新人教版九年级数学《垂径定理》

1、1 1、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴是它们的对称轴.2 2、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？圆是中心对称图形，圆心是对称中心圆是中心对称图形，圆心是对称中心如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线

2、段和弧？为什么？OABCDE活活 动动 一一（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴（2） 线段：线段： AE=BE弧：，弧：，把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半圆重合，两侧的两个半圆重合，点点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合，和和 重合，重合，和和重合重合直径平分弦，并且直径平分弦，并且平分及平分及OABCDE即即，垂径定理：垂径定理：垂直于弦的垂直于弦的直径平分弦，并且平分直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧AM=BM,n由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得AD=BD. AC=BC,

3、垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧EDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABc是是不是不是是是不是不是OEDCABEDCOABOBCADDOBCAOBAC垂径定理的几个基本图形：垂径定理的几个基本图形：CDCD过圆心过圆心CDABCDAB于于E EAE=BEAC=BCAD=BD思考：思考：平分弦（不平分弦（不是直径）的直径有是直径）的直径有什么性质？什么性质？如图如图: ABAB是是OO的一条弦的一条弦，直径，直径CDCD交交ABAB于于MM，AM=BMAM=BM垂径定

4、理的推论OABCDM连接连接OA,OB,OA,OB,则则OA=OB.在在OAM和和OBM中中,OA=OB，OM=OM，AM=BMOAM OBM.AMO= BMO.CDAB O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.平分平分弦（不是直径）的直径弦（不是直径）的直径垂直垂直于于弦弦, ,并且并且平分平分弦所对的两条弦所对的两条弧弧. .（1）（4）（5）（2）（3）（1）（5）（2）（3）（4）讨论讨论（1）（3）（2）（4）（5）（1）（4）（2）（3）（5）（1）

5、过圆心（）过圆心（2）垂直于）垂直于弦弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平）平分弦所对优弧分弦所对优弧 （5）平分）平分弦所对的劣弧弦所对的劣弧（3）（5）（3）（4）（1）（2）（5）（2）（4）（1）（3）（5）（2）（5）（1）（3）（4）（1）（2）（4）（4）（5）（1）（2）（3）OABCDM每条推论如何用语言表示？（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，）平分弦

6、所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧（4） （5） （6） （7） （8） （9）根据垂径定理与推论可知对于一个圆和根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备一条直线来说。如果具备（1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论推出其他三个结论结论结论一、判断下列说法的正误一、判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦

7、平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分的两条弧分别三等分 OABCDM3 3半径为半径为2cm2cm的圆中，过半径中点且的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是

8、垂直于这条半径的弦长是 。cm32cm328cmA AB BO OE EA AB BO OE EO OA AB BE E1 1半径为半径为4cm4cm的的OO中，弦中，弦AB=4cm,AB=4cm, 那么圆心那么圆心O O到弦到弦ABAB的距离是的距离是 。2 O的直径为的直径为10cm，圆心，圆心O到弦到弦AB的的 距离为距离为3cm，则弦，则弦AB的长是的长是 。二、填空：二、填空：OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧4 4、OO的半径为的半径为10cm10cm，弦，弦ABCDABCD， AB=16AB=16，CD=12CD=

9、12，则，则ABAB、CDCD间的间的 距离是距离是_ _ . .2cm或或14cm如图如图, ABC的三个顶点在的三个顶点在 O上，上，OEAB于于E，OF AC于于F。求证：求证：EFBC，EF=12BC练习练习OABCEFOEAB E为AB的中点OF AC F为AC的中点 EF为三角形ABC的中位线12BC1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE再来！你行吗？再来！你行吗？解：解：OEAB222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半径为的半径为5cm.118422A

10、EAB 在在Rt AOE 中中 2：已知：如图，在以：已知：如图，在以O为圆心的两为圆心的两个同心圆中，大圆的弦个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。求证：求证：ACBD。证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则则AEBE，CEDE。 AECEBEDE。 所以，所以，ACBDE.ACDBO实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段线段.就可以利用垂径定理来解决有关问题了就可以利用垂径定理来解决有关问题了.3、已知：、已知： O中弦中弦ABCD。求证：求证：ACBD证明：作直径证明：作直径MNAB。ABCD，MNCD。则则A

11、MBM，CMDM（垂直平分（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）弦的直径平分弦所对的弦）AMCMBMDMACBD.MCDABON你能讲解你能讲解吗？吗？夹在两条平行弦间的弧相等夹在两条平行弦间的弧相等.你能有一句话概括一下吗？你能有一句话概括一下吗？小结小结: 解决有关弦的问题，经常是过圆心作解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO说出你这节课的收获和体验，让大家说出你这节课的收获和体验，让大家与你一起分享！与你一起分享！圆是

12、轴对称图形圆是轴对称图形, ,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. .垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦, ,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧. . 垂径定理垂径定理: :在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为为解直角三角形解直角三角形的问题的问题 。根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备说。如果具备（1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧 （5）平分

13、弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论垂径定理与垂径定理与推论的应用推论的应用如图，如图， O的直径为的直径为10，弦，弦AB=8，P是弦是弦AB上一个动点，上一个动点，求求OP的取值范围的取值范围.OABP练习练习3OP5例例1 如图，已知在如图，已知在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB的距离为的距离为3厘米，求厘米，求 O的半径的半径.解：连结解：连结OA。过。过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则OE3厘米，厘米，AEBE。AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在RtA

14、OE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA5厘米厘米 O的半径为的半径为5厘米。厘米。.AEBO讲解讲解例、图示，在圆中，弦的长为厘米，例、图示，在圆中，弦的长为厘米，圆心到的距离为厘米，求圆的半径。圆心到的距离为厘米，求圆的半径。COABOADBCOEFABD例题图 变式题图 变式题图变式：若以为圆心，再画一个圆交与、两点，变式：若以为圆心，再画一个圆交与、两点，则与之间存在怎样的大小关系？则与之间存在怎样的大小关系？变式：若以为圆心，在变式题图的基础上再画一个变式：若以为圆心，在变式题图的基础上再画一个圆，则与，与之间存在怎样的大小关系？圆，则与，与之间存在怎样的大小关系？变式：在变式题

15、图的基础上，连结、变式：在变式题图的基础上，连结、，将大圆隐去，得到下图，设，试，将大圆隐去，得到下图，设，试证明。证明。变式：在变式题图的基础上，将小圆隐去，变式：在变式题图的基础上，将小圆隐去，得到下图，设得到下图，设CD，试证明。，试证明。OABCDOABCD变式题图变式题图 变式题图变式题图学生练习学生练习已知：已知：AB是是 O直径，直径，CD是弦，是弦，AECD，BFCD求证：求证：ECDF.AOBECDF如图如图,A、B、C在圆上在圆上,且且AB=AC=5厘米厘米, BC=8厘米，求圆的半径。厘米，求圆的半径。试一试试一试BCAOD2.已知，已知， O的直径的直径AB和弦和弦CD

16、相交于点相交于点E，AE=6厘米，厘米，EB=2厘米，厘米，BED=30，求求CD的长。的长。说明：说明：解决有关圆的问题，解决有关圆的问题，常常需要添加辅助线，常常需要添加辅助线，针对各种具体情况，辅助线的添加有一定的规针对各种具体情况，辅助线的添加有一定的规律，本例和上例中作律，本例和上例中作“垂直于弦的直径垂直于弦的直径”就是就是一个很好的例证。一个很好的例证。练习练习EOABCDF在直径是在直径是20cm的的 O中，中，AOB的度数是的度数是60, 那么弦那么弦AB的弦心距是的弦心距是. 5 3cmDABO圆的圆的圆心圆心到圆上到圆上弦弦的的距离叫做弦心距。距离叫做弦心距。如图，在如图

17、，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两条为互相垂直且相等的两条弦，弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形,

18、 ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离) )为为7.27.2m m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 解得：解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.

19、2，OD=OCCD=R7.2解：因为解：因为如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为R经过圆心经过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB 相交于点相交于点D，根据前面的结论，根据前面的结论，D 是是AB 的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD 就是拱高就是拱高7.218.7如图，弓形如图，弓形ABC中，弦中，弦AC的长为的长为8厘米，弦厘米，弦的中点到劣弧中点间的长度是的中点到劣弧中点间的长度是2厘米，厘米，求圆的半径。求圆的半径。练习练习ABCDOx42x-2ABOE)(2650mmOB D)(2600

20、mmEB 油的最大深度油的最大深度ED=ODOE=200(mm)或者油的最大深度或者油的最大深度ED=OD + OE=450(mm).(1) 在直径为在直径为650mm650mm的圆柱形油槽内装入一些的圆柱形油槽内装入一些油后油后, ,油面宽油面宽AB=600mm,AB=600mm,求油的最大深度。求油的最大深度。22EBOBOEOE=125(mm)(2)BAOED解：解：如图，某城市住宅社区，在相邻两楼之间修建一个上面是半如图，某城市住宅社区，在相邻两楼之间修建一个上面是半圆，下面是矩形的仿古通道，其中半圆拱的圆心距地面圆，下面是矩形的仿古通道，其中半圆拱的圆心距地面2米，米，半径为半径为1.3米，现有一辆高米，现有一辆高2.5米，宽米，宽2.3米的送家具的卡车，问米的送家具的卡车，问这辆卡车能否通过通道，请说明理由。这辆卡车能否通过通道，请说明理由。O2米1.3米解：如图，用半圆O表示通道上面的半圆，AB为直径，弦CD平行AB，过O作于E，连结OD，据垂径定理知：ABOCDE这辆卡车能通过通道。米米米）（）（米米，