2018年高考数学命题角度4.2空间位置关系证明与线面角求解大题狂练理

1、命题角度 4.2 :空间位置关系证明与线面角求解1.如图，三棱柱ABC - ABiG中，.BAA CiAA = 60,AAi二AC =4,AB = 2,P,Q分别为棱AA1, AC的中点.（1） 在平面ABC内过点A作AM /平面PQBi交BC于点 M ,并写出作图步骤，但不要求 证明.（2）若侧面ACCiA_侧面ABBiA，求直线AG与平面PQBi所成角的正弦值.【解析】试题分折：（1）证线面平行则需在面内找一线与之平行即可平面血妁4内过点.虫作曲仏f交创于点连结BQ,在中，作交BQ于点连结血并延长交并C于点则血为所求作直线.2）根据團形分别決咸武疋的方向为X轴，卩轴，轴的正方向，然后写试题

2、解析:（I）如图，在平面ABBiAi内，过点A作AN /BiP交BBi于点N，连结BQ，在BBQ中,作NH /Q交BQ于点H，连结AH并延长交BC于点 M，则AM为所求作直线CC出4G的坐标，求出面鬥3屍得法向量根抿即可求得结39【答案】（I）见解析（2）I3 .-2 -(2)连结PC1, AC1, AAi二AC二ACi =4,.GAA = 60, :.：AC1A 为正三角形. - P为 AA的中点，PCi_ AAi,又侧面ACCJA侧面ABBA，且面ACC1A面ABB1A - AA1,PCj二平面ACC1A1,PC1_ 平面ABB1A1,在平面ABBiA内过点P作PR_ AA交BBi于点R,

3、I 分别以PR, PA,PG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标 系P-xyz，则P 0,0,0 ,A 0,2,0 ,A 0, -2,0 ,C 0,-4,23，G 0,0,2 3 .ClE EN N-3 - Q为AC的中点，.点Q的坐标为（0, 3,J3）, Ad 0, -2,. 3 ,PQ二0,一3,3 . AQ =AB =2,. BiAA=60, B13,1,0, PB1W：3,1,0, 设平面pQBi的法向量为m= x,y,z,得-3y .3z=0馅x + y = 0令x=1，得y二-3, z = -3，所以平面PQB1的一个法向量为设直线AC1与平面PQB1所

4、成角为a,即直线AC1与平面PQB1所成角的正弦值为.13点睛：考察立体几何的线面角，要注意线面角一定是锐角，同时在用向量解决问题时一定要 注意点的坐标的准确性2.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，四边形OAEF为矩形，平面OAEF_ 平面ABCD , AB = AE .（1）求证：平面DEF_平面BDF；（2）若点H在线段BF上，且BF =3HF，求直线CH与平面DEF所成角的正弦值【解析】试题分析：（1）先运用线面垂直的判定定理证明线面垂直，再借助面面垂直的判定 定理推证；（2）先依据题设条件建立空间直角坐标系，再运用向量的数量积公式及向量的运 算的坐标运算进行分析求解：【

5、答案】 （1）详见解析;-4 -试题解析：证明：；ABCD|为正方形， 二A0丄BD, 四边形O A E F为矩形，二A0丄F O,EF LJ A0,二EF丄BD, E F丄F0,又;BDcFO =0二EF丄平面BDF又EF平面DEF,.平面DEF_平面BDF. 営平面OAEF丄平面ABCD平面OAEFc平面ABCD = OAfFO丄AO,：. F0丄平面砒 6F0丄丄月O,以0为原点，040&0F所在直线分别为工轴，$铀，轴，建立空 间直角坐标系不妨设AB = AE = 2t则0（040）（Q雄0）C（-Q0,0）.Q（0-施0）,E（血.（U）F（HU）,二旋环而=（Q运2,丽=（

6、_怎2）,点睛：立体几何是高中数学中的传统而典型的内容之一，也高考重点考查的考点和热点。这 类问题的设置一般有两-72 4设平面DEF的法向量为 （xyz）,由；，即n DF =0、2x、2y 2z = 0 2y 2z = 0,令z =1,得.得直线CH与平面DEF所戍角的正 弦值即 为-5 -类：其一是线面位置关系的判定；其二是有关几何体的体积面积以及 角度距离的求解与计算等问题。求解第一类问题时，要充分借助和运用线面位置关系的判定-6 -定理或性质定理进行分析推证；解答第二类问题时，通常是先建立空间直角坐标系，再运用 向量的有关知识及数量积公式建立方程进行探求从而使得问题获解。3.如图，在

7、四棱锥：定小中，三:-平面上比，四边形注二：是直角梯形，ADC = 905Z? =Al) AB = 2rDC =1（2）设 是棱，上一点， 是、的中点，若与平面、所成角的正弦值为 ，求线段 的长【答案】；（2）【解析】试题分析： （1）建立空间坐标系：则工,y -兰)由 5/? = 0- SC = 得2x + 2y-2z = 0且取：1，得J所以 =（-1,2 . I；是平面弓RQ的一个法向量.因为 勺）丄平面ABC取平面ABC的一个法叼叱1衣| cosf?! = |-1 |- 1 向量.设二面角的大小为，所以，（2）由（1）知叹一 ，则祁y ），也-i.设CP=XCB（0玉久兰1），则川二亦

