2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷1,含答案)

1、1高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。用：出门考试之前，一定要检查文具包。看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么

2、工具用着不顺于。行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。绝密启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时， 选出每小题答案后， 用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需

3、要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。23.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A.-4C.-、选择题：本题共12小题，每小题5分,1.已知集合 A=(x|x1000和 n=n+1B.A1000和 n=n+2C.A1000和 n=n+1D.A1000

4、和 n=n+22丘一x+仝），则下面结论正确的是3到曲线 C26（12）（1x）6展开式中x2的系数为xA.15B.20C.30D.352,俯视图为等腰直角三角形A.10B.128.右面程序框图是为了求出满足3n-2n1000的最小偶数n,那么在|O和=1两个空白框中，可以分别填入IJJ2J早/输AJJ=O/9.已知曲线 G:y=cosx,C2：y=sin(2A.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得6B.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移M个单位长度，得12C.14D.165到曲线 C2C.把G上各点的横坐标缩

5、短到原来的1.一.一1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移2个单位长度，得66D.把G上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移三个单位长度，得212到曲线 C210.已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线 l1,I2,直线|1与 C 交于 A、B 两点，直线 l2与 C 交于 DE 两点，则|AB+|DE 的最小值为A.16B.14C.12D.1011.设 xyz 为正数，且2x3y5z,则A.2x3y5zB.5z2x3yC.3y5z2xD.3y2x100且该数列的前 N 项和为2的整数藉那么该款软件的激活码是A.440B.330C.

6、220D.110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量a,b 的夹角为60,|a|=2,|b|=1，则|a+2b|=x2y114.设x,y满足约束条件2xy1,则z3x2y的最小值为.xy02215.已知双曲线C：笔%1（a0,b0）的右顶点为 A 以 A 为圆心，b 为半径做圆凡圆 A 与双曲线 Cab的一条渐近线交于MN 两点。若/MAN60,贝 UC 的离心率为。16.如图，圆形纸片的圆心为 Q 半径为5cm,该纸片上的等边三角形 ABC 勺中心为 ODE、F 为圆 O 上的点，DBCECAFAB 分别是以 BCCAAB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以

7、BCCAAB 为折痕折起DBCECAFAB 使得 DE、F 重合，得到三棱锥。当ABC 勺边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cmf）的最大值为。7三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）82ABC 勺内角AB,C 的对边分别为 a,b,c,已知ABC 勺面积为一3sinA(1)求sinBsinC(2)若6cosBcosC=1,a=3,求ABC 勺周长.18.(12分)如图，在四棱锥 P-ABC 畔，AB/CD,且BAPCDP90.(1)证明：平面

8、 PA 乩平面 PAD(2)若 PA=PD=AB=DCAPD90o，求二面角 A-PB-C 的余弦值.19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程， 检验员每天从该生产线上随机抽取尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).(1)假设生产状态正常， 记 X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;的第i个零件的尺寸，i1,2,16.

9、用样本平均数X作为的估计值？，用样本标准差s作为的估计值？，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(？3?,?3?)之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0.01)附：若随机变量Z服从正态分布N(,2)，则P(3Z3)0.9974,0.9974160.9592,0.0080.09.20.(12分)16个零件，并测量其3)之外的零件，就认为这条生产线在这一(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x116Xi16i19.97

10、,s1(Xix)216i1116(x216X2)20.212,其中Xi为抽取9x2V2、3.3已知椭圆C：=1(ab0)，四点P1(1,1),P2(0,1),P3(-1,)，P4(1,)中恰有ab22三点在椭圆 C 上.(1)求C的方程；(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A,B 两点.若直线 PA 与直线 P2B 的斜率的和为-1,证明：l 过定点.21.(12分)已知函数f(x)ae2x+(a2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角

11、坐标系 xOy 中，曲线C的参数方程为x3cos(0为参数)，直线 l 的参数方程为ysin,xa4t(t为参数).y1t,(1)若 a=-1，求 C 与 l 的交点坐标；(2) 若 C 上的点到 l 的距离的最大值为应，求a.23.选修4-5:不等式选讲(10分)已知函数 f(x)=-x2+ax+4,g(x)=x+1+x-1.(1)当 a=1 时，求不等式 f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围答案1. A2. B3. B4. C5. D6. C7. B(2)若有两个零点，求f(x)a 的取值范围108.D9.D10.A11.D12.A13.

