上海外国语与大学附属外国语学校直升考复习讲义8——三角形

1、1学科教师辅导教案辅导科目：年级:课程主题：三角形教学内容知识点回顾一、三角形五心定义内心是三角形的三内角平分线交点也是三角形内切圆的圆心.重心是三角形的三条中线的交点（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形 薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）外心是三角形的三边的垂直平分线的交点三角形外接圆的圆心.垂心是三角形的三条高的交点旁心是三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心二、三角形五心性质内心：1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一2、O为三角形的内心，A、B、

2、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON二AB:BN AC : CN =（AB AC）: BC.重心：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2 : 1.2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等即重心到三条边的距离与三条边的长成 反比.3、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小.4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（xi+ X2 + X3yi+ y2+y3）33外心:1、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三 角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合.

3、2、 若O是ABC的外心，则BOC =2 A （ A为锐角或直角）或BOC = 360- 2 A C A为钝角）.3、 外心到三顶点的距离相等.垂心:1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这 7 个点可以得到 6 个四点圆.2、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2 倍.2、旁心到三边的距离相等.注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。、1角形五心性质证明.五心性质别记混，做起题来真是好.五心的性质三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：2（1） 三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2） 三角形的外心到三

4、顶点的距离相等；（3） 三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4） 三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5） 三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂 心；（6） 三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7） 三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8） 三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.（9） 三角形的任一顶点到垂心的距离， 等于外心到对边的距离的二倍 下面是更为详细的性质：锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形（顶点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短。旁心1、 三角形一内角平分线和另外

5、两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。2、 每个三角形都有三个旁心。3、 旁心到三边的距离相等。知识点一等腰三角形与等边三角形【例题精讲】例 1如图，已知 ABC 是等边三角形，E 是 AC 延长线上一点，选择一点 D 使得 CDE 是等边三角形，如果 M 线段 AD的中点，N 是线段 BE 的中点，求证： CMN 是等边三角形.3恒成立的结论有（把你认为正确的序号都填上）2、如图，等边三角形 ABC 中，D、E 分别为 AB、BC 边上的两动点，且总使 AD=BE , AE 与 CD 交于点 F,AG 丄 CD 于点 G,贝UFG=_AF3、如图，在边长为 m 的等边三角形 A

6、BC 中， 点F，若 AD 丄 CF，则 BD 的长为_D、E 分别是边 BC、AC 上的点，且 BD = CE, AD 与 BE 交于（用含 m 的代数式表示）例 2如图，已知 D 为等边 ABC 内一点，DA=DC, P 点在 ABC 夕卜，且 CP=CA, CD 平分/ PCB，求/ P.练习1、如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A, E 重合），在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE , AD 与 BE交于点 O, AD 与 BC 交于点 P, BE 与 CD 交于点 Q ,连接 PQ.以下五个结论： AD=BE ，PQ / AE; AP=BQ;DE=DP ;

7、/ AOB=60 度.44、如图，已知在厶 ABC 中，点 D 是 BC 中点，点 E 为 AB 上一点，点 F 为 AC 上一点，若/ EDF=90 ,且2 2 2BEFC二EF.求证：/ BAC=90 .55、如图，正方形 ABCD 内一点 P,/ PAD=ZPDA = 15，连结 PB、PC,请问： PBC 是等边三角形吗? 为什么？6、如图所示，已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且-BAE = DAM求 证：AE =BC CEB68 如图 AD 是 RtAABC 斜边上的高，/ ABC 的平分线交 AD 于 M、交 AC 于 P, AQ 丄 BP,垂足为 Q, AK

8、=DK，求证：QK 丄 AD.知识点二图形的旋转【例题精讲】题型一：利用图形的旋转求线段长 例 1如图，P 为等边三角形 ABC 内一点，/ BPC 等于150,PC=5,PB=12，则 PA 的长为7、如图所示，点M,N在等边三角形ABC的AB边上运动,.MDN=60：，求证：MN =MB NC.BD =DC,. BAD =120；,D7题型二：利用图形的旋转求角的大小例 2如图，P 为正方形 ABCD 内一点，PA=1 , PB=2 , PC=3，则/ APB=题型三：利用图形的旋转求面积例 1如图，已知 RtV ABC 中，.C=90,，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC上，四边形

9、 CFDE 是正方形,若AD=3,BD=4，则VADE和VDBF的面积之和为例 2如图,P 是正方形 ABCD 内一点，点 P 到正方形的三个顶点 A、B、C 的距离分别为 PA=1 , PB=2 ,PC=3，正方形 ABCD 面积为_例 1如图，在AABC 中，.ACB =90则.BPC 的度数是,BC=AC,P 为 ZABC 内一点，且 PA=3, PB=1, PC=2,8题型四：禾U用图形的旋转探索图形中线段之间的关系例 1如图，正方形 ABCD 边上有动点 E、F ,VDEF的周长等于正方形 ABCD 周长的一半,例 2 如图，AABC为等腰直角三角形，BAC =90；，E、F是BC上

10、的点，且.EAF =45；，试探究BE2、CF2、EF2间的关系，并说明理由题型五：灵活利用例 1在边长为 2 的正方形 ABCD 内求一点 P,使得 PA+PB + PC 之和为最小并求这个最小值.探索：.EBF的度数是否随点 E、F 位置的变化而改变，如果有变化，请找出变化的规律; 若不变，请求出.EBF的度数的大小9例 2已知 RtVABC 中，.C =90；,AC=1,BC二3, O 为 VABC 内一点，且.AOB = BOC = COA=120；, 则 OA OBOC 二10旋转形成相似的等腰三角形：例 1、如图，四边形ABCD和AGFE均为正方形，若BE = J3，则CF =_1例 2、在 RtAACB中，/ACB=90，点0在AB上，且CA=C0=6，cosZCAB = -，若将ACB绕点A 3顺时针旋转得到 RtAAC B，且C 落在CO的延长线上，联结BB交CO的延长线于点F，则BF=