数学练习题考试题高考题教案高考江苏数学试卷含附加题详细答案(全)080616

1、绝密启用前20212021 年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数数学学注注意意事事项项考生在答题前请认真阅读本考前须知及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本考前须知及各题答题要求1、本试卷共 4 页，包含填空题第 1 题第 14 题 、解答题第 15 题第 20 题两局部。本试卷总分值 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。4、作答非选择题必须用书

2、写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。5、如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。参考公式:样本数据1x,2x,nx的标准差222121nsxxxxxxn其中x为样本平均数柱体体积公式VSh其中S为底面积，h为高一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 70 分分1假设函数假设函数cos()(0)6yx最小正周期为最小正周期为5，那么，那么.【解析】本小题考查三角函数的周期公式.210

3、5T【答案】102假设将一颗质地均匀的骰子一种各面上分别标有假设将一颗质地均匀的骰子一种各面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具个点的正方体玩具 ，先后抛掷两次，那么出现向上的点数之和为先后抛掷两次，那么出现向上的点数之和为 4 的概率是的概率是【解析】 本小题考查古典概型 根本领件共 66 个， 点数和为 4 的有(1,3)、 (2,2)、 (3,1)共 3 个，故316 612P 【答案】1123 3假设将复数假设将复数11ii表示为表示为( ,abi a bR i是虚数单位的形式，那么是虚数单位的形式，那么ab锥体体积公式13VSh其中S S为底面积，h为高球的外表积、体

4、积公式24SR，343VR【解析】本小题考查复数的除法运算21112iiii，a0，b1，因此1ab【答案】14 4假设集合假设集合2 |(1)37,AxxxxR，那么，那么AZ中有中有个元素个元素【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式由2(1)37xx得2560 xx,( 1,6)A ，因此0,1,2,3,4,5AZ ，共有 6 个元素【答案】65向量向量a和和b的夹角为的夹角为0120，| 1,| 3ab，那么，那么|5|ab【解析】本小题考查向量的线性运算2222552510ababaa bb =22125 110 1 33492 ，5ab7【答案】76 在平面直角坐标系在平面直

5、角坐标系xoy中中， 设设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域的点构成的区域，E是到原点的距离不大于是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向的点构成的区域，向D中随机投一点中随机投一点，那么所投点在那么所投点在E中的概率是中的概率是【解析】本小题考查古典概型如图：区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部含边界 ，区域 E 表示单位圆及其内部，因此214 416P【答案】167某地区为了解某地区为了解7080岁的老人的日平均睡眠时间单位：岁的老人的日平均睡眠时间单位：h ，随机选择了，随机选择了 50 位老人进行位老人进行调查，下表是这调查，

6、下表是这 50 位老人睡眠时间的频率分布表：位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中在上述统计数据的分析中一局部计算见算法流程图一局部计算见算法流程图， 那么输那么输出的出的 S 的值为的值为【解析】由流程图1122334455SG FG FG FG FG F序号序号i分组分组睡眠时间睡眠时间组中值组中值iG频数频数人数人数频率频率 iF14,5)4.560.1225,6)5.5100.2036,7)6.5200.4047,8)7.5100.2058,98.540.08开始S0输入 Gi，i1S SGiFii5i i1NY输出 S结束4.5 0.125.5 0.206.5 0.407

7、.5 0.28.5 0.086.428设直线设直线bxy21是曲线是曲线)0(lnxxy的一条切线，那么实数的一条切线，那么实数b的值是的值是【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法1yx，令112x得2x ，故切点2，ln2 ，代入直线方程，得，所以 bln21【答案】ln219如图如图，在平面直角坐标系在平面直角坐标系xoy中中，设三角形设三角形ABC的顶点分别为的顶点分别为)0 ,(),0 ,(), 0(cCbBaA，点点(0, )Pp在线段在线段 AO 上的一点异于端点上的一点异于端点 ，这里，这里pcba,均为非零实数，设直线均为非零实数，设直线CPBP,分别分别与边与边ABAC