8、. 0,可，所以 Sfi= (2 . 2，设平面的法向量为（i）求二面角l - -的余弦-7 -2. I.（） =门九仏。），-8 -所以血：易知 平面 ，所以是平面的一个法向量设 与平面_. 一FPE CD貝 +1sinff = |cos（Pff,CD） = |试题解析:（1）以0为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系矽巧设平面SBC：的法向量为m二匕y，z),由伽看=D，SC = 0得2工4- 2y 2z = 0且y 2z= 0.取z = l,得Y= -1, y = 2,所以山=（一1虚平面$BC的一个j去冋量.因为5Q丄平面ABC取平面ABC的一个法向量 叫_ _ 1 _ 3设二面角洗止

9、的大小为，所以“ I叫I剧叹由图可知二面角- -为锐二面角，所以二面角s-/;f- - 的余弦值为（2）由（1）知，则),则 CP = JL(2,1,0) = (22,入0),所以 一：.-： - : -.- i -.:易知：匸;丄平面 ，所以是平面的一个法向量.所成的角为 ，所以A + 1L .26口 r* 乂 一丄噪屈|而IJ5於一2JL十H ,则D0), S(0 . 0z2),所以看=(2 , 2 , -2), SC = (0 ,1,-2), DS = (O.0，2).-9 -设与平面所成的角为，sincr |cos(PE,所以,PECD久+1几十1211一2 1(舍)所以D)丽-亞亞,

10、，所以线段 的长为 4.如图，在三棱柱ABC -ABQ中，D为BC的中点,BAC =90, AAC =60，AB二AC二AA,=2.Ci(1)求证:AB/平面ADG；(2)当BG =4时，求直线BiC与平面ADCi所成角的正弦值-10 -【答案】（1）见解析；（2）3 10.10【解析】【试题分析】（1）依据题设条件运用直线与平面平行的判定定理进行分析推证；（2）依据题设条件建立空间直角坐标系，借助向量的有关知识与数量积公式分析求解：（1）证明:连结AC与AC1相交于点E,连结ED. D,E为中点，AB/ED,又A)B二平面ADCED二平面ADC1,AB / /平面ADC1.(2)AB = Z

11、ACl= 21SCl=4?:.AB2+ACfBCf,1AQf又m ACCnACACu 平面AACCAC平面4/Cq、：BA丄平面gCC、,二平面AACQ丄平面ABC.-11 -平面A ACCi_ 平面ABC，平面AiACC平面ABC二BC, AZ_ 平面ABC以点A为原点，AB, AC, AZ的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系,得下列坐标：A 0,0,0 ,B 2,0,0 ,C 0,2,0 ,D 1,1,0 , A,0,1, 3 ,G 0,3八3 , Bi2,1,、3、工十 K -F设平面ADC1的一个法向量mpx, y,1，贝U如图，过A在平面 AACC1内作 AX -A

12、C，垂足为A.-12 -点睛：立体几何是高中数学中的传统题型，也是高考重点考查的热点与重要考点。求解本题mAC= 0 x + y = 03y+73=0，解之得又BQ=： 2,1, - .3所以直线DC与平面ADC1所成角的正弦值为3.101033cos B1C,m-13 -的第一问的方法是依据题设条件运用直线与平面平行的判定定理进行分析推证；求解第二问时，则先依据题设条件建立空间直角坐标系，借助向量的坐标形式的运算等有关知识，求出 法向量，再借助向量的数量积公式分析求解从而使得问题获解。5.在矩形ABCD中，BC=2AB=2，E是边AD的中点，如图（1），将A CDE沿直线CE翻折到ACPE的

13、位置，使PC丄PB，如图（2）.（I）求证：平面PCE_平面ABCE;（n）已知M ,N, Q分别是线段PC,CE,BN上的点，且PM二CM,CN=2NE,MQLI平面PAB，求直线QM与平面PCE所成角的正弦值S =(2Q 2)两=(2Z 2)? ?PF而=A(AEL(MD设，则药叭一川 :m.: : 所以1-1-1-?：-18 -易得平面的法向量设平面的法向量为11八2y -2z = 0,得-八-二，令二；，得=1. |- 1 .因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等,6A2H*一 . I - 2A + 2| = I =，即门一胃 门讥讣,所以_羽FF事即C H哄.，解得，所以点

14、睛：禾U用已知的面面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何 证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键.7.如图，五面体ABCDE中，四边形ABDE是菱形，ABC是边长为2的正三角形,DBA =60,CD = 3丽而|ET-n|所以-HS =二:小兰-19 -（1）证明：DC丄AB;（2）若点C在平面ABDE内的射影H，求CH与平面BCD所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）1313【解析】试题分析：（1）要证DC _ AB，可由AB_平面DOC证得，只需证明AB _ OD和AB _0C即可；（2）分析条件可得点C在平面ABDE内的射影H必在0D上，H是0D的中点，

