2019年海淀区高三数学查漏补缺题

1、2019年海淀区高三数学查漏补缺题1数学思维方法的落实高三复习的最终目标是要让学生能够用数学的思维理解问题和解决问题 如果在学生近一年的大量练习的基础上，教师帮助学生从数学思维的角度进行梳理，对每一个单元知识的思维特征与方法进行概括，将会使学生对数学的认识提高一个层次.例 1:设函数f (x) =(x2ax a)e-有极值.(I)若极小值是0，试确定a；(U)证明：当极大值为3时，只限于a= 3的情况.解：(I)f (x) = (2x a)e_ _(x2ax a)e_ - -x(x a _2)e *,由f (x) = 0得x = 0或x=2-a.1当a =2时，f(x) - -x2e_0，f

2、(x)单调递减，函数f (x)无极值，与题意不符，故 a = 2;2当a 2时，x=2a为极小值点.故f(x)极小值=f (2 - a) =(4 -a)ea，当极小值为0时，a = 4 ；3当a 2时，同理可得 f(x)极小值二f(0) =a，当极小值为0时，a = 0.由知：a=0或a=4.(U)由(I)知：当a 2时，f(x)在x=0处取极大值f(0) = a，当a =3时，f (x)的极大值为3；当a : 2时，f(x)在x=2-a处取极大值f (2 -a) =(4 - a)ea=现在的问题是当(4 -a)ea=3时是否a = 3?解方程(4-a)ea?=3，得(4-a)ea，-3 =0

3、，艮卩ea(4 - a - 3e2)=0(*)设g(a) =4 a 3e2(a：2)则g (a) - -1 3e 0，所以，g(a)在(-#,2)上单调递增，则有g(a)：g(2) =-1，此时方程(*)无解，故当a：2时，f (x)的极大值不可能为3.根据(I)和(U)知：函数f (x)的极大值为3时，只限于a = 3.说明：此题主要考查学生研究函数方法的运用，即给函数解析式之后，能否通过导数这一研究函数的工具来研究函数的变化趋势，通过研究导函数的符号进一步了解函数的准确的变化状态.1例 2已知函数f (x)ax3x22x 1.(a乞0)3(I)求函数f(x)在(0, f (0)处的切线方程

4、；(u)若函数f(x)在(-2,一1)上单调减，且在(0,1)上单调增，求实数a的取值范 围；(川)当a =一1时，若-X0(t,0,函数f(x)的切线中总存在一条切线与函数f (x)在处的切线垂直，求 t 的最小值.解：(I )由已知f(0)=1f(x)=ax2+2x+2，所以f(0)=2，所以函数f(x)在(0, f(0)处的切线方程为y=2xT(II )解 1：当a =0时，f(x) =2x 2，满足在(-2,1)上f (x)：0，且在(0,1)上f(x) . 0，所以当a =0时满足题意；1当a：0时，f(x)二 ax2 2x 2 是恒过点(0, 2)，开口向下且对称轴x0的a抛物线，

5、由二次函数图象分析可得在(-2, -1)上f (x)：0,且在(0,1)上f (x) 0的充要条件是f一解得一4乞a，即-4乞a：0.f (-1)兰 0综上讨论可得-4二a二0.解 2:由已知可得在(-2,-1)上f(x)：0，且在(0,1)上f (x) 0，即a：-2笃卫 一2(丄 丄)在(-2,-1)上成立且a-叫卫一2(厶 丄)在(0,1)xx xxx x成立；1111因为在(-2, -1)上-2(飞厂0,在(0,1)上-2(二)：-4,xxxx所以-4乞a乞0.(III )当 a - -1 时，f (x) =-x22x 2 =3 (x 1)2乞 3,由题意可得 枫，(t,0，总存在R使

