132《函数的奇偶性》（新人教A版必修1）

1、第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念普通高中新课程标准实验教科书数学重庆复旦中学重庆复旦中学 黄益全黄益全观察思考观察思考问题问题1 1 观察下列两个函数的图象，思考讨论以下观察下列两个函数的图象，思考讨论以下问题：问题：(1)(1)这两个函数图象有何共同特征？这两个函数图象有何共同特征？(2)(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？的？xy2xy Oxy2- xy O2yx2yx问题问题2 2 观察下列两个函数的图象，思考讨论以下观察下列两个函数的图象，思考讨论以下问题：问题：(1)(1)这两个函数图象有何共同特征？这两个函数图象有何共

2、同特征？(2)(2)完成相应的两个函数值对应表，思考这两个表完成相应的两个函数值对应表，思考这两个表是如何体现这些特征的？是如何体现这些特征的？xyyxOxy1yxOyx1yx1yx新课讲解新课讲解1. 奇函数、偶函数的定义奇函数、偶函数的定义 奇函数：奇函数：设函数设函数y yf f ( (x x) )的定义域为的定义域为D D，如果，如果对对D D内的任意一个内的任意一个x x，都有，都有f f( (x x) )f f( (x x) )，则这，则这个函数叫个函数叫奇函数奇函数. .偶函数：偶函数：设函数设函数yg (x)的定义域为的定义域为D，如果对如果对D内的任意一个内的任意一个x，都有

3、，都有g(x)g(x)，则这个函数叫做则这个函数叫做偶函数偶函数. 问题问题1：奇函数、偶函数的定义中有奇函数、偶函数的定义中有“任意任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？与单调性有何区别？ 强调定义中强调定义中“任意任意”二字，说明函二字，说明函数的奇偶性在定义域上的一个数的奇偶性在定义域上的一个整体性质整体性质，它不同于函数的单调性它不同于函数的单调性 .问题问题2：x与与x在几何上有何关系？具有奇偶在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？性的函数的定义域有何特征？ 奇函数与偶函数的定义域的特征是奇函数与偶函数的

4、定义域的特征是关于关于原点对称原点对称.问题问题3：结合函数结合函数f (x)x3的图象回答以下的图象回答以下问题：问题：(1)对于任意一个奇函数对于任意一个奇函数f (x)，图象上的点，图象上的点P (x，f (x)关于原点对称点关于原点对称点P的坐标是什么？的坐标是什么？点点P是否也在函数是否也在函数f (x)的图象上？由此可得的图象上？由此可得到怎样的结论？到怎样的结论？(2)如果一个函数的图象是以坐标原点为对如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？性？xyo2. 奇函数与偶函数图象的对称性奇函数与偶函数图象的对称

5、性 如果一个函数是如果一个函数是奇函数奇函数，则这个函数的，则这个函数的图象图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数函数. 如果一个函数是如果一个函数是偶函数偶函数，则它的图形是，则它的图形是以以y轴为对称轴的轴对称图形轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果；反之，如果一个函数的图象关于一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数轴对称，则这个函数是偶函数是偶函数. 例题讲解例题讲解例例1 判断下列函数的奇偶性；判

6、断下列函数的奇偶性；4( 1) f ( x) =x5( 2) f ( x) =x1( 3) f ( x) =x+x21( 4) f ( x) =x例例2 判断下列函数的奇偶性；判断下列函数的奇偶性；(1) f (x)xx3x5； (2) f (x)x21；(3) f (x)x1；(4) f (x)x2，x1, 3；(5) f (x)0. (6) f (x)0. x2, 3(奇函数奇函数)(偶函数偶函数)(非奇非偶函数非奇非偶函数)(既奇又偶函数既奇又偶函数)(非奇非偶函数非奇非偶函数)(非奇非偶函数非奇非偶函数) 第一步先判断函数的定义域是否关第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称；于原点对

7、称； 第二步判断第二步判断f (x)f (x)还是判断还是判断f (x)f (x).归归 纳纳： (1)根据定义判断一个函数是奇函数根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是：还是偶函数的方法和步骤是： (2)对于一个函数来说，它的奇偶性对于一个函数来说，它的奇偶性有有四种四种可能，且只能是四种可能中的某可能，且只能是四种可能中的某一种：一种： 是奇函数但不是偶函数；是奇函数但不是偶函数； 是偶函数但不是奇函数；是偶函数但不是奇函数； 既是奇函数又是偶函数；既是奇函数又是偶函数； 既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数. (3)既是奇函数又是偶函数的函数是既是奇函数又是偶函

8、数的函数是函数值为函数值为0的常值函数的常值函数. 前提是定义域关前提是定义域关于原点对称于原点对称. (4) 当定义域关于原点对称时，非当定义域关于原点对称时，非0的常值函数是偶函数的常值函数是偶函数. 思考：思考： 当定义域关于原点当定义域关于原点不对称不对称时，时，非非0的常值函数的奇偶性如何？函数值为的常值函数的奇偶性如何？函数值为0的函数的奇偶性如何？的函数的奇偶性如何？ (5)一般地，判断一个函数的奇偶性一般地，判断一个函数的奇偶性还有以下结论：还有以下结论： 奇奇+奇奇=奇奇 偶偶+偶偶=偶偶 奇奇奇奇=偶偶 偶偶偶偶=偶偶 奇奇偶偶=奇奇1=-=-=1奇 偶 奇 奇 偶 偶奇偶

9、课堂练习课堂练习；2, 111)(2 xxxk(4) (7)(8)1. 判断下列函数的是否具有奇偶性判断下列函数的是否具有奇偶性(1) f (x)xx3；(奇奇) (2) f (x)x2；(3) h (x)x31；(5) f (x)(x1) (x1)； (6) g (x)x (x1)；3)(xxxh .11)(2 xxk(奇奇)(偶偶)(非奇非偶非奇非偶)(非奇非奇)非偶非偶(偶偶)(非奇非偶非奇非偶)(奇奇)(偶偶)2. 判断下列论断是否正确判断下列论断是否正确(1)(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数；则

10、这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数； (2)(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称坐标原点对称. .(3)(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；这个函数为偶函数； (4)(4)如果一个函数的图象关于如果一个函数的图象关于y y轴对称，则这个函轴对称，则这个函数为偶函数数为偶函数. . (错错)(对对)(错错)(对对)4. 如果函数如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的偶函为定义域相同的偶函数，试问数，试问F (x)f (x)g (x)是不是偶函数？是不是偶函数？是不是

11、奇函数？为什么？是不是奇函数？为什么？ 3. 如果如果f (0)a0，函数，函数f (x)可以是奇函数吗可以是奇函数吗？可以是偶函数吗？为什么？可以是偶函数吗？为什么？ (不能为奇函数但可以是偶函数不能为奇函数但可以是偶函数)(是偶函数是偶函数)5. 如图如图，给出了奇函数，给出了奇函数yf (x)的局部图象，的局部图象，求求f (4).xyO42xyO 3216. 如图如图，给出了偶函数，给出了偶函数yf (x)的局部图象，的局部图象，试比较试比较f (1)与与 f (3) 的大小的大小.例例2 (1)设设f (x)是偶函数，是偶函数，g (x)是奇函数，是奇函数，且且(2)设函数设函数f (x)是定义在是定义在(, 0)(0,)上的奇函数，又上的奇函数，又f (x)在在(0, )上是减函上是减函数，且数，且f (x)0，试判断函数，试判断函数在在(，0)上的单调性，并给出证明上的单调性，并给出证明.，11