2018届高考数学一轮复习选修部分不等式选讲第一节绝对值不等式学案文选修4-5

1、第一节绝对值不等式1. 理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a+b| w|a| + |b| ； (2)|a-b| |a-c| + |cb|.2 .会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax+b| c;|xa| + |xb| c.主干知说整合07_课前拍身槌固權基知识点一绝对值三角不等式1 .定理 1 ：如果a,b是实数，则|a+b| 1a| + |b|，当且仅当 _ 时，等号成立.2. 定理 2:如果a,b,c是实数，那么|ac| 02.(ab)(bc)0对点快练1.判断正误(1) 对|a+b| |a| |b|当且仅当ab0 时等号成立.(

2、)(2) 对|a| |b| 1b|时等号成立.()(3) 对|ab| |a| + |b|当且仅当ab0时等号成立.()答案：x(2)x(3)V2若存在实数x使|xa| + |x1|(xa) (x 1)| = |a 1|，要使 |xa| +1x1|3有解， 可使 |a1| 3,二3a1 3,二2a 4.答案：2,4知识点二含绝对值的不等式的解法1 .含绝对值的不等式|x|a的解法-2 -不等式a0a= 0a0|x|aR2.|ax+b|wc(c0)和 |ax+b| c(c0)型不等式的解法(1) |ax+b|wc? _；(2) |ax+b| c? _.3. |xa| +1xb| c(c0)和 |x

3、a| +1x-b|wc(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.答案1.x| axa，或xc或ax+bw c对点快塚3._ 若不等式|kx 4|w2的解集为x|1wxw3，则实数k=_ .解析：由 |kx 4|w2? 2wkxw6.T不等式的解集为x|1wxw3,Ak= 2. 答案：24. 不等式|x 1| |x 5|2 的解集是()A.(a,4)B.(a,1)C. (1,4)D. (1,5)解析：|x1| |x 5|表示数轴上对应的点x到

4、 1 和 5 的距离之差.而数轴上满足|x1| |x 5| = 2 的点的数是 4,结合数轴可知，满足 |x 1| |x 5|2 的解集是(一a,4).答案：A掘点葩题突破*02裸堂升华强扌提館热点一绝对值三角不等式的应用11【例 1 已知x,y R,且 |x+y|w, |xy|w，求证：|x+ 5y|w1.64【证明TIx+ 5y| = |3(x+y) 2(xy)|. 由绝对值不等式的性质，得|x+ 5y| =-3 -1 1|3(x+y) 2(xy)|w|3(x+y)| + |2(xy)| = 3|x+y| + 2|xy|w3X石 + 2X-= 1.即 |x+ 5y|w1.【总结反思绝对值不

5、等式证明的常见方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明.利用三角不等式|a| - |b| |ab| 0, |x 1|3, |y-2|-，求证：|2x+y 4| a.33aa证明：因为 |x- 1| 3, |y- 2|3，所以 |2x+y- 4| =|2(x 1) + (y- 2)| 2|x- 1| + |ya a-2|2x-+ - =a.即 |2x+y- 4|a.33热点二含绝对值的不等式的解法考向 1|ax+b| c(c0) ”型不等式的解法【例 2】(1)|5 - 4x|9 的解集是_ .(2)_在实数范围内，不等式|x-2| -1|W1的解集为_.【解析】因为|5

6、 4x|9，所以 5 4x9 或 5 4x-9，所以 4x14,所以x7，所以原不等式的解集为 lxx7(2)由于 |x-2| - 1| 1,即一K|x- 2| - K 1,即卩 |x-2| 2,所以一 2x-2 2,所以 0Wxw4.【答案】(1) ixx| r (2)0wxc和|x-a| + |x+b|wc(c0)”型不等式的解法【例 3】 (2016 新课标全国卷I)已知函数f(x) = |x+ 1| - |2x- 3|.(I)画出y=f(x)的图象；-4 -5 -(n)求不等式|f(x)|i 的解集x4,x1,33x2, 12,y=f(x)的图象如图所示.(n)由f(x)的表达式及图象

7、知，当f(x) = 1 时，可得x= 1 或x= 3;1当f(x) = 1 时，可得x= 3 或x= 5.故f(x)1 的解集为x|1x3;1f(x) 1 的解集为x|x5.31所以 |f(x)|1 的解集为x|x3 或 1x5.【总结反思】含绝对值不等式的常用解法(1) 基本性质法：对a (0,+), |x|a? axa?xa.(2) 平方法：两边平方去掉绝对值符号.(3) 零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距

8、离求解.(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解【解(I)f(x)=-6 -(1)若不等式|xa| + 3xw0(其中a0)的解集为x|x0.xa,解析：不等式|x卄3x0等价于x出+ 3x0/a，0,所以不等式组的解集为図x4时，f(x) = 2x+ 1 (x 4) =x+ 50 得x1 一5,所以x4时，不等式成立.当一 qWx0,得x1,1所以，1x4 时，不等式成立.当x0,得x 5,所以，x1 或x3,求a的取值范围.【解】(I)当a= 2 时，f(x) = |2x 2|+ 2.解不等式 |2x 2| + 2W6得一 1Wx 3.因此f(

9、x)6的解集为x| 1Wx|2xa+ 1 2x| +a= |1 a| +a. 所以当x R 时，f(x) +g(x)3等价于 |1 a| +a3.当awl时，等价于 1 a+a3,无解.当a1 时，等价于a 1 +a3,解得a2.所以a的取值范围是2 ,+).【总结反思】不等式恒成立问题的常见类型及其解法(1) 分离参数法xa,或。ax+ 3xa?f(x)mina”可解决恒成立中的参数范围问题.(2) 数形结合法-8 -在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思 维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题.提醒：不等式的解集为 R 是指不等式恒成立问题，而不等式的解集为？的对立面也是不等式恒成立问题，如f(x)m的解集为?，则f(x) m恒成立.(2017 郑州模拟)已知函数f(x) = |2x+ 1| + |2x-3|.(1)求不等式f(x)W6的解集.若关于x的不等式f(x)2,2x +1+2x-；：诙,(13-x-i 2二2x +11x-2，-2x+l3131解之得2XW2 或2 三x2 或1Wx|(2x+ 1) (2x 3)| = 4,所以 |a- 1|4，解此不等 式得a5.1 .对于绝对值三角不