6、得 f(x)f(x)成立，即f(x。)成立，因为(-匚-弓山。，V)，当 X。，(t,0时，f (x)f (x)3f(x0)(3_(t_1)2,2 所以 3_(t_1)2xo，解得 1+V3ztX1_V3.所以 t 的最小值为 1-3.解：由图，设 A 点坐标为(x,x),x (0,-1),则B(1_G,G),由图可得1一匸x,记矩形 ABCD 的面积为 S,易得：S =ABAD =(1 -X -x). x - -( x)3X)- x令t=* (0号)，得所以S-2t 1 - -(3t -1)(t 1)，令S：=0，得t丿或t =-1，3因为r上1)，所以t=-.23S ,S随 t 的变化情况

7、如下表:t1(。,亍)13(1寻+0-S极大值27由上表可知，当t，即x时，S 取得最大值为5，所以矩形 ABCD 面3927积的最大值为.27说明：本题主要是帮助学生经历根据问题的条件和要求建立函数的解析式及确定定义域再研究函数的变化状态的思维过程例 4.已知f(x)=xl nxax, g(x) - _x2- 2 ,(I)对一切x. (0, ：), f (x) _ g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围;(U)当 a - -1 时，求函数 f (x)在m, m 3 (m 0)上的最小值.解：(I)对一切(0, ：), f (x) _ g(x)恒成立，即xln xax,：x2-2恒成立.2也就

8、是a乞In x x在x (0,：)恒成立.x2令F(x) =ln x x -x2，则 F(x)丄1, /：-22)厂),xxxx在(0,1)上 F(x) 0，在(1,:：)业 F(x)0，因此,F(x)在x=1处取极小值,也是最小值，即FmxXm)二F (1)=3，所以a空3.(U)当a - -1 时，f (x) = x In x x，1f (x) = In x 2，由f (x) = 0得x = .e11 1 .当0：m2时，在x m,=)业f (x)：0，在x(右，m 3_上f (x) 0eee1因此，f(x)在X = 4处取得极小值，也是最小值,e1当m丐时，f(x)_0，因此 f(x)

9、在m, m 3上单调递增,e所以fmxXmQ = f(m) =m(ln m 1).例 5.已知数列a满足 aa ,可=可十+2 定义数列 IbJ，使得 g =丄, ann N*若4a : 6，贝擞列也的最大项为(B )A. b2B . b3C . b4D . d例 6.假设实数 a1,a2,a3,a4是一个等差数列，且满足 0：a 2 及 a3= 4 若定义函数fn(x) =a/，其中n =1,2,3,4，则下列命题中错误的是(B )A.f2(a2) 4B.f1(a2) 1C.函数f2(x)为递增函数D.X (0,：)，不等式b(x)：f2(x)：f3(x)：f4(x)恒成立.说明：数列是函数

10、，用函数的观点看待数列；用研究函数的方法解决数列 问题是在数列复习中的重要方面2.理解数学概念的本质的落实学生在考试中出现的问题很多时候都是出在概念上.落实基本概念，不能简单图解为就是做基础题，教师要能够针对学生的实际提出有效的较为深刻的问题 检查学生的掌握情况，帮助学生理解数学概念的本质.例 7.函数f(x)=3sin 2x_n的图象为C，如下结论中不 正确的是(D)I 3丿-(写出所有正确结论的编号)11A.图象C关于直线x二11n对称12B.图象C关于点,0对称2 .丿C.函数 f(x)在区间 ，生 内是增函数V 12 12丿TTD.由 y =3sin2x的图象向右平移 一个单位长度可以

11、得到图象C3例 8.定义在R上的偶函数 f (x)，对任意的R均有 f (x 4) = f (x)成立，当9x0, 2时，f(xx 3，则直线 y =?与函数 y = f (x)的图像交点中最近两 点的距离等于_ .答案：1.例 9.已知实数a,b,c,d成等比数列，且对函数y=ln(x，2)-x，当x二b时取到 极大值c,则ad等于(A )A. -1B. 0 C.1D. 2例 10.已知：数列、an满足a1=16， ana2n，则an的最小值为(B )nA8B.7C.6D.52 2例 11.两条分别平行于 x 轴和y轴的直线与椭圆C1交于A、B、C、259D四点，则四边形ABCD面积的最大值

