G72021湖北卷 某个实心零部件的形状是如图17所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCDA2B2C2D2.图17(1)证明：直线B1D1平面ACC2A2；(2)现需要对该零部件外表进行防腐处理AB10，A1B120，AA230，AA113(单位：cm)，需加工处理费多少元？19解：(1)因为四棱柱ABCDA2B