2017-2018版高中数学第二章空间向量与立体几何6距离的计算学案北师大版选修2-1

1、而向量PA在n上的投影的大小等于线段AA的,所以点A到平面6 距离的计算【学习目标1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念2 掌握点到直线的距离、点到平面的距离的计算3体会空间向量解决立体几何问题的三步曲EI知识梳理知识点一点到直线的距离i点到直线的距离因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一平面内 点到直线的距离问题如图，设I是过点P平行于向量s的直线，A是直线I外一定点.2点到直线的距离的算法框图空间一点A到直线I的距离的算法框图，如图知识点二点到平面的距离1.求点到平面的距离如图，设n是过点P垂直于向量n的平面，A是平面n外一定点.作AA丄I，垂足为

2、A,则点A到直线I的距离d等于线段AA的长度，而向量PA在s上的投影的大小等于线段PA的长度,所以根据勾股定理有点A到直线I的距离而向量PA在n上的投影的大小等于线段AA的,所以点A到平面作AA丄n,垂足为A，则点A到平面n的距离d等于线段AA的长度3n的距离d=_.2点到平面的距离的算法框图空间一点A到平面n的距离的算法框图，如图所示知识点三直线到与它平行的平面的距离如果一条直线平行于平面a，那么直线上的各点向平面a所作的垂线段均相等，即直线上各点到平面a的距离均_ .一条直线上的任一点到与该直线平行的平面的距离，叫作直线与平面的距离知识点四 两个平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线，

3、叫作两个平面的 _ 公垂线夹在两个平行平面之间的部分，叫作两个平面的 _ 两个平行平面的公垂线段的长度，叫作两个平行平面的 _ 题型探究类型一 求点到直线的距离例 i 如图，在空间直角坐标系中有棱长为DA的中点，求点A到直线EF的距离.反思与感悟已知一点P和一个向量s确定的直线I，那么空间一点A到直线l的距离的算法步骤(1)计算斜向量PA计算PA向量s上的投影PA-SO；(3)根据勾股定理，计算d= 寸|函2_眉.SO|22 的正方体ABCBABCD,E F分别是棱CC和4点A到直线I的距离公式也可以写成d=|PA2-PA-|S|2.求平行直线间的距离通常转化为求点到直线的距离跟踪训练 1 如

4、图，在直三棱柱ABC-ABC中，过Al,B,G三点的平面和平面ABC勺交线为I.甬_c,ffi判断直线AG和I的位置关系，并加以证明；如果AA= 1,AB=4,BC=3，/ABC=90，求点A到直线I的距离类型二求点到平面的距离例 2 已知四边形ABCD是边长为 4 的正方形，E,F分别是AB AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG=2，求点B到平面EFG的距离反思与感悟利用向量求点到平面的距离的一般步骤(1) 求出该平面的一个法向量；(2) 求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离跟踪训

5、练 2 已知点A 1,1，- 1)，平面a经过原点Q且垂直于向量n= (1 , - 1,1), 求点A到平面a的距离5类型三 求直线到与它平行的平面的距离例 3 在棱长为a的正方体ABCDA B C D中，E,F分别是BB,CC的中点(1)求证：AD/平面A EFD;求直线AD到平面A EFD的距离反思与感悟 求线面距离常转化为直线上的点到平面的距离跟踪训练 3 在直棱柱ABCBABCD中，底面为直角梯形，AB/ CD且/ADC=90,AD=1,CD=y/3,BC=2,AA= 2,E是CC的中点求直线AB与平面ABE的距离类型四 求两平行平面间的距离例 4 如图，正方体ABCDAiB C D的

6、棱长为 4,M N, E, F分别为AiD,AB,C D,B C的中点，求平面AMN平面EFBD间的距离反思与感悟 求平行平面之间的距离常转化为求点到平面的距离跟踪训练 4 已知正方体ABCDA B CD的棱长为 1，求平面AiBD与平面B CD间的距离61 在棱长为a的正方体ABCDAiB C D中，M是AA的中点，则点A到平面MBD勺距离是()当堂训练71,0,1)，则两平面间的距离是()B #C. 3D.3 23.已知平面a的一个法向量为n= ( 2, 2,1)，点A 1,3,0)在a内，则P( 2,1,4)到a的距离为4.在长方体ABCD ABCD中，底面ABCD是边长为 2 的正方形

7、，高AA为 4,则点A到截面ABD的距离是5.如图，多面体是由底面为ABCD勺长方体被截面AECF所截而得到的，其中AB=4,BC= 2,CG= 3,BE=1 .(1)求BF的长;求点C到平面AEGF的距离.厂规律与方法-1.由直线到平面的距离的定义可知，直线与平面的距离，实质上就是直线上一点到平面的距离，可转化为点到平面的距离来求2.两个平行平面的公垂线段就是在一个平面内取一点向另一个平面作垂线段，所以两个平行 平面间的距离可转化为一个平面内的一点到另一个平面的距离，即可转化为点到平面的距离 求解.提醒：完成作业 第二章6合案精析知识梳理知识点一A.B.2.两平行平面(X、B分别经过坐标原点