12、为 _答案：30.3解决数学问题的一般思路的落实如何分析函数的问题？如果是数列求和问题，应该先想什么？拿到一个解析几何的题目，如何分析？立体几何的问题要思考什么？等等，类似这样的问题，要让学生多想想，通过不同的问题，让学生多思考，过去讲过的、做过的很多的 经典的题目换个视角让学生再思考！我们要教给学生思考的方法而不是题型套路 查漏补缺关注遗漏的知识点仅仅是一个方面，更重要的是学生的数学的思维方法是不是还有没落实的地方例 12.已知 P 是直线 3x4y8=0 上的动点，PA, PB 是圆x2 y2一2x_ 2y 1 =0的两条切线，A,B 是切点，C是圆心，那么当四边形PACB面积取最小值时，

13、弦解析：过圆心 C (1，1)作直线 3x4y8=0 的垂线，垂足为 P,这时四边形PACB面积的最小值为2、2，四边形PACB中例 13.已知点 M 1,-a 和 N a,1 在直线 l:2x-3y，1=0 的两侧，则 a 的取值范围是_.解析：TM , N 两点位于直线l的两侧，.2 3a 1 2a - 3 1：0,故-1：a：1例 14.已知点A(-1,0)、B(1,0)，P(x,y)是直线y=x，2上任意一点，以A、B为 焦点的椭圆过点P.记椭圆离心率e关于 x0的函数为 e(x0)，那么下列结论正确的是(B )A.e与 X。- 对应B.函数 e(x0)无最小值，有最大值C.函数&am

14、p;冷)是增函数D. 函数 e(x。)有最小值，无最大值3例 15.双曲线的中心、右焦点、左顶点分别为O,F,A，若以Q为顶点F为焦点AB_CP,CP =3,AB4、23解析：依据椭圆定义|PA| |PB| = 2a，c 1e =a a当点P在AB(A,A关于直线对称)上时，a取得最小值，此时，右图分析可得当点P向左或向右移动时,a都在增大。所以函数 e(x)无最小值，有最大值.选 B.2.534的抛物线与双曲线渐近线的交点在以F为圆心 FA 为半径的圆上，则双曲线的离(II)2 =2k 兀一，：网兰兀， 6， ，6斗f故：f x二sin ! 2x.-3二-x匸l兀x_,23 兀5当 x =刁

15、时，f x取最大值-；心率为解析：设以O为顶点F为焦点的抛物线与双曲线渐近线的交点为P(Xo,- Xo),a代入抛物线的方程 y2=4cx，得x=，；又 AF = PF，AFba c，由抛物线的定义可得e = =2.aPF = x)+ c，所以 x0+c=a + c，即 xo=a，故例 16.函数f x = As in之亠,：亠匕A 0,八亠0,_二在一个周期内，当x =6时，y取最小值 1;当x时，y最大值 3.3(I)求f x的解析式;(II)求f x在区间：,上的最值.-2兀解：(I) 在一个周期内，当x时，y取最小值 1;当x时，y最大值 3.63A=1,b=2，T,T二二，w2 ,f

16、 x = sin2x i 亠 2,23622:由当x笃时，y最大值3得Sin1,5:5:7ir当X二百时，f X取最小值 1.例 17.设 Sn是正项数列an的前 n 项和，4San22a3.(I)求数列an的通项公式；(n)已知 bn=2n,求 Tnabi a2b2亠亠 anbn的值.1213解: (I)当n = 1时，a1 =0a1,又an- 0解得a1= 3.424当n2时，他=4 &一Sn=4Sn- 4&=(a；细- 3) - a；2务- 3 .2 2-4an =an -an2an-2an J，(anan J)(an_an J2 -0.an- an0an_and=2 (