8、,交于点交于点FE,，某同学已正确求得直线，某同学已正确求得直线OE的的方程为方程为01111yapxcb， 请你完成直线请你完成直线OF的方程的方程：()011yapx。【解析】本小题考查直线方程的求法画草图，由对称性可猜测填11cb 事实上， 由截距式可得直线 AB：1xyba，直线 CP：1xycp，两式相减得11110 xybcpa，显然直线 AB 与 CP 的交点 F满足此方程，又原点 O 也满足此方程，故为所求直线 OF 的方程【答案】11cb10将全体正整数排成将全体正整数排成一个一个三角形数阵：三角形数阵：按照以上排列的规律，第按照以上排列的规律，第n行行3n从左向右的第从左向

9、右的第 3 个数为个数为【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式前 n1 行共有正整数 12n1个，即22nn个，因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第22nn3 个，即为262nn【答案】262nn11设设, ,x y z为正实数，满足为正实数，满足230 xyz，那么，那么2yxz的最小值是的最小值是ABCxyPOFE123456789101112131415【解析】本小题考查二元根本不等式的运用由230 xyz得32xzy，代入2yxz得229666344xzxzxzxzxzxz，当且仅当x3z时取“【答案】312在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中中，椭圆，椭圆)0( 12

10、222babyax的焦距为的焦距为 2c，以，以 O 为圆心，为圆心，a为为半径半径作圆作圆M，假设过假设过20aPc，作作圆圆M的两条切线相互垂直，那么椭圆的离心率为的两条切线相互垂直，那么椭圆的离心率为【解析】设切线 PA、PB 互相垂直，又半径 OA 垂直于 PA，所以OAP 是等腰直角三角形，故22aac，解得22cea【答案】2213满足条件满足条件BCACAB2, 2的三角形的三角形ABC的面积的最大值的面积的最大值【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想设 BCx，那么 AC2x，根据面积公式得ABCS=21sin1 cos2AB BCBxB，根据余弦定理得2222

11、242cos24ABBCACxxBAB BCx244xx，代入上式得ABCS=2221281241416xxxx由三角形三边关系有2222xxxx解得2 222 22x，故当2 2x 时取得ABCS最大值2 2【答案】2 214设函数设函数3( )31()f xaxxxR，假设对于任意的，假设对于任意的1 , 1x都有都有0)(xf成立，那么成立，那么实数实数a的值为的值为【解析】本小题考查函数单调性的综合运用假设 x0，那么不管a取何值， f x0 显然成立；当 x0 即1,1x 时， 331f xaxx0 可化为，2331axx设 2331g xxx，那么 43 1 2xgxx， 所以 g

12、 x在区间10,2上单调递增，在区间1,12上单调递减，因此 max142g xg，从而a4；当 x0 即1,0时， 331f xaxx0 可化为a 2331xx， 43 1 2xgxx0 g x在区间1,0上单调递增，因此 ma14ng xg，从而a4，综上a4【答案】4二二、解答题解答题：本大题共本大题共 6 6 小题小题，共共 9090 分分。请在请在答题卡指定区域答题卡指定区域内作答内作答，解答时应写出文字说明解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。15如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系xOy中，以中，以Ox轴为始边作两个轴为始边作两个锐角锐角，它们的终边

13、分别交单位圆于它们的终边分别交单位圆于AB，两点两点AB，两两点的横坐标分别是点的横坐标分别是210，2 551求求tan()的值；的值；2求求2的值的值【试题【试题解析解析】先由条件得先由条件得22 5cos,cos105，第第1问求tan()的值，运用正切的和角公式；第2问求2的值，先求出tan(2 )的值，再根据范围确定角的值。的值，再根据范围确定角的值。【标准答案】【标准答案】1由条件即三角函数的定义可知22 5cos,cos105，因为锐角，故sin0，从而27 2sin1 cos10同理可得25sin1 cos5，因此1tan7,tan2.所以tan()=17tantan2311t

