2017-2018学年高中数学第04章圆与方程专题4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直

1、422 圆与圆的位置关系 423 直线与圆的方程的应用、圆与圆的位置关系1 圆与圆的位置关系外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切.两圆相离一一没有公共点，两圆相切一一有惟一公共点,两圆相交有两个不同的公共点.2圆与圆位置关系的判断(1)几何法宀护方位置大糸公共点个数圆心距与半径的关系图示两圆相离0d n + r2两圆内含d ri两圆相交2A - r2吒d ri + r2两圆内切1d Th - D两圆外切d = n + r2其中ri和2分别是圆Ci和圆C2的半径，d =|GC2|.圆与圆的位置关系有五种（2）代数法联立两圆的方程组成方程组，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下方程组解的个数

2、210两圆的公共点个数210两圆的位置关系相离或内含二、直线和圆的方程的应用直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中有着广泛的应用，用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用_ 表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过,解决代数问题；第三步：把_ 结果“翻译”成几何结论.晅織鴛晅八龍。晅。曜笆庵 莖 T 遽牯晅電。疸宀蠶.a理名师提醒用坐标法解决几何问题时应注意以下几点：（1）应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系，不可随便建立；（2）在实际问题中，有些量具有一定的限制条件，转化成代数问题时要注意取值范围；（3）最后一定要将代数结果转化成

3、几何结论晅*少電鴛晅龍晅嵬駆庵 越*-：Sg、越電。疸宀飆.=S電K 知识参考答案:一、2. （2）相交外切或内切二、坐标和方程代数运算代数运算理重点K重点圆与圆位置关系及判定K难点直线与圆的方程的应用3K 一易错两圆的位置关系考虑不全面致错1 圆与圆的位置关系及判定判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两圆连心线的长d，若d = r!r2，两圆外切；d=|几-心|时，两圆内切；d 口 心时，两圆外离；d仆-“I时，两圆内含； 山一讣小“时，两圆相交.根据两圆的位置关系，利用圆心距与半径长的和或差的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取

4、值范围，注意相切和相离均包括两种情况, 2 2 2 2【例 1】已知两圆Ci:x y，4x，4y-2=0,C2： x y 2x - 8y - 8=0，判断圆Ci与圆C?的位m 方置关系 .【解析】方法一;把圆G的方程化为标准方程得(X+2)2+CF+2)2= 10.所以圆G的圆心坐标为 2),半径长勾=価一把圆G的方程化为标准方程，得(兀1+卜-=25 .圆G的圆心坐标为4),半径长为=5一圆G和圆G的圆心距d= 72-17+(-24)2=35,又圆G与圆G的两半径长之和是 叶+=5+価两半径长之差是而5-J1O3V55+A/1O即勺-仆+ %所儿 两圆的位蚤关系是相交.3Ex2y24x 4y

5、 -2二0(1)方法二：将两圆的方程联立得到方程组2 2，由-(2)得x 2y 0(3),x2+y2_2x_8y_8 = 0(2)由(3)得x = 2y 1，把此式代入(1),并整理得y21=0(4),方程的判别式厶=02-4 1(-1)=40,所以，方程(4)有两个不相等的实数根 ,丫2,把y-i,y2分别代入方程(3),得到x-i,x2.所以，圆G与圆C2有两个不同的公共点(X1, yj,( X2, y2)，即两圆的位置关系是相交.【例 2】试分别确定圆C：x2+ y2+4x 6y +12 = 0与C2： x2+ y22x 14y + k = 0( k 50 )外切、内切、5相交、内含、外

6、离时，k的取值范围【解析】将两圆的一般折呈妙标准方程0心+2+-忌就-7乍0-匕圆Ci的圆心坐标拘6(23),半径长灼二1;圆G的圆心坐标为G(l,71半径长茂=血_上(衣50)从而圆心距&J(2 1)十(3 7)尸当两圆外切时卫=耳+匚即50 -此吃解得社“；当两IH內切时上=珂-勺L即I】-彳5Q _左1=金解得社妊当两II相交时,k引前 兀+恪即山屈刁忏卞叭丽壬解得当两圆内合时/ u 五-乓I贞卩|1-亦。一去1违解得曲14：当两圆外高时卫1+即H解得孑仔刃【例 3】求与圆一 丄. - J 外切，且与直线 - .:- :相切于点M3 , -)的圆的方程【解析】设所求圆的方程为一-

