湖北省宜昌市2021-2022学年高二上学期12月月月考数学试题(含答案)

1、内装订线内装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_外装订线湖北省宜昌市2021-2022学年高二上学期12月月月考数学试题题号一二三四总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、单选题1抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（       ）A与相互独立B与互斥C与相等D2设，向量，且，则（       ）ABC3D43若直线的方向向量为

2、，平面的法向量为，则（       ）ABCD与相交但不垂直4已知圆的方程为，那么圆心坐标和半径分别为（       ）A，B，C，D，5设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是ABCD6若为数列的前项和，且，则（       ）ABCD307已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论错误的是（       ）A曲线的方程为

3、；B左焦点到一条渐近线距离为；C直线与曲线有两个公共点；D过右焦点截双曲线所得弦长为的直线只有三条；8过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于、两点，抛物线的准线为，于，于，则四边形的面积为（       ）A32BC64D评卷人得分二、多选题9已知事件，且，则下列结论正确的是（       ）A如果，那么，B如果与互斥，那么，C如果与相互独立，那么，D如果与相互独立，那么，10已知直线，则下列结论正确的是（    &

4、#160;  ）A直线的倾斜角是B若直线，则C点到直线的距离是2D过与直线平行的直线方程是11以下四个命题表述正确的是（       ）A直线恒过定点B圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1C曲线与曲线恰有三条公切线，则D已知圆，点P为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点12已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有A渐近线方程为B渐近线方程为CD评卷人得分三、填空题13数列的前项和，则通项公式_.14甲、乙两名学生通过某次听力测试

5、的概率分别为和，且是否通过听力测试相互独立，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是_15已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知=120°，且，则椭圆的离心率为_.16已知，是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，若，且，则的离心率是_.评卷人得分四、解答题17有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，求：（1）2人都未解决的概率；（2）问题得到解决的概率.18在四棱锥PABCD中，PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABBC，BCCD1，PD.（1）证明：ABPD

6、（2）求二面角APBC的余弦值.19已知直线和圆(1)若直线交圆于，两点，求弦的长；(2)求过点且与圆相切的直线方程20椭圆的一个焦点，离心率.(1)求椭圆的方程；(2)求以点为中点的弦所在的直线方程.21如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy2=0，抛物线C：y2=2px（p0）.（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为；求p的取值范围.22已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上 （1）求双曲线的方程（2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且，求的最小值试卷第5页，

7、共5页参考答案：1A【解析】【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及对立事件的概率求法逐一判断即可.【详解】事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，可知两事件互不影响，即与相互独立，故A正确；由于事件与事件能同时发生，所以不为互斥事件，故B错误；显然事件和事件不相等，故C错误；由，所以，故D错误.故选：A2C【解析】【分析】根据空间向量垂直与平行的坐标表示，求得的值，得到向量，进而求得，得到答案.【详解】由题意，向量，因为，可得，解得，即，又因为，可得，解得，即，可得，所以.故选：C.3B【解析】【分析】通过判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，可得结论【详解】因为，所以

8、，所以，因为直线的方向向量为，平面的法向量为，所以，故选：B4B【解析】【分析】将已知方程转化为标准方程即可得圆心坐标和半径【详解】由题，所以，所以圆心坐标为，半径为，故选：B5D【解析】【详解】当焦点在x轴时，当焦点在y轴时，所以实数的取值范围是.故选：D.6D【解析】【分析】根据公式直接求出，进一步求出答案.【详解】.故选：D.【点睛】本题考查数列前项和与通项公式的关系，属于基础题.7C【解析】【分析】求出双曲线的标准方程，根据方程判断双曲线的性质B直接求出左焦点到渐近线的距离，C由直线方程与双曲线方程联立求得公共点坐标，D考虑到过焦点，因此一是求出通径长，一是求出实轴长，与它们比较可得【

9、详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以可设双曲线方程为，又双曲线过点，所以，所以双曲线方程为，A正确；由双曲线方程知，左焦点为，渐近线方程为，左焦点到渐近线的中庸为，B正确；由得，代入双曲线方程整理得，解得，所以，直线与双曲线只有一个公共点，C错；双曲线的通径长为，因此过右焦点，且两顶点都右支上弦长为的弦有两条，又两顶点间距离为，因此端点在双曲线左右两支上且弦长为的弦只有一条，为实轴，所以共有3条弦的弦长为，D正确故选：C【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质求出双曲线的方程，利用方程研究双曲线的性质是解析几何的基本方法双曲线的弦分两种：一种弦的两个端点在同一支上，一种弦的两个端点在

10、双曲线的两支上，两个端点在双曲线的两支上的弦的最短的为实轴.8D【解析】【分析】设直线AB的方程为，与抛物线的方程联立整理得，求得，及，由面积公式求得四边形的面积得选项.【详解】解：由抛物线得其焦点，设直线AB的方程为，与抛物线的方程联立，整理得，即，解得，所以，所以，所以四边形的面积为，故选：D.9BD【解析】【分析】A选项在前提下，计算出，即可判断；B选项在与互斥前提下，计算出，即可判断；C、D选项在与相互独立前提下，计算出， ，即可判断.【详解】解：A选项：如果，那么，故A选项错误；B选项：如果与互斥，那么，故B选项正确；C选项：如果与相互独立，那么，故C选项错误；D选项：如果与相互独立