14、antan1 72 ;BAxyOABCDEFBCDAOP2132tan(2 )tan()111 ( 3)2 ,30,0,02,222又故从而由tan(2 )1 得324.16如图如图，在四面体在四面体ABCD中中，CBCDADBD，点点EF，分别是分别是ABBD，的中点的中点求求证：证：1直线直线/EF面面ACD；2平面平面EFC 面面BCD【试题【试题解析解析】第 1 问根据线面平行关系的判定定理 ，在面ACD内找一条直线和直线 EF 平行即可，第 2 问，需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直。【标准答案】【标准答案】证明证明： 1E,F 分别是ABBD，的中点

15、EF 是ABD 的中位线，EFAD，EF面 ACD，AD面 ACD，直线 EF面 ACD；2ADBD，EFAD，EFBD，CB=CD，F 是的中点，CFBD又 EFCF=F,BD面 EFC，BD面 BCD，面EFC 面BCD17如图，某地有三家工厂，分别位于矩形如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的两个顶点的两个顶点 A，B 及及 CD 的中点的中点 P 处处AB20km，BC10km为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上含边界且与为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上含边界且与 A，B 等距的一点等距的一点 O 处处，建造一个污水处理厂建造一个污水处理厂，并铺设三条排污

16、管道并铺设三条排污管道 AO，BO，PO记铺设管道的记铺设管道的总长度为总长度为 ykm1按以下要求建立函数关系式：按以下要求建立函数关系式：i设设BAOrad ，将，将y表示成表示成的函数；的函数；ii设设OPxkm ，将，将y表示成表示成x的函数；的函数；2请你选用请你选用1中的一个函数关系确定污水处理厂的中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。位置，使铺设的污水管道的总长度最短。【解析】本小题主要考查函数最值的应用由条件知 PQ 垂直平分 AB，假设BAO=(rad) ，那么10coscosAQOA, 故10cosOB，又 OP10 10tan，所以10101

17、0 10tancoscosyOAOBOP，所求函数关系式为20 10sin10cosy04假设 OP=x(km) ，那么 OQ10 x，所以 OA =OB=222101020200 xxx所求函数关系式为2220200 010yxxxx选择函数模型，2210coscos20 10sin10 2sin1coscossiny令y 0 得 sin12，因为04，所以=6，当0,6时，0y ，y是的减函数；当,6 4 时，0y ，y是的增函数，所以当=6时，min10 10 3y。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离 AB 边10 33km 处。18在平面直角坐标系在平面直角坐标

18、系xOy中，记二次函数中，记二次函数2( )2f xxxbxR与两坐标轴有与两坐标轴有三个交点经过三个交点的圆记为三个交点经过三个交点的圆记为C1求实数求实数 b 的取值范围；的取值范围；2求求圆圆C的方程；的方程；3问问圆圆C是否经过定点其坐标与是否经过定点其坐标与b的无关的无关？请证明你的结论？请证明你的结论解：解：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法令x0，得抛物线与y轴交点是0，b ；令 220f xxxb，由题意 b0 且0，解得 b1 且 b0设所求圆的一般方程为2x20yDxEyF令y0 得20 xDxF这与22xxb0 是同一个方程，故 D2，Fb令x0 得2yEy

19、0，此方程有一个根为 b，代入得出 Eb1所以圆 C 的方程为222(1)0 xyxbyb.圆 C 必过定点，证明如下：假设圆 C 过定点0000(,)(,)xyxyb不依赖于，将该点的坐标代入圆 C 的方程，并变形为22000002(1)0 xyxyby*为使*式对所有满足1(0)bb的b都成立，必须有010y，结合*式得22000020 xyxy，解得000002 11xxyy， ，或，经检验知，点(0,1),( 2,0)均在圆 C 上，因此圆 C 过定点。19 1设设12,na aa是是各项均不为零的各项均不为零的n4n项等差数列项等差数列，且公差且公差0d ，假设将此假设将此数列删去某