7、宀匸+A-X丁，由于该圆与圆，勺-;i外切，则圆心距等于半径之和，故有.，_：.又与直线1 /=相切于点M3 , 一“)，则可知圆心与切点的连线与直线垂直，有，故所求圆的方程为r:-*【名师点睛】明确求圆的方程是标准方程还是一般方程，然后根据几何关系建立方程(组)求得参数的值，从而得出所求的圆的方程注意在应用待定系数法时要尽量减少未知量的个数2 .两圆的公共弦问题(1) 若两圆相交，则有一条公共弦，将两圆的方程相减求两圆公共弦所在的直线方程时，必须注意只有当两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同， 需先调整方程中各项的系数(2) 求两圆公共弦长有两种方法：一是联立两圆的

8、方程求出交点坐标，再利用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解【例 4】已知两圆x2y22x10y 24 = 0和x2，y2，2x，2y 8 = 0(1) 试判断两圆的位置关系；(2) 求公共弦所在直线的方程；(3) 求公共弦的长度.【解析】(1)将两圆方程配方化为标准方程，G：x-1)2 (y 5)2=50,C2：(x 1)2(y 1)2=10.则圆G的圆心为(1,-5)，半径r1=52; 圆C2的圆心为(1, 1)，半径又IC1C2| = 2 .5,r1D =5.2.10,A -Q = 5.2 - . 10.二 *|C1C

9、2卜:12，两圆相交.(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为x -2y 4 =0.lx2+y2_2x+10y24 = 0(3) 方法一：两方程联立，得方程组、x2+ y2+2x +2y _8 = 0两式相减得x=2y-4，把代入得y2-2y=0,y1=0, y2=2.xi- -4x2= 01，或2% =0y2=2交点坐标为(一4,0)和(0,2).两圆的公共弦长为,(-4 -0)2(0 -2)2=2.5.方法二：两方程联立，lx y -2x 10y -24 = 0,得方程组2两式相减得x-2y，4=0，即为两圆相交弦x +y +2x+2y_8 = 0所在直线的方程；2 2 2 2由x

10、y -2x 10y-24=0，得(x-1)(y 5) =50,其圆心为C1(1,-5)，半径r1圆心C1到直线x -2y 4 =0的距离d一2(一5) 4|=3；5,1+(-2)2两圆的公共弦长为2 r2- d $ = 2 50 -45 = 2 5【例 5】已知圆C1：x2+y2-10 x-10y=0 和圆C2:x2+y2-6x+2y-40=0 相交，圆C过原点Q半径长为，圆心C在已知两圆公共弦所在的直线上，求圆C的方程.【解析】设圆C与圆C2交于AB两点，两圆的方程相减，消去二次项得到一个二元一次方程x+3y-10=0,此方7程为公共弦AB所在直线的方程.又已知圆C的圆心C在两圆公共弦所在的

11、直线上,即在直线AB上,设C(a,b),则a+3b-10=0 ,由|CO=.丨,得a2+b2=10,联立,解得a=1,b=3,所以圆C的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.3 .与两圆相切有关的问题处理两圆相切问题时，首先必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉两圆相切，则必须分两圆内切和外切两种情况讨论；其次，将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径长之差的绝对值(内切时)或两圆半径长之和(外切时)【例 6】已知圆M : (x 1)2 y2=1，圆N : (x -1)2 y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程【解析】由已知得圆M的圆心为M(-1,0

12、),半径长n=1，圆N的圆心为N(1,0),半径长2=3.设动圆P的圆心为P(x, y)，半径长为R.圆P与圆M外切并且与圆N内切，|PM| | PN戶(R - rj - (r2- R)=几r2= 4.由两点间距离公式得.(x 1)2y2(x -1)2y 4，即、.(x 1)2 y2= 4 - (x -1)2 y2，两边平2 2方化简得C的方程为x =1(x = -2).434 .求过两圆交点的圆的方程求过两圆交点的圆的方程，一般用代数法，即先求出两圆的交点，再利用圆的几何性质确定圆心的坐标和半径长；也可由题意设出所求圆的方程，再根据条件建立方程组，最后求出圆的方程，或直接用圆系方程求解，这样