12、2、.314.515.2.3316.4,1517,解：(1)由题设得-acsinB，即-csinB-.23sinA23sinA1sinA由正弦正理得-sinCsinB.，2故sinBsinC-.31(2)由题设及(1)碍cosBcosCsinBsinC，即cos(BC)2所以BC登，故A-.331由题设碍-bcsinA22，即bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9，得bc底.故ABC的周长为3J33.18.解：(1)由已知BAPCDP90，得 ABLAPC 皿 PD由于 AB/CD 故 AaPD 从而 A 乱平面 PAD又 AB 平面 PAB 所以平面 PA&平面 PAD(2

13、)在平面PAD内做PFAD，垂足为F,由(1)可知，AB平面PAD，故ABPF,可得PF平面ABCD.ULUUUIU以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.113）之外的概率为0.0026，故XB（16,0.0026）.因此P(X1)1P(X0)10.99740.0408.X的数学期望为EX160.00260.0416.一.2由（1）及已知可得A（工,0,0）,uum2、2uun所以PC(,1,),CB22项,0），C(,1,0).(、.2,0,0)uuu，PA(芸,.2uuu)，AB(0,1,0)2设n（x,y,z）是平面PCB的法向量

14、，则uuurnPCuuunCB2.2nxyz022,可取n(0,1,.2).设m（x,y,z）是平面PAB的法向量，则uuumPAuuumAB0，即0、2x2可取n(1,0,1).贝Ucos_n而m|所以二面角PBC的余弦值为19.【解】（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在tP(0,0,W,B(212(2)(i)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常

15、情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的的估计值为？9.97,的估计值为？0.212,由样本数据可以看20.(12分)解:1因此b21a4t2，可得 A,B 的坐标分别为(t,t),(t,(1)由于P3,P4两点关于 y 轴对称，故由题设知C 经过P3,P4两点.3马知,4bC不经过点P,所以点P2在 C 上.故 C 的方程为4y21.(2)设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为k1,k2,则k1k2得 t2,不符合题设.从而可设 lykxm(m1).将ykxm代入y21得4(4k21)x228kmx4m40(ii)由x9.97,s0.212,得出有一个零件的

16、尺寸在(？3?,?3?)之外，因此需对当天的生产过程进行检查剔除(？3?,?3?)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为(169.979.22)10.02，因此的估15计值为10.02.16xi2*160.2122169.972i11591.134，易U除(?3?,?3?)之外的数据9.22,剩下数据的样本方*12差为一(1591.1349.22_2-1510.02)0.008,因此的估计值为J0.0080.09.34b22a24,解得a4如果 l 与 x 轴垂直，设 l:x=t,由题设知 t0，且|t|13设 A(xy),B(x2,y2)，则 x+x2=.而临k2XIx2kx1m1kx2m1

17、XIx22kx1x2(m1)(x1x2).XIX2由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m，2，c，4m48km即(2k1)2(m1)0.4k14k1解得k吐.2当且仅当 m1 时，0,欲使I:y1)(X1所以l过定点(2,1)1)0.由题设可知=16(4k2m28km24k124m4xx2=24k21.解：(1)f(x)的定义域为(),X2)(i)若a0，则f(x)0,所以(ii)若a0,则由f(x)当x(,Ina)时，f(x)0;在(Ina,)单调递增.(i知,a0,由(1)知，当x当a1时，由于f(Ina)当a1(1,)时，由于11a当a1(0,1)时，11Inaa又f(2)ae4(a

18、2)e2(ii)若0,Ina0,即f(0,即f(Ina)2f(x)f(x)在(Ina.当x(Ina,2ae2x1-(x2),(a2)ex)单调递减.)时，f(x)0,f(x)至多有一个零点.1(aex1)(2ex所以f(x)在(Ina时，f(x)取得最小值，最小值为f(Ina)故f(x)只有一个零点;Ina)0，故f(x)没有零点;0.1),Ina)单调递减,故f(x)在(，Ina)有一个零点.14当x1时，式化为x2x40,从而11172当a4时，d的最大值为一矣.由题设得-%=1而，所以a16.17.17综上，a8或a16.、23.选修4-5:不等式选讲（10分）当x1时，式化为x23x40,无解;当1x1时，式化为x2x20,从而1x1；所以f(x)g(x)的解集为(x|1x1而.2一3nnn一n_设正整数n0满足n0ln(-1),则f(n0)e0(aea2)fe0m20m0.a.一3由于In(1)Ina，因此f(x)在(Ina,)有一个零点.a综上，a的取值范围为（0,1）.22.选修4-4:坐标系与参数方程（10分）解：（1）曲线C的普通方程为工y21.9当a1时，直线l的普通方程为x4y30.x4y30y2