2017-2018学年高中数学综合质量评估(含解析)新人教A版选修1-1

1、综合质量评估(120 分钟 150 分)、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的)1.命题“若B,则 A=B与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是2p:? x R,x +10,贝 y p 为()2R, +10)的右焦点与抛物线y2=8x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程 所以双曲线-y2=1 的半焦距 c=2,又虚半轴长 b=1 且 a0,A.0B.2C.3D.4【解析】 选 B.原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真*,故其否命题为真*；故共有 2 个真命题2.若在区间(a,b)内,f (x)0

2、,且 f(a) 0,则在(a,b)内有A.f(x)0B.f(x)02B.? xoR, +1W0C.? Xo【解(f(x)f(a)2所以a= -1=所以双曲线的渐近线方程是y= 0),因为抛物线的准线方程为y=-4,PA 所以-丄=-4,所以 p=8,所以抛物线的标准方程为:x2=16y.5. 设点 P(x,y),则“ x=2 且 y=-1 ”是“点 P 在直线 l :x+y-1=0 上”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A【解析】 选 A.x=2 且 y=-1 满足方程 x+y-仁0,故x=2 且 y=-1 可推得“点 P 在直线 I :x+y-

3、1=0 上”；但方程 x+y-仁0 有无数多个解，故点 P 在直线 l :x+y-1=0 上”不能推得“x=2 且 y=-1 ” 故“ x=2 且y=-1 ”是“点 P 在直线 I :x+y-仁0 上”的充分不必要条件.16. 设函数 f(x)= -lnx(x0),贝 U y=f(x) ()A.y= x/?C.y= x【解析】选 D.因为B.y= fxA/3D.y= x31)A.在区间，(1,e)内均有零点内均无零点4D.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点x-3【解析】选 C.由题意得 f (x)= Y X ,令 f (x)0,得 x3;令 f (x)0,得 0 x3;f (x)=0 得

4、 x=3,故知函数 f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3,+ g)上为增函数，在点12目丄x=3 处有极小值 1-1 n3O,f(e)= Y-10.故选 C.2X7.已知命题 p: “ ? x 1,2,x2-a 0” ,命题 q: “？xo R,+2axo+2-a=O ” .若命题“(p)Aq”是真命题,则实数 a 的取值范围是()A.a -2 或 a=1B.a 2 或 K a1D.-2wa 0,解得 a 1 或 aw-2.( p)Aq 为真命题,即 p 真且 q 真，即 a1.2 28.设椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为一个交点为 M,若/ MFF2=2/

5、 MFR,则椭圆离心率为()A/5- 1品 _ A. B.2- C. 丄,13,13【解析】 选 D.如图所示,直线 y=(x+c)的斜率 k=,所以倾斜角a=60因为/ MFF2=2/ MHR,所以/ MFF1=30 ,所以/ F1MF=90C.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点2c,直线 y= (x+c)与椭圆的5MF2| |MF2=m,=n,6所以椭圆的离心率为e=；=J.则有m + n = 2a,m2+nz|F迅|Um = /3n,C解得-1x2V2；T+ =1(ab0)的左、右焦点,P 为直线 xa 上一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则椭圆的离心率 e 为()1234

6、A. 2B【解析】 选 C.因为 F2PF1是底角为 30 的等腰三角形，因为 P 为直线 x=a 上一点,【补偿训练】 设 Fl,F2是椭圆所以 I71f(Xi)-f(x2)9.已知 f(x)=alnx+x2(a0),若对任意两个不等的正实数xi,x2都有 2恒成立，则 a 的取值范围是()A.(-1,+ 8)B.(2,+ 8)C.1,+ 8)D.(1,+ 8)1【解析】 选 C.因为 f(x)=alnx+ - x2(a0),) -f(x2)a对任意两个不等的正实数 xi,x2都有入 2 恒成立，所以 f (x)=人+x 2(x0)恒成立，所以 a 2x-x2恒成立,2 2令 g(x)=2x

7、-x=-(x-1)+1,则 ag(x)max,因为 g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1 为开口方向向下，对称轴为 x=1 的抛物线，所以当 x=1 时,g(x)=2x-x2取得最大值 g(1)=1,所以 a 1.即 a 的取值范围是 1,+8).X2V210.设 0 为坐标原点，F1,F2 ”JV=1(a0,b0)的焦点,若在双曲线上存在点F1PH=60 ,|0P|= 1 a,则该双曲线的渐近线方程为()尺BA x y=0【解析】 选 D.如图所示，因为 0 是 F1F2的中点，P,满足/0 C.x -y=0/oDA_x y=08x y=0.11.（2015 全国卷I）设函数 f（x）=

8、ex（2x-1）-ax+a,其中 a1,若存在唯一的整数xo,使得f（x0）g(0)_-1,且 g(-1)_-3e1-a-a,解得 a0.2._2Emin=2A.有最小值-eC.有最大值 e1011b=-1,又 g(x)=e lx2+2,所以 g (x)=ex-2x,g ” (x)=ex-2,当 x 1,2时,g “(x) g(1)=e-20,所以 g (x)在1,2上单调递增，所以 g (x) e-20,所以 g(x)在1,2上单调递增，根据不等式恒成立的S(x)min = + 1#-2 g(x)max= g(2) = e2- 2fm2- 2 m2以14.(2017 广安高二检测)椭圆+门=