20、一项后得到的数列按原来的顺序是等比数列数列删去某一项后得到的数列按原来的顺序是等比数列i当当4n 时，求时，求1ad的数值；的数值；ii求求n的所有可能值的所有可能值2求证：对于给定的正整数求证：对于给定的正整数n(4n)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列，存在一个各项及公差均不为零的等差数列12b b， ， ，nb，其中任意三项按原来的顺序都不能组成等比数列，其中任意三项按原来的顺序都不能组成等比数列解解： 1当 n=4 时,1234,a a a a中不可能删去首项或末项，否那么等差数列中连续三项成等比数列，那么推出 d=0。假设删去2a，那么2314aa a，即2111(2 )(3 )

21、adaad化简得140ad，得14ad假设删去3a，那么2214aa a，即2111()(3 )adaad化简得10ad，得11ad综上，得14ad或11ad。当 n=5 时,12345,a a a a a中同样不可能删去1245,a a a a，否那么出现连续三项。假设删去3a，那么1524a aaa，即1111(4 )() (3 )a adadad化简得230d ，因为0d，所以3a不能删去；当 n6 时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列12321,nnna a aaaa中，由于不能删去首项或末项，假设删去2a，那么必有132nna aaa，这与0d矛盾；同样假设删去1na也有132n

22、na aaa，这与0d矛盾；假设删去32,naa中任意一个，那么必有121nna aaa，这与0d矛盾。(或者说：当 n6 时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，4n 。2 假设对于某个正整数 n， 存在一个公差为 d 的 n 项等差数列nbbb,.,21， 其中111,xyzbbb01xyzn 为 任 意 三 项 成 等 比 数 列 ， 那 么2111yxzbbb， 即2111()() ()bydbxdbzd，化简得221()(2 )yxz dxzy bd*由10bd 知，2yxz与2xzy同时为 0 或同时不为 0当2yxz与2xzy同时为 0 时，有xyz与题设矛盾。故

23、2yxz与2xzy同时不为 0，所以由*得212byxzdxzy因为01xyzn，且 x、y、z 为整数，所以上式右边为有理数，从而1bd为有理数。Oyx(a,f(a)(b,f(b)图 1于是，对于任意的正整数) 4( nn，只要1bd为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。例如n项数列1，12，1 2 2，1 (1) 2n满足要求。20函数函数11( )3xpf x，22( )2 3xpfx12,xR p p为常数为常数 函数函数( )f x定义为定义为：对每个对每个给定的实数给定的实数x，112212( ),( )( )( )( ),( )( )fxfxfxfxfxfxfx若若1 1求

24、求1( )( )f xf x对所有实数对所有实数x成立的充分必要条件用成立的充分必要条件用12,p p表示表示 ；2 2设设, a b是两个实数是两个实数，满足满足ab，且且12,( , )p pa b假设假设( )( )f af b，求证求证：函数函数( )f x在在区间区间 , a b上的单调增区间的长度之和为上的单调增区间的长度之和为2ba闭区间闭区间 , m n的长度定义为的长度定义为nm解解： 1由( )f x的定义可知，1( )( )f xf x对所有实数x等价于 12fxfx对所有实数x这又等价于1232 3xpxp，即123log 2332x px p 对所有实数x均成立.*由

25、于121212()()()xpxpxpxpppxR的最大值为12pp，故*等价于1232pp，即123log 2pp，这就是所求的充分必要条件2分两种情形讨论i当1232pplog时，由1知1( )( )f xf x对所有实数 , xa b那么由 f afb及1apb易知12abp，再由111113,( )3,pxxpxpf xxp的单调性可知，函数( )f x在区间 , a b上的单调增区间的长度为22abbab参见示意图 1ii1232pplog时，不妨设12,pp，那么213log 2pp，于是当1xp时，有1212( )33( )pxpxf xfx，从而1( )( )f xf x；当2