13、会使运算简洁.2 2 2 2过两圆G:x yD1x E1yF0和C?:x y D2x E2y F 0交点的圆系方程：x2y2D1xE1yF (x2y2D2xE2y F2) =0( -1)(其中不含有圆C2,因此注意检验圆C2是否满足题意以防漏解).当-1时，方程变为(D!-D2)x (E!-E2)y R -F2=0，表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时，此直线不存在；当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线）_ 2 2 2 2【例 7】已知圆x+y-4x+2y=0,x+y-2y-4=0,（1）求过两圆交点的直线方程；求过两圆交点,且圆心在直线 2x+4y-1

14、=0 上的圆的方程【解析】已知:二:;嚮罟，一得店卄），即 4 电此即所求直线方程.解中方程组絹两圆的交点坐标为（乎+详）,碍心（孚+1_疔+（当_疔“ *-上*+1_/+（_环解得,2 + 4-1 = 0故所求圆的方程为&护心唏-5.直线与圆的方程的应用求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤：（1）审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；（2）建系：建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与曲线 的方程；（3）求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；（4） 还原：将运算结果还原到实际问题中去.【例 8】有一种大型商品，

15、A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若AB两地相距 10 公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较 低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？【解析】以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设A（ -5, 0），则B（5,0）.在坐标平面内任取一点P（x，y），设从A运货到P地的运费为2a元/km，则从B运货到P地运费为a元 /km.设所求圆的方程为帖沪4灿戶巩Q0）贝9若P地居民选择在A地购买此商品则2a . x 5 i亠y2: ax -5亠y2,整理得(x25)2- y2

16、：(理)2.33即点P在圆C：(X 生)2y2=(却)2的内部.33也就是说，圆C内的居民应在A地购物.同理可推得圆C外的居民应在B地购物.圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物6 两圆的位置关系考虑不全面致错【例 9】求半径长为 4,与圆C:x2 y2-4x-2y-4 =0相切，且和直线丫=0相切的圆的方程.【错解】由题意知，所求圆的圆心为A(a,4)，半径长为 4,故可设所求圆的方程为(x-a)2 (y-4)2=42.将圆C的方程化为标准方程，得(x-2)2 (y-1)2=32, 圆C的圆心为C(2,1)，半径长r=3.由两圆相切，得|CA|=7 ,(a -2)2 (4 -1)2=72,

17、解得a =2 _2,10 ,所求圆的方程为(x -2 -2 .10)2(y -4)2=16或(x _2 2 10)2(y-4)2=16.【错因分析】上述错解只考虑了圆心在直线y = 0上方的情形，而漏掉了圆心在直线y = 0下方的情形，另外错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的【正解】设所求圆的方程为(x-a)2 (y-b)2二r2(r 0),圆心为A.又圆A与直线y=0相切且半径长为4，故圆心为A(a,4)或A(a, V).圆C的圆心为C(2,1),半径长r = 3.若两圆相切，则|CA|=43 =7或CA =43=1.作分类讨论：当取A(a,4)时，(a -2)2 (4 -1)2=72或

18、(a -2)2 (4 -1)2=12(无解),故a = 2一2、10 ,此时所求圆的方 程为(x -2 -2而2(y -4)2=16或(x -2 2、i0)2(y -4)2=16 .2 2 2 2 2 2当取A(a, Y)时，(a-2) (-4-1) =7或(a-2) (-4-1) -1(无解)，a=2 2、6，此时所求 圆的方程为(x -2 -2、6)2(y4)2=16或(x -26)2(y 4)2=16.11综上所述，所求圆的方程为(X -2 - 2、,10)2 (y - 4)2=16或(x - 2 2 J10)2 (y - 4)2= 16或(x -2 -2、6)2(y 4)2=16或(x

19、 -2 2、6)2(y 4)2=16.【名师点睛】在解决两圆相切问题时，切记分内切和外切，不要遗漏.毎好题2 2 2 21圆(x 2) y =4与圆(x-2)(y -1) =9的位置关系为A.内切B.相交C.外切D.相离2 .已知圆A，圆B相切，圆心距为 10 cm，其中圆A的半径为 4 cm，则圆B的半径为A. 6 cm 或 14 cmB. 10 cmC. 14 cmD.无解” i , 2 2 2 23 .若圆x y =4与圆x y 2ay -6 = 0(a0)的公共弦的长为2.3，则a =A. 2C. -1B. 1D. -24.已知M是圆C:(x1)2+ y2=1上的点，N是圆Cl(x4)