9、1(ab0)的一个焦点为 F,该椭圆上有OAF 是等边三角形(0 为坐标原点)，则椭圆的离心率为r/严丄/ . 22【解析】椭圆八山=1(ab0)焦点在x 轴上,c2v2bA. 4a2- c2将 xP 代入椭圆方程得=1,解得 y=意义可得1TIm2所以mic -e 或 e mfC e+1,所以 m 的最大值为 e+1,无最小值.二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中的横线上13.若 f(x)在(a,b)内存在导数，贝“f (x)0 ”是“f(x)在(a,b)内单调递减”的条件.【解析】对于导则 f(x)在区间(a,b)内单调递减，反过来，函数 f(x)

10、(x)0,如 f(x)=-x3在 R 上是单调递减的，但 f (x)c0.在(a,b)内单调递减，不定恒有 f 答案：充分不必要点 A,满足1213因为 OAF 为等边三角形，则 tan / AOF=,bj4a2- c2c所以 右 =x,化为:e4-8e2+4=0,0e1,所以 e2=4-2 ，由 0e1,解得 e=l -1.3答案八、- -115. 用边长为 48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的 边长为_ .【解析】设截去的小正方形的边长为xcm,铁盒的容积为 Ven3,由题

11、意，得 V=x(48-2x)2(0X24).V =12(24-x)(8-x), 令 V =0,则在(0,24)内有 x=8,故当 x=8 时,V 有最大值.答案：816. 下列语句：1“ x2=1 ”是“ x=1 ”的充分不必要条件；22“ x=2 时,x -3x+2=0 ”的否命题为真命题；+Xo+1O” 的否定是：“？x R,均有 x2+x+10”命题“若 x=y,则 sinx=siny ”的逆否命题为真命题.其中说法错误的是_【解析】因为当 x=1 成立时有 x2=1 成立；当 x2=1 时,不一定有 x=1,命题“？xo R,使得14所以“ x2=1 ”是“ x=1 ”的必要不充分条件

12、，故错误；15x=2 时,x2-3X+2=0”的否命题为“x丰2 时,有X2-3X+2丰0”，而 x=1 时,x2-3x+2=0,故错误；命题“？xo R,使得+XQ+1 0” ,故错误；命题若 x=y,则 sinx=siny ”的逆否命题为 “若 sinx丰siny,则XMy”是真命题,故正确.答案:【误区警示】“否命题”与“命题的否定”如果原命题是“若 p 则 q”，那么这个命题的否命题是“若非 p,则非 q”，而这个命题的否定 是“若p 则非 q” .可见,否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论.一个命题与它的否定形式是完全对立的.两者之间有且只有一个成立.“都是”的否定是“

13、不都是”，“不都是”包含“都不是”，“至少有一个”的否定是“一个都没有”，“所有的”的否定是“某些”，“任意”的否定是“某个”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”，“至多有n 个”的否定是“至少有 n+1 个”，“任意两个”的否定是“某两个”.“p 且 q”的形式，其否定应该为“非 p 或非 q”，“ p 或 q”的形式，其否定应该为“非 p 且非 q” .三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步A .骤)2 2XV_:_j17.(10 分)命题 p:方程门+ + J=i,(k R)表示双曲线，命题 q:函数 y=log2(kx2+kx+1

14、) 的定义域为R,若命题 pVq 为真命题,pAq 为假命题，求实数 k 的取值范围.【解题指南】首先分别求出命题 p,q 为真命题时，实数 k 的取值范围，然后由真值表并结合已 知条件命题 p,q 的关系可得，命题 p,q 为一真一假，最后根据补集的思想可得出实数k 的取值范围./PO【解析】命题 p:由(k-3)(k+3)0,得-3k0 对 x R 恒成立.(1)当 k=0 时,10,所以 k=0 符合题意.r ko,0 k 4yK*所以 q:0wk0f解得16又因为 pVq 为真命题,pAq 为假命题，J3 k3, fk3.所以（k4或（0k4,所以-3k0 或 3Wk4.18.(12

15、分)如图，已知中心在原点 0,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 丄，点 A,B 分别是椭6/5圆 C 的长轴、短轴的端点，点 0 到直线 AB 的距离为门.(1)求椭圆 C 的标准方程已知点 E(3,0),设点 P,Q 是椭圆 C 上的两个动点满足 EP 丄 EQ,求 卩的取值范围【解析】由离心率 e=；=,b1得=2,所以 a=2b.因为原点 0 到直线 AB 的距离为 R直线 AB 的方程为 bx-ay-ab=0,严6岳所以J.将代入，得 b2=9,所以 a2=36.22X V则椭圆 C 的标准方程为、+ 9 =1.因为 EP 丄 EQ,所以 I Q=0,17所以riLQ)=i-：p