17、n_2)，.数列an是以3为首项，2为公差的等差数列.an= 3 2(n _ 1) = 2n 1.(n) Tn=3 215 22III (2n 1) 2n.又因为2Tn=3 工 22+|j + (2n_1) 2(2n+1)2n一3 21-2(22232n) (2n 1)2n 1=-6 8 -2 2n 1(2n 1) 2n 1=(2 n_ 1)2n 12.所以，Tn=(2 n -1) 2n 1-2.例 18 (理科).将边长为 2 的正方形 ABCD&对角线 BD 折叠，使得平面 ABDL 平面 CBD AE!平面 ABD 且 AE= 72 .(I)求证：DEIAC(n)求 DE 与平面

18、 BEC 所成角的正弦值；(川)直线 BE 上是否存在一点 M 使得 CM/平 面 ADE 若存在，求点 M 的位置， 不存在请说明理由.解：(I)以 A 为坐标原点 AB,AD,AE 所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐 标系，则E(0,0, .2),B(2,0,0),D(0,2,0)取 BD 的中点 F 并连接 CF，AF;由题意可得CFLBD 且AF =CF *2又：平面 BDA _平面 BDC CF _平面 BDA，所以 C 的坐标为c(1,12)，” DE =(0,-2，為，AC =(1,1,7?)故 DEL AC.n EB=0 日仃 2x- .2即n CB = 0 x - y

19、 -令x=1得：n =(1,-，)又DE(0,-2 八 2)设平面 DE 与平面(III)设存在点 M 使得 CM/面 ADE 则= XEB，EB=(2,0，- .2), EM (2,0,- 2)得 M(2,0, 2 -2 )又因为AE _平面 ABD，AB_AD所以AB _平面 ADE2 2例 19.已知椭圆C:x2-y2=1(a b 0)过点(0,1)，且离心率为a b(I)求椭圆C的方程；DE AC =(0,-2,2) (1,1 八 2)-0(U)设平面 BCE 的法向量为= (x, y, z)则z = , 2xy =-xz =0 ,2z =0n.D?4iTnl DE因为 CM/面 AD

20、EAB 即cM 7B =0得2-1=0.-=-2故点 M 为 BE 的中点时 CM/面 ADE.A门，则3sinB = cosc n, DE 彳=(n)代B为椭圆C的左右顶点，直线 l:x=2.2 与 x 轴交于点D，点P是椭圆C上异于A, B的动点，直线AP, BP分别交直线I于E,F两点.证明：当点P在椭圆C上运动时，| DE |DF |恒为定值.解:（I）由题意可知，b =1，而-且ab2c2.a 22解得a =2，所以，椭圆的方程为-y1.4(H)A(-2,0),B(2,0).设 P(Xo,yo)，-2 n 2，直线AP的方程为y（x 2），令 x= 2、2，则 y2V2）y。X。十2

21、即|DE | = （2、2 2）1 y。1；Ix。+2|例 20.（理科）某地区对 12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查. 瞬时记忆能力 包括听觉记忆能力与视觉记忆能力某班学生共有 4。人，下表为该班学生瞬时记 忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生 为 3 人.视觉视觉记忆能力偏低中等偏咼超常听觉记忆能力偏低0751中等183b偏咼 2 a0 :1超常0211由于部分数据丢失，只知道从这 4。位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力 恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为2.5直线BP的方程为y二壬（X 2），令 X= 2、2，则 y二(2、2-2)y。X。X

22、。- 2即| DF |=(2.2-2)|yo1;IX。一2|DE | |DF| =(2、2 2)(2迈-2)|xo*21|x。-21|Xo-4| 4-冷2而y2=1，即 4y0 =4 - x。，代入上式，4 |DE | | DF| =1，所以|DE | | DF |为定值1.I y。I =4y：2=4yo- 2(I)试确定a、b的值；(U)从 40 人中任意抽取 3 人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视 觉记忆能力超常的学生的概率；(川)从 40 人中任意抽取 3 人， 设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高 或超常的学生人数为，求随机变量的分布列及数学期望E.解：(I)由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或 中等以上的学生共有10 a人记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆 能力为中等或中等以上”为事件A，10 +a2贝 U P( A)，解得a= 6.所以b = 40(32 a) = 40 38 = 2.405答：a的值为 6，b的值为 2.(n)由表格数据可知，具有听觉记忆能力或