专题训练：勾股定理(精)

1、勾股定理、基础知识点1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a,b 斜边为 c,那么 222+=a b c2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的 思路是1图形进过割补拼接后，只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变2根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图（1 所示的正方形。图（1 中,所以。方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图（2 所示的正方形图（2 中,所以。方法三:将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3 1 和（3 2 所示

2、的两个形状相同的正方形。在（3 1 中，甲的面积=（大正方形面积一（4 个直角三角形面积,在（3 2 中，乙和丙的面积和=（大正方形面积一（4 个直角三角形面积,所以，甲的 面积二乙和丙的面积和，即:.方法四:如图（4 所示,将两个直角三角形拼成直角梯形。入/ +沪所以3勾股定理的逆定理 如果三角形三边长 a ,b ,c 满足 222a b c +=那么这个三角 形是直角三角形，其中 c 为斜边1勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方 和22a b + 与较长边的平方 2c 作比较，若它们相等

3、时，以 a ,b ,c 为三边的三角形是直 角三角形；若 222a b c +, 时，以 a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形；2定理中 a ,b ,c 及 222a b c += 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角 形三边长 a ,b ,c 满足 222a c b +=那么以 a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边3勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边 的平方和时，这个三角形是直角三角形4勾股数2记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5; 5,12,13;7,24,25 等3用含字母的代数式表示 n 组勾股数：221

4、,2,1 n n n +(2,n 第为正整数;2221,22,221n n n n n +(n 为正整数考点一、已知两边求第三边1.在直角三角形中，若两直角边的长分别为 1cm ,2cm 则斜边长为2已知直角三角形的两边长为 3、2,则另一条边长是 _ .3.在一个直角三角形中，若斜边长为 5cm，直角边的长为 3cm，则另一条直角边的 长为(.A .4cmB .4cm 或 cm 34C .cm 34D .不存在4.在数轴上作出表示 10 的点考点二、利用列方程求线段的长1. 把一根长为 10 cm 的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是 9 cm 2,那么还要准备一根长

5、为 _ 的铁丝才能把三角形做好.2. 如图，将一个边长分别为 4、8 的长方形纸片 ABCD 折叠，使 C 点与 A 点重合，则 EB 的长是（.A .3B .4 CD .53.如图，某学校（A 点与公路（直线 L 的距离为 300米，又与公路车站（D 点的距离为 500 米，现要在公路上建一个小商店（C 点,使之与该校 A 及车站 D 的距离相等，求商店与车站之间的距离.4、如图,水池中离岸边 D 点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分 BC 的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 B 恰好落到 D 点,并求水池的深度AC.5.如图,中,AD、AE 分别为 BC 的高和中

6、线，求 DE 的长5、如图 4,已知长方形 ABCD 中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD 上取一点 E 将 ADE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F，求 CE 的长.考点三、综合其它考点的应用2.如图一个圆柱，底圆周长 6cm，高 4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从 A 点爬到 B 点,则最少要爬行 cm13. 如图/ B=90qAB =16cm ,BC =12cm ,AD =21cm,CD=29cm求四边形 ABCD 的面积.14. 如图,一个梯子 AB 长 2.5 米，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯子下端 B 与墙角 C 距离为 1.5 米，梯子滑动后停在 DE 的位

7、置上，测得 BD 长为 0.5 米，求梯子顶端 A 下落了多少米？2.如图中,，求 AC 的长及的面积。B5.如图中,D 为 AB 的中点,E、F 分别在 AC、BC上，且,求证:考点四、判别一个三角形是否是直角三角形1.下列命题中是假命题的是(.A . ABC 中若/B =ZC -ZA ,则厶 ABC 是直角三角形.B . ABC 中,若 a 2=(b +c (b -c 则 ABC 是直角三角形.C . ABC 中若ZA :ZB :ZC =3 : 4 : 5 则厶 ABC 是直角三角形.D . ABC 中若 a : b : c =5 : 4 : 3 则厶 ABC 是直角三角形.2.在 ABC