26、xp时，有312122122log 212( )333333( )xpppxpppxpxpf xfx 从而2( )( )f xfx；Oyx(a,f(a)(b,f(b)(x0,y0)(p2,2)(p1,1)图 2当12pxp时，11( )3xpf x，及22( )2 3pxfx，由方程1232 3xppx解得12( )( )f xfx与图象交点的横坐标为12031log 222ppx显然10221321()log 22pxpppp，这说明0 x在1p与2p之间。由易知101022( ) ,( )( ) ,pxxf xf xxxpfx综上可知，在区间 , a b上，0102( ) ,( )( )

27、,axxf xf xxxbfx参见示意图 2故由函数1( )f x及2( )fx的单调性可知，( )f x在区间 , a b上的单调增区间的长度之和为012()()xpbp，由于( )( )f af b，即1232 3pab p，得123log 2ppab故由、得0121231()()log 222baxpbpbpp综合i ii可知，( )f x在区间 , a b上的单调增区间的长度和为2ab。20212021 年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学附加题参考答案数学附加题参考答案21：从从 A，B，C，D 四个中选做四个中选做 2 个，每题个，每题 10

28、 分，共分，共 20 分分A选修选修 41几何证明选讲几何证明选讲如图，设如图，设ABC 的外接圆的切线的外接圆的切线 AE 与与 BC 的延长线交于点的延长线交于点 E，BAC 的平分线与的平分线与 BC 交于交于点点D求证：求证：2EDEB EC证明：如图，因为AE是圆的切线，所以，ABCCAE ,又因为AD是BAC的平分线，所以BADCAD 从而ABCBADCAECAD 因为ADEABCBAD ,DAECADCAE 所以ADEDAE ,故EAED.因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知,2EAEC EB,而EAED,所以2EDEC EBB选修选修 42矩阵与变换矩阵与变换在平面直角坐标系

29、在平面直角坐标系xOy中，设椭圆中，设椭圆2241xy在矩阵在矩阵2001对应的变换作用下得到曲线对应的变换作用下得到曲线 F，求求 F 的方程的方程解：设00(,)P xy是椭圆上任意一点，点00(,)P xy在矩阵A对应的变换下变为点00(,)P xy那么有00002 0 0 1xxyy ，即00002xxyy，所以00002xxyy又因为点P在椭圆上，故220041xy，从而2200()()1xy所以，曲线F的方程是221xyBCEDAC选修选修 44参数方程与极坐标参数方程与极坐标在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，点中，点()P xy，是椭圆是椭圆2213xy上的一个动点，求上

30、的一个动点，求Sxy的最大的最大值值解： 因椭圆2213xy的参数方程为3cos (sinxy为参数）故可设动点P的坐标为( 3cos ,sin），其中02.因此313cossin2(cossin )2sin()223Sxy所以，当6时，S取最大值 2D选修选修 45不等式证明选讲不等式证明选讲设设 a，b，c 为正实数，求证：为正实数，求证：3331112 3abc+abc证明：因为, ,a b c为正实数，由平均不等式可得33333331111113abcabc即3331113abcabc所以3331113abcabcabcabc，而3322 3abcabcabcabc所以3331112 3abc+abc22 【必做题】记动点【必做题】记动点 P 是棱长为是棱长为 1 的正方体的正方体1111-ABCD ABC D的对角线的对角线1BD上一点，记上一点，记11D PD B当当APC为钝角时，求为钝角时，求的取值范围的取值范围解：由题设可知，以DA 、DC、1DD 为单位正交基底，建立如下图的空间直角坐标系Dxyz，那么有(1,0,0)A,(1,1,0)