15、建立空 间直角坐标系O-xyz，求出平面BDC的法向量即可试题解析：解：1）如虱取扭?的中点0,连0COD因为MBC是边长为2的正三角形，所以拙丄= *又四边形QDE是菱形，= 所以是正三角形所以丄0而0Dn0C=0f所以廊丄平面D0C所以曲丄CD（2）由（1）知0C二CD，平面D0C丄平面ABD因为平面D0C与平面ABD的交线为0D, 所以点C在平面ABDE内的射影H必在0D上， 所以H是0D的中点如图所示建立空间直角坐标系0 -xyz,B 1,0,0 ,C 0八3,0,所以C?o,-迈,？i4 4丿，BCM13,0,设平面BDC的法向量为n = x, y, z，则n BC = -x +眼讨

16、=033cn BD - _x y z = 0223 4T(BD= i-1,-=3,Z=1，取y = 3，则x,H 0I 4/3 322-20 -21 -即平面BCD的一个法向量为3, . 3,1点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求， 有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线 长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求 解8.如图，在四棱锥.:中，：平面：，四边形 是直角梯形，所以CH与平面BCD所成的角的正弦值为CH n71 -3+1諭n2后1313- - - .；： - :

17、 - 一-22 -2押(2)设 是棱，上一点，是的中点，若 V 与平面所成角的正弦值为:，求线段-的长【答案】；(2).【解析】试题分析： (1)建立空间坐标系则1111|1115(00.刃，所以刃$=(22、1 .苟，口5：=(0,* ；,由斤-SF = 0 , - SC = 0,得？工 +_ 2誉=(】且”= 0.取所以巾之-2I；是平面的一个法向量.因为$卩丄平面ABC取平面ABC的一个法(2)由(1)知处1),则皿1),- V 1).设 CP =试题解析：(1)以D为坐标原点，建立如图所示空间 直角坐标系，则0. 0),2, 0), C(01、0),只0, 0. 2),-2)元=(D,

18、 1, -2)屈=(O” 0, 2)? ?设平面的法向量为，所以是平面的一个法向量.因为 平面ABC取平面ABC的一个法向量设平面的法向量为设二面角f门的大小为，所以 “l-ll J(oa0)?所以PE = CE - CP = (1 -22.,易知 平面 ，所以1是平面二心的一个法向量设 与平面A+ 1sina二|cos(PF ”所以由；，；一H 5C = 0?得2.r -F 2v 2z = I)且;/ - 二:;所成的角为-23 -设二面角-川.-!的大小为，所以由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为 .（2）由（1）知E（1 , 0, 1）,则看-（2, 1, 0）, CE（1,

19、-1，设詡=ACS (0 A 1),则祁=；t2# 1 , 0) = (2A, A, 0),所CJ,P = CE -CP =(1-2X, -1-Az 1).易知仞丄平面4D,所CD = （0 , 1, 0是平面S肋的一个法向量.设与平面所成的角为，_fpCDsinot |cos（PE、CD）| = |所以9.已知三棱台ABC ABG中，AB = BC=4,AC=2AC22 ,AA =CCj =1, 平面AABjB平面AAC1C,1).久+1|：；】|、川.：.2屈善CP=（|）丽I君（舍）所以，所以线，得即-24 -（1）求证:BB1_ 平面AAC1C；（2）点D为AB上一点，二面角D CCi

20、-B的大小为30，求BC与平面DCCi所成角的正弦值.【解析】试题分析：（1）延长AA1，BB1，CC1交于点0通过证明线 OA 和平面内的两条相交直线OC,OB垂直，证明BB_平面AAC1C（2）以O为坐标原点，OA,OB,OC为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,计算即可试题解析：（1延长 SCG 交于点0ACAC = = 2A2Ai iC Cl l及棱台性质得OAOA = = OC2OC2f f所以Q（丄OC因为平面AAfiyBAAfiyB丄平面平面皿”=“.所以OC丄平面AABAAB? ?OBu平面AABAAB? ?所以.OC丄0/又債仙三MOC,所以CU丄OBOB , , OAn

21、OC=OOAnOC=O? ?所以目丄平面(2)由于AC = AB =4，由1知OA OB,OB OC，所以OB二2OB = 2 3，且【答案】 （1）见解析；（2）.34-25 -10.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA_底面ABCD, 垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD =1,M是棱SB的中点.OBA =30,以O为坐标原点,OA,OB,OC为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,A 2,0,0,日0八3,0, 设ADr；.AB= OD h2-2 ,2.3,0.图： 贝V A (1,0,0 ),B 0,2 - 3,0,Ci0,0,2.设平面ODC的法向量为川hx,y,z,m ?OC = z = 0由m ?OD = 2 - 2/ ix 2，3，y = 0OA = 1,0,0是平面OBC的个法向量,可取m = , 3 -1,0.由二面角cosm, OA)|=3(4扎22扎+1所以D为AB中点,I 22BC h0, -2. 3,2,设BC与平面DCCi所成角为 厂则sinr =ABcos m, BC所以BC与平面DCC1所成角为正弦值为34-26 -(I)求证：AM/平面SCD；(n)求平面SCD与平面