8、 中,2:1:1:=c b a 那么 ABC 是（.A .等腰三角形B 钝角三角形C .直角三角形D 等腰直角三角形3.如图，四边形 ABCD 中,F 为 DC 的中点,E 为 BC 上一点，且 BC CE 41 =你能说明/ AFE 是直角吗？考点五、开放型试题1在直线 I 上依次摆放着七个正方形（如图所示.已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是 S 1、S 2、S 3、S 4 则 S 1+S2+S 3+S 4=_ .I 321S 4S 3S 2S 12.如图，分别以直角三角形 ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3 表示，则不

9、难证明 S 仁 S2+S3 .(1 如图，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3 表示，那么 S1、S2、S3 之间有什么关系？(不必证明(2 如图，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用 S1、S2、S3 表示，请你确定 S1、S2、S3 之间的关系并加以证明；(3 若分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3 表示，请你猜想 S1、S2、S3 之间的关系?.3图示是一种 羊头”形图案，其作法是，从正方形 1 开始,以它的一边为斜边，向外 作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别

10、向外作正方形 2,和 2 , 依次类推,若正方形 7 的边长为 1cm,则正方形 1 的边长为_cm. 练习1、 如图，小红用一张长方形纸片 ABCD 进行折纸，已知该纸片宽 AB 为 8cm ,?长 BC ?为 10cm .当小红折叠时，顶点 D 落在 BC 边上的点 F 处（折痕为AE .此时 EC 有多长？2. 如图，将一个边长分别为 4、8 的长方形纸片 ABCD 折叠,使 C 点与 A 点重合,则 EB 的长是（.A .3B .4CD .53.已知:如图，在 ABC 中，/ C=90,/B=30,AB 的垂直平分线交 BC 于 D ,垂足为 E ,D=4cm .求 AC 的长.4、如

11、图有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6,BC=8, 现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠,使其落在斜边 AB 上,且与 AE 重合，则 CD 的长为。5、 如图，已知:点 E 是正方形 ABCD 的 BC 边上的点，现将 DCE 沿折痕 DE 向 上翻折，使 DC 落在对角线 DB 上，则 EB : CE =_ .&如图,AD 是厶 ABC 的中线，/ ADC =45o ,把厶 ADC 沿 AD 对折，点 C 落在 C 的位置，若 BC =2,则 BC =_.FEDCBAE7已知，如图长方形 ABCD 中,AB=3cm ,AD=9cm ,将此长方形折叠，使点 B 与点D 重合折痕为 EF，

12、则 ABE 的面积为（A、6cm 2 B、8cm 2 C、10cm 2 D、12cm8、如图，已知:在 ABC ?中,? =Z90ACB ,分别以此直角三角形的三边为直径画 半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等AB9. 如图 8,有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合,在 AD 上适当移动 三角板顶点 P :1能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C ?若能,请你求出这时 AP 的长;若不能，请说明理由2再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动,直

13、角边 PH 始终通过点 B，另一直角边 PF 与 DC 的延长 线交于点 Q，与 BC 交于点 E ,能否使 CE =2cm ?若 能,请你求出这时 AP 的长;若不能，请你说明理由.10、如图所示，在 Rt ABC ?中,90,45BAC AC AB DAE / =? =Z=?，且 3BD=,4CE =，求 DE 的长.图8F第 11 题图11、如图在 Rt ABC 中,3,4,90=? = / BC AC C ,在 Rt ABC 的外部拼接个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：12、已知:如图, ABC 中，/ C = 90，点 OABC 的三条角平分线的交点，OD

14、丄 BC ,OE 丄 AC ,OF 丄 AB ,点 D、E、F 分别是垂足且 BC = 8cm ,CA = 6cm，则点O 到三边 AB ,AC 和 BC 的距离分别等于 cm13、已知 a、b、c 是厶 ABC 的三边,且 a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4 试判断三角形的形状.14. 如图,长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长？如果从点 A 开始经过四个侧面缠绕 n 圈到达点 B ,那么所用细线最短需要多长15. 三角形的三边长为ab c b a 2（22+=+,则这个三角形是（A 等边三角形（B 钝角三角形（C 直角三角形（D 锐角三角形.16. （12 分如图，某沿海开放城市 A 接到台风警报，在该市正南方 向 100km 的 B 处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动已知城市A到BC的距离 AD