20、2+(y4)2=82上的点，贝U MN的最小值为A. 4B. 4、2_1C.2 2-1D. 25 .若圆Ox2+y2=4 与圆C: x2+y2+4x-4y+4=0 关于直线l对称,则直线I的方程是A.x+y=0B. x-y=0C. x+y+2=0D. x-y+2=06 .如图，圆弧形桥拱的跨度AB =12米，拱高CD = 4米，则拱桥的直径为 _ 米.137若圆住+ 2 尸十-口)2与圆(x-a)2+(y-S)2= 16 相交，则实数口的取值范围是 _8.判断下列两圆的位置关系 .2 2 2 2（1）G : xy2x3 = 0,C2：x y4x 2y 3 = 0；（2）G :x2+ y2-2y

21、 =0，C2：x2+ y2-2A/3X-6 = 0；（3）G :x2y2-4x -6y 9 = 0，C2: x2y212x 6y -19= 0；2 2 2 2（4）C1: x y 2x-2y-2=0，C2: x y -4x-6y-3 = 0._222229 .已知圆 G:x+y -2m)+4y+m-5=0,圆C2:x+y+2x=0.(1)n=1 时,圆C与圆C2有什么位置关系？(2) 是否存在m使得圆C与圆C2内含？10.求圆心在直线x -y 1 = 0上，且经过圆x2 y2 6x -4二0与圆x2y26y -28二0的交点的圆的方程.2 22 2 211右圆x - a亠y -bb 1始终平分

22、圆x亠y T 4的周长，贝Ua,b应满足的关系式是29A. a -2a -2b -3 = 0B. a 2a 2b 5 = 02 2 2 2C. a 2b2a 2b 1 = 0D. 3a2b2a2b1 = 012. 若集合A=(x,y) |x2y2乞16,B =( x, y)|x2(y - 2)2ma -1，且ADB= B，贝Ua的取值范围是A.a5C. 1aw5D.a 0)截直线 x+ y= 0 所得线段的长度是 2 2，则圆M与圆2 2N: (x-1 ) + (y- 1) = 1 的位置关系是A.内切B.相交C.外切D .相离忖伽题1234511121317BABDDBDDB1 .【答案】B

23、7 .【答案】1a2【解析】由两圆相交得所以 1a0),可得公共弦的方程为y-?圆= 4的圆心坐标为(00、半径为r = 2，由圆的弦长公式可得22J/-护=故选B【答【解 |CC | =5：R-r =7圆C内含于圆C，则 |MN的最小值为R-|CC|-r=2.【答【解圆C的标准方程为(x+2)2+(y-2)2=4,故圆心C的坐标为(-2,2).因为圆O与圆C关于直线l对称，所以直线l过OC勺中点(-1,1),且垂直于OC又koc=-1,故直线l的斜率为 1,直线I的方程为y-1=x-(-1),即x-y+2=0.故选 D.6.【答案】13【解析】 设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得，OB2=

24、OD2+BD2，即r2=(r4$+26，解得,2所以拱桥的直径为13 米.17(2)毎+ 宀9二圆G的圆心坐标为(0.1),半径q = l,圆G的圆心坐标为皿半径5=3,*乓一=2 ,E =一耳，两圆内切.(3)TC；心一2)久+03尸=4, c2：(jc+6)2+(y+3)2=64二圆G的圆心坐标为(2,3)?半径耳=2,圆G的圆心坐标为(f 一3),半径勺仝.| QCa|= /2+6尸+(3 + 3尸=0 =五 +丘， 二两圆外切.2 2 2 2(4)Ci: (x -1) (y-1) -4,C2：X-2) (y-3) -16,圆Ci的圆心坐标为(-1,1)，半径ri=2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，半径血=4,二ICG卜.(2 1)2(3 -1)2二13. |1一21：| C1C2卜：r12，两圆相交.9.【解析】(