2017-2018学年高中数学第一单元基本初等函数(Ⅱ)1.3.1正弦函数的图象与性质(二)学

1、1.3.1 正弦函数的图象与性质(二)【学习目标】1. 了解周期函数、周期、最小正周期的定义2 会求函数y=Asin(3x+ $ )的周期.3.掌握函数y= sinx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.ET问题导学-知识点一函数的周期性思考 1 如果函数f(x)满足f(x+ 3) =f(x)，那么 3 是f(x)的周期吗?思考 2 所有的函数都具有周期性吗?思考 3 周期函数都有最小正周期吗?梳理函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个 _，使得定义域内的 _值，都满足_，那么函数f(x)就叫做周期函数， _ 叫做这个函数的周期.对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个

2、 _ ，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期知识点二正弦函数的周期性思考 1 证明函数y= sinx是周期函数2思考 2 证明函数f(x) =Asin(3x+ $ )(Aw丰0)是周期函数梳理 由 sin(x+ 2kn) = _ (k Z)知，y= sinx是 _ 函数，_ 是它的周期，且它的最小正周期是 _.知识点三正弦函数的奇偶性正弦曲线：思考 1 观察正弦曲线的对称性，你有什么发现?思考 2 上述对称性反映出正弦函数有什么性质？如何从理论上加以验证?梳理 对于y= sinx,x R 恒有 sin( x) = sinx，所以正弦函数y= sinx是数，正弦曲线关于_ 对称.题型探究类型一三

3、角函数的周期性例 i 求下列函数的最小正周期(1)y= sin(2x+n)(x R)；3(2)y= |sinx|(x R).反思与感悟 对于形如函数y=Asin(3x+Q),0时的最小正周期的求法常直接利用T跟踪训练 1 求下列函数的周期-+n ;(2)y=|sin 2x|.类型二 三角函数的奇偶性例 2 判断下列函数的奇偶性.r(1 n )(1)f(x) = sin i 2X+7；(2)f(x) = lg(1 sinx) lg(1 + sinx);21 sinx+ 2sinxf(x)=.1 + sinx2n来求解，对于y= |Asin3X|的周期情况常结合图象法来求解(1)y= sin4反思

4、与感悟 判断函数奇偶性应把握好两个关键点:5关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称关键点二：看f(x)与f( X)的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断 跟踪训练 2 判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=C0Si3n +2x+x2sinx; 丿f(x) = 1 2sinx+ 2sinx 1.类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例 3 定义在 R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是n,且当反思与感悟解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内.跟踪训练 3 若f(x)是以寺为周期的奇函数，

5、且f专=i，求f詈的值.类型四函数周期性的综合应用n例 4 已知函数f(x) = cosx，求f+f(2) +f(3) +f(2 020)的值.x 0,寸，f(x) = sinX,求f穿的值.6反思与感悟当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.n跟踪训练 4 设函数f(x) = sin x，则f+f(2) +f(3) +f(2 015)= 3当堂训练1.函数f(x) =3s in X- ,x R 的最小正周期为()nA. B.nC.2nD.4n2. 下列函数中，周期为n的偶函数是()A.y= sinxB.y= sin 2xC.y= |si

6、n 2x|D.y=1 cos2x3. 设函数f(x) = sin 2x于,x R,贝 Uf(x)是()A. 最小正周期为n的奇函数B. 最小正周期为n的偶函数nC.最小正周期为 2 的奇函数nD. 最小正周期为 2 的偶函数4. 函数y= sin(wx+专)的最小正周期为2,贝U w的值为_3n5. 若函数f(x)的定义域为 R,最小正周期为，且满足icosx,f(x)=sinx,厂规律与方法-1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使=f(x)成立的T.00,xR)7图象法，即作出y=f(x)的图象，观察图象可求出T,如y=

7、|sinx|.结论法，一般地，函数y=Asin(wx+ $ )(其中A、w、$为常数，AM0,2n的周期T=.w2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键如果定义域关于原点对称，再看f( -X)与f(X)的关系，从而判断奇偶性8问题导学 知识点一思考 1 不一定必须满足当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+ 3) =f(x)，才可以说 3是f(x)的周期.思考 2 不是只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.思考 3 周期函数不一定存在最小正周期例如，对于常数函数f(x) =c(c为常数，x R),所有非零实数T都

8、是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.梳理(1)非零常数T每一个xf(x+T) =f(x)非零常数T(2)最小的正数知识点二思考 1/ sin(x+ 2n) = sinx, y = sinx都是周期函数，且 2n就是它们的一个周期.思考 2 由诱导公式一知，对任意 x R,都有Asin(Ox+$ ) + 2n =Asin(Ox+ $ ),(2n、所以AsinOix+ $ =Asin(Ox+ $ ),O丿f(x),所以f(x) =Asin(Ox+ $ )(O丰0)是周期函数,梳理 sinx周期 2kn(k Z 且k工 0)2n知识点三思考 1 正弦函数y= sinx的图

9、象关于原点对称.成立.梳理奇原点 题型探究 例 1 解 令z= 2x+专，因为x R,所以z R.函数f(x) = sinz的最小正周期是 2n, 即变量z只要且至少要增加到z+ 2n,函数f(x) = sinz(z R)的值才能重复取得.而z+ 2n=2X+牙+ 2n= 2(x+n) +专,所以自变量x只要且至少要增加到x+n,函数值才能重复取得，所以函数f(x) = sin 2x+专(x R)的最小正周期是n.因为y= |sinx|sinx ?kn Wx2 kn + n ,=* m,(k Z).sinxn + nx0,(2)由*得一 1sinx0,n解得定义域为x|x R 且xMkn+ ,

10、k Z.f(x)的定义域关于原点对称.又Tf(x) = lg(1 sinx) lg(1 + sinx),f(x) = lg1 sin(x)lg1 + sin(x) = lg(1 + sinx)lg(1 sinx)=f(x). f(x)为奇函数.(3)T1+sinxM0,sinxM1,nxR 且x M2kn2,kZ.定义域不关于原点对称，该函数是非奇非偶函数.跟踪训练 2(1)奇函数(2)非奇非偶函数例 3 解/f(x)的最小正周期是n,10/f(X)是 R 上的偶函数,(5n 所以f -6-f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0.同理，可得每连续六项的和均为0. f(1)+f(2)+f(3)+f(2 020)=f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)+f(2 020)2 017n2 018n2 019n2 020n=COS3+COS3+COS3+COS3 3333n2n4n=COS 3+COS+COSn +COS1 1 1=2+(- 2 +