8、0和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量为n=(3A.2Ci81.| 触so| 寸崗2_1PA. S0|知识点二1.|PA no| 长度 |PA n|知识点三相等知识点四公垂线公垂线段距离题型探究例 1 解如图，连接AF正方体ABCBABCD的棱长为 2,二A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2).直线EF的方向向量为EF= (1 , - 2, 1),取直线EF上一点F(1,0,2),点 A2,0,0)到直线EF上一点F(1,0,2)的向量为辰 (-1,0,2),AF在匠上的投影为AF=士i 曲V6点A到直线EF的距离为跟踪训练 1 解(1)AC/I.证明如下：/AQ/AC A

9、1C?平面ABC AC平面ABC-AQ/ 平面ABC9又平面ACBQ平面ABG= I,I/AG.(2)如图，建立空间直角坐标系，由题意可知G(0,0,2) ,E(4 , - 2,0) ,F(2 , - 4,0),巳 4,0,0), &E=(4，-2, -2),GF=(2, -4, -2),BE= (0, - 2,0).设平面EFG的一个法向量为n= (x,y,z).琵n= 0 , 由丫n= 0 ,x=-y,则B(4,0,0),G(4,3,0) , A(0,0,1),Ci(4,3,1).AiB= (4,0 , - 1) ,AG= (4,3,0).过点B作BHLAG,垂足为点H由(1)知，

10、I/AiG，BH即为点Ai到直线I的距离.TAiBAG16, iAH=ABAG|AiG|16T，IBH= .|両2-|AiH2=罟即点A到直线1的距离为孑例 2 解建立如图所示的空间直角坐标系2x-y-z= 0 ,得x-2y-z= 0 ,10z=- 3y.11令y= 1，贝y n= ( 1,1 , - 3), 故点B到平面EFG的距离为跟踪训练 2 解/OA( 1,1， 1),n= (1 , 1,1),|OA* n| 1 1 1| l点A到平面a的距离为d=3.丨n| 述例 3 (1)证明 以D为坐标原点，分别以DA DC DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图由题意得5A=

11、(a,0,0),DA= (a,0,0),DA/ D A./ DzA平面A EFD,AD?平面A EFD,AD/平面AEFD.a解 由题意得D (0,0 ,a),F(0 ,a,p，不妨令z= 1，贝U n= (0 , 2，1).DF在n上的投影的大小为.|DF- n|2 ,;5d= a.|BEn|n|=2 2；11贝n*DF=0,In*D= 0,1ayaz= 0,ax= 0.设平面A EFD的一个法向量为n= (x,y,z),12In|513直线AD到平面A EFD的距离为跟踪训练 3 解 如图，以点D为坐标原点，分别以DA DC DD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0

12、,2) ，A(1,0,0) ，E(0，3，1)，QO,3，0).过点C作AB的垂线交AB于点F,易得BF=. 3,- B(1,23,0), XB=(0,2 .3,0),BE=(-1,-.3,1).设平面ABE的一个法向量为n= (x,y,z),y=0,令z= 1, 得n= (1,0,1).x=z.- AA= (0,0,2),直线AB与平面ABE的距离为空间直角坐标系，贝 y Q0,0,0),M(2,0,4),A(4,0,0),B(4,4,0),曰 0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4), EF=(2,2,0), MN=(2,2,0),nAB=0,nBE=咎y= 0,x护y+z= 0

13、,|AAn|In|22=2.例 4 解如图，以点D为坐标原点，分别以DA DC DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立14XM=(2,0,4), BF=(2,0,4),EF=MN,AM=BF,15 EF/ MN AIM/ BF,平面AMN平面EFBD设n= (x,y,z)是平面AMIN勺一个法向量,x=2z解得尸-次令Z=1，得x=2，y=-2,则n=(2, -2,1).又T XB= (0,4,0),8 8-.,4 + 4+13跟踪训练 4 解 以D为坐标原点，分别以DA DC DD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立 如图所示的空间直角坐标系则A(1,0,1),B(1,1,0),D(0,0,1),设

14、平面ABD的一个法向量为n= (x,y,z),令z= 1,得y= 1,x=- 1 , n= ( 1,1,1).点D到平面ABD的距离为n| 1至d=_3=宁nMN=2x+ 2y=0,则In XM=-2x+4z=0,Ate n上的投影为nABTnr平面AMN与平面EFBD可的距离为d=|nAB|nl0000 - - 3 3AiB= (0,1,1),AD=(1,0,-1),AD=(1,0,0).nAB=0 , 则nAD=0 ,V-z=0 ,xz=0.16平面ABD与平面BCD间的距离等于点D到平面ABD的距离,17平面ABD与平面BCD间的距离为 当堂训练1041.A2.B3. 4. 3335.解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0) ，Q0,4,0) ，E(2,4,1) ，C(0,4,3).设点 ”0,0，z).截面AECF为平行四