16、-2 X设 P(x,y),则 y2=9- J ,r T T所以 IT 加=lP=(X-3)2+y2=x2-6x+9+9- “= l(x-4)2+6.因为-6wxw6,所以 6w.x-4)2+6W81.T T故 1卩卩的取值范围为6,81.19.(12 分)已知函数 f(x)=2lnx-x2+ax(a R).(1)当 a=2 时,求 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程.孑若函数 g(x)=f(x)-ax+m 在上有两个零点，求实数 m 的取值范围.【解析】 当 a=2 时,f(x)=2lnx-x以2 /丿f (x)= -2x+2,切点坐标为(1,1),切线的斜率 k=f (1)=2,2小+2

17、x,则切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1.2(2)g(x)=2l nx-x+m,2- 2(x + l)(x - 1)则 g (x)= -2x=18所以当 g (x)=0 时,x=1.1当x0;当 1xe 时,g (x)0.故 g(x)在 x=1 处取得极大值 g(1)=m-1.(3 -又 g =m-2_L,fi12E丿27g(e)=m+2-e ,g(e)-g=4-e + 0,fl则 g(e)g-ee所以 g(x)在.上的最小值是 g(e).-eeg(x)在 J 上有两个零点的条件是15 2+C，卜+占 所以实数 m 的取值范围是J.20.(12分)(2017 广州高二检测)某食

18、品厂进行蘑菇的深加工，每千克蘑菇的成本 20 元,并 且每千克蘑菇的加工费为 t 元(t 为常数，且 2 t 5),设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25 x 0,“解得19销售量为 100 千克.(每日利润=日销售量X(每千克出厂价-成本价-加工费).求该工厂的每日利润y 元与每千克蘑菇的出厂价x 元的函数关系式【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+ g ),f (x)=x-人=(2)若 t=5,当每千克蘑菇的出厂价x 为多少元时，该工厂的每日利润y 最大,并求最大值【解(1)设日销售量x30,则匕=100,lOOe30所以 k=100e30,所以日销售量 q= -100e3Cx-20-

19、t)所以 y=当 t=5 时,y=IOOe3(26-x)由 y0 得 xw26,由 yw0 得 x 26,z3*声所以 y 在25,26上单调递增，在26,40上单调递减，所以当 x=26 时,ymax=100e4.当每千克蘑菇的出厂价为26 元时，该工厂的利润最大，最大值为 100e4元.21.(12 分)(2015 北京高考)设函数(1)求 f(x)的单调区间和极值.证明若 f(x)有零点，则 f(x)在区间(1, )上仅有一个零点eey =r(25wxw40,2wtw5).IOOe3(x -25)20因为 k0,所以令 f (x)=0 得 xJ,列表如下：21k - kink当 x= J

20、 时,取得极小值f( A)=当 Jy i,即 oke 时,f(x)在(1, )上单调递减,f(1)=彳e - krr0,f( )=0.所以 f(x)在区间(l,)上仅有一个零点I-综上，若 f(x)有零点，则 f(x)在区间(i,i r 上仅有一个零点22.(12 分)(2017 银川高二检测)已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在 x 轴上，离心率为T(1)求椭圆的方程x(o, k)(；k,+ m )f(X)-0+f(x)极小值/减区间为(0,小，增区间为(f(i)=f(C)=2_= -:r当 1g c,即 1k0,f( U)=此时函数没有零点o,f(0,所以 f(x)在区间(1,上没有

21、零点在(1,小上递减,在 2,上递增,k - kink k(l - Ink)小=)2o,22的关系，求解即可(2)设椭圆与直线y=kx+m(k丰0)相交于不同的两点时,求 m 的取值范【解题指南】(1)首先设出椭圆的标准方程为=1(ab0),然后由已知可得a,b,c 之间23首先联立直线与椭圆的标准方程，并消去 y 可得一元二次方程(1+3k2)x2+6kmx+3m-3=0,然后由直线与椭圆相交于不同的两点可得其判别式 0,再设 M(xi,yi),N(x2,y2),由根与系数的关系可得【解析】(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,2.2故设椭圆的方程为：+ =1(ab0),所以 b=1,e=；=,

22、即 b=1,c= a,2人.又 a2=b2+c2,所以 a2=lJa2,所以 a2=3,2/Vk所以椭圆的方程为：+y2=l.-/ 2X2丐+y=匕N(y = kx十m,2 22联立消 y 得(1+3k )x +6kmx+3nn-3=0,因为直线与椭圆相交于不同的两点，设 M(X1,y1),N(x2,y2),所以 =(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)0,22得:3k -m +10,xi+x2,x1X2的值，即可得出 MN 的中点 P的坐标，并结合已知条件可得等式3k?=2m-1,最后得出m 的取值范围即可又椭圆的一个顶点为A(0,-1),离心率为24所以 y1+y2=kx1+m+kx+m6 km3m2-3所以 X1+X2=-1 +3k225,则 APIM