11、，那么，故D选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是基础题.10CD【解析】【分析】求出直线的斜率可得倾斜角，即可判断A；利用两直线垂直的条件可判断B；利用点到直线的距离公式可判断C；利用两直线平行的条件可判断D，进而可得正确选项.【详解】由可得，所以直线的斜率为，对于A：因为直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，可得，故选项A不正确；对于B：直线的斜率为，因为，所以不成立，故选项B不正确；对于C：点到直线的距离是，故选项C正确；对于D：设与直线平行的直线方程是，则，可得，所以过与直线平行的直线方程是，故选项D正确；故选：CD.11B

12、CD【解析】将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A；根据圆心到直线的距离与半径的关系比较即可判断选项B；由题意知两圆外切；由圆心距等于半径即可求得值，即可判断选项C；设出点坐标，求出以线段为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减即可得直线的方程，即可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于选项A：由可得：，由可得，所以直线恒过定点，故选项A不正确；对于选项B：圆心到直线的距离等于，圆的半径，平行于且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切，故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，故选项B正确；对于选项C：由可得，圆心，由 可得，圆心，由题意可得两圆相外切，所以，即，解得：，故选项C正确；对于

13、选项D：设点坐标为，所以，即，因为、分别为过点所作的圆的两条切线，所以，所以点在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为，整理可得：，与已知圆相减可得，消去可得：即，由可得，所以直线经过定点，故选项D正确.故选：BCD.【点睛】结论点睛：（1）圆和圆的公共弦的方程为两圆的方程相减即可.（2）已知，以线段为直径的圆的方程为：.12BC【解析】【分析】由离心率公式化简可得渐近线方程，通过求圆心A到渐近线的距离结合直角三角形可得到的值.【详解】双曲线离心率为故渐近线方程为，取MN的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得,则，所以则故选BC【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的渐近线和

14、离心率的应用，考查圆的有关性质，属于中档题.13【解析】【分析】由给出的数列的前项和公式，分和分类求解，然后验证时的通项公式是否满足即可【详解】解：数列的前项和，时，时，当时不成立所以 .故答案为：14#0.5【解析】【分析】分两种情况，结合相互独立事件公式即可求解.【详解】记甲，乙通过听力测试的分别为事件，则可得，两人有且仅有一人通过为事件，故所求事件概率为.故答案为：15【解析】【详解】设，由余弦定理知，所以，故填.16【解析】【分析】由题意利用几何关系得到关于a,c的方程，然后结合二次齐次方程即可确定双曲线的离心率.【详解】如图所示，由题意，可设，由双曲线的定义可得：，在中，由勾股定理可

15、得：，据此可得：，在中，由勾股定理可得：，据此可得：.故答案为【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2c2a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)17（1）；（2）【解析】（1）由两个独立事件同时发生的概率等于两个事件分别发生的概率乘积，即可求出2人都未解决的概率；（2）根据问题能得到解决的对立事件为两人都未解决问题，再根据对立事件概率和等于，即可求解.【详解】解

16、：（1）由题意知：甲、乙两人都未能解决的概率为：；（2）问题能得到解决，即至少有人能解决问题，其对立事件为两人都未解决问题，问题得到解决的概率为：.18（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质进行证明即可；（2）由AD2+BD2AB2，可得ADBD，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）证明：连结BD，在四棱锥PABCD中，PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABBC，BCCD1，PD.BDAD，AD2+PD2AP2，BD2+PD2PB2

17、，ADPD，BDPD，ADBDD，PD平面ABCD，AB平面ABCD，ABPD.（2）解：AD2+BD2AB2，ADBD，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），B（0，0），C（，0），P（0，0，），（），（0，），（，），设平面ABP的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，1），设平面PBC的法向量，则，取，得（1，1，1），设二面角APBC的平面角为，则二面角APBC的余弦值为：cos.【点睛】本题考查了线面垂直判定定理和性质的应用，考查了利用空间向量求二面角问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.19(1)(2)或【解析】【分析】

18、（1）先由圆的方程得到圆心和半径，根据几何法求弦长，即可得出结果；（2）当直线斜率不存在时，可直接得出切线方程；当直线斜率存在时，先设切线方程为，由圆心到直线的距离等于半径列方程，得出的值即可求出直线方程(1)将圆：化成标准方程：，所以的圆心为，半径，所以到直线：的距离，所以；(2)当直线斜率不存在时，过点的直线为，是圆的一条切线；当直线的斜率存在时，设圆的切线方程为，即，所以圆心到直线的距离为，即，解得：，所以此时切线方程为，化简得综上所述，所求的直线方程为：或20(1)；(2).【解析】【分析】（1）根据题意，求得，即可求得椭圆的方程；（2）利用点差法即可求得直线的斜率，利用点斜式即可求得直线方程.(1)根据题意可得，故可得，则，故椭圆方程为：.(2)显然，直线的斜率存在，设两点的坐标为，故可得，故，故，由题可知，故可得，故直线的方程为，即.21（1）；（2）证明见解析;.【解析】【分析】（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证;利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：，解出p的取值范围.【详解】（1）抛物线的焦点为由