2019年全国初中数学竞赛试题及答案

1、文档来源为：从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持2013 年全国初中数学竞赛试题9.实数 a, b, c, d 满足：一元二次方程 x2+cx+d=0 的两根为 a, b，一元二次方程 x2+ax+b=0 的两根为、选择题(共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A, B, C, D的四c, d,则所有满足条件的数组(a, b, c, d)为个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、10 .小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4 元，圆珠笔每支售7 元.开始时他有铅笔和圆珠笔多填或错填都得0分)共 350 支，当天虽然笔没有

2、卖完，但是他的销售收入恰好是2013 元，则他至少卖出了1 设非零实数ja + 2b+3c= 0a，b，C，满足 2a+ 3b+4c = 0支圆珠笔.ab+bc+ca2 .22a +b +c的值为(1(A) 2(B)01(C) 1(D) 12.已知 a， b， c 是实常数，关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个非零实根 xi，x?，则下列关于 x11.如图，抛物线厂ACE三、解答题(4每题20分，共80分)AE一ii的一元二次方程中，以 一，为两个实根的是()xiX22 2 2 2 2 2 2 2(A) c x +(b 2ac)x+a =0(B) c x (b 2ac)x+a

3、 =02 2 2 2 2 2 2 2(C) c x +(b 2ac)xa =0( D) c x (b 2ac)x a =03.如图，在 RtAABC 中，已知 O 是斜边 AB 的中点，CD 丄 AB，垂足为 D，DE 丄 OC，垂足为 E，若 AD，DB，CD 的长度都是有理数，则线段 OD，OE，DE，AC 的长度中，不一定.是有理数的为()bx 3,顶点为 E，该抛物线与X轴交于D OBBC FOB=OC=3OA,直第 y=x2+1 与y轴交于点 D，求/ DBC 题 CBE .ABC两点，与y轴交于12 .设 ABC 的外心，垂心分别为 O, H，若 B, C, H , O 共圆，对于

4、所有的能的度数.13 .设 a, b, c 是素数，记 x=b+c a, y=c+a b, z=a+b c,当 z2=y, . x门=2 八时,A构成三角形的三边长？证明你的结论.(A)OD(B) OE(C) DE(D) AC14 .如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧,4.如图，已知 ABC 的面积为 2 4,点 D 在线段 AC 上,点 F 在线段 BC 的延长线上，且 BC=4CF, DCFE如，把 86 放在 415 的左侧，得到的数是平行四边形, 则图中阴影部分的面积为(的最小值，使得存在互不相同的正整数(A)3(B)4(C)5.对于任意实数x, y, z,定义运算*”为:(D)

5、832 233x y+3x y +xy +45Xy=(x+1)3+(y+1)360，an中都至少有一个为m的魔术数.且x y z=(x y) ”z，则2013 2012.3 2的值为()、选择题1.【答案】A607967(B)趣967(D)16389967、填空题(共5小题，每小题7分，共35分)6.设 a=V3, b 是 a2的小数部分，则(b+2)3的值为_7.如图，点 D , E 分别是 ABC 的边 AC, AB 上的点，直线 BD 与 CE 交于点 F，已知 CDF , BFE , BCF 的面积分别为 3, 4, 5,则四边形 AEFD 的面积是 _ .&已知正整数 a,

6、b, c 满足 a+b2 2c 2=0, 3a2 8b+c=0,则 abc 的最大值为 _.y(第 7 题)IABC，求/BAC所有可I/0/魔术数”(例所得到的新数可被 7 整除，那么称 M 为 m 的C86415 能被 7 整除，所以称 86 为 415 的魔术数 2 求正整数 nEa1,a2,，an,满足对任意一个正整数m,在 a1,a2,2013 年全国初中数学竞赛试题参考答案2【解答】 由已知得a b(2a 3b4c)-(a 2 3c) = 0故(a b c) =0.于是ab be ca二-(a2b2c2),2所以ab be caa2b2c22.【答案】B2bc【解答】由于axbx

7、0是关于x的一元二次方程，则a =0.因为x x2,x1xaa_(xx2j - 2x,x2b2-方c2 2 2 -X1X2X12文档来源为：从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持文档来源为：从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持1于是根据方程根与系数的关系，以，Xi1为两个实根的一元二次方程是X22 22b - 2ac a小x2x0，cc即c2x2_(b22ac)x a2= 0.SAEF4-SAEF S BFEBFS-.BCF_ 5S-AFDSAFD-FDS.：CDF_ 3SAFD 3SAFD SCDFCFS-BCF5SAEFSAEF-FES-，BEF_ 4（第7题答题

8、）3 .【答案】D【解答】因 AD, DB, CD 的长度都是有理数，所以，0A= OB =0c=AD BD是有理数.于是，OD = OA- AD 是有理数.2由 RtDOEsRtCOD,知OEOD2OCDEDC DOOC理数，而 AC =, ADAB不一定是有理数.4 【答案】C【解答】 因为 DCFE 是平行四边形，所以 DE/CF，且 EF/DC . 连接 CE，因为 DE/CF，即 DE/BF，所以SADEB= GDEC,因此原来阴影部分的面积等于厶ACE 的面积.连接 AF，因为 EF/CD，即 EF/AC,所以SAACE= 0ACF. 因为BC =4CF，所以SAABC= 40AC

9、F.故阴影部分的面积为 6.5【答案】C【解答】设2013 2012川4二m，则2013 2012 | 43二m 3者E是有（第 4 题）（第4题答题）解得SAEF10813，所以，四边形 AEFD 的面积是&【答案】2013204132 2【解答】由已知a b - 2c- 2 = 0,3a - 8b c二0消去 c,并整理得2 2 2b-8 6a，a = 66.由 a 为正整数及6a- a66,可得 1 a 3.2若a = 1，贝 Vb-8i；= 59，无正整数解；2若a=2，则（b 8） =40，无正整数解；2若a=3，则（b8） =9，于是可解得b=11,b=5.（i）若b =

10、11，则c = 61，从而可得abc=3 11 61=2013;（ii）若b=5，则c=13，从而可得abc = 3 5 13 = 195.综上知abc的最大值为2013.323m 3 3m 9 m 27 4532m 3m 3m 164 60-9 ,3于是2013 2012川3 2 = 9 2二3、填空题6【答案】92【解答】由于1：a : 2 a:：3，故b9323 92229 2345 _ 5463103+3360967a2-2 =-2，因此(b 2)(?9)9.9.【答案】(1, -2,1, 2),(t,0 - t, 0)(t为任意实数)7 【答案】【解答】20413如图，连接 AF，则

11、有:a b= -c,【解答】由韦达定理得ab=d,2d = _a,cd二b.由上式，可知b=-a-c=d.若b=d屮0，贝U a = =1,。=卫=1，进而b=d = - a-c=-2.bd若b=d = O，则c= a，有(a,b c d) = (t, 0 -1,0)(t为任意实数) 经检验，数组(1,- 2,1,- 2)与(t,0 -1, 0)(t为任意实数)满足条件.10.【答案】207文档来源为：从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持【解答】设 x, y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则2013 -7yx二4y +1是是整数又2013 =4(x y) 3y :：: 4

12、 350 3y,4所以y .204，故 y 的最小值为 207，此时x =141三、解答题11.如图，抛物线y二ax2 bx -3,顶点为 E,该抛物线与x轴交于 A,1B 两点，与y轴交于点 C,且 OB = oc= 3OA.直线y x7 与y轴交3于点 D.求/ DBC -Z CBE.12【解答】 将x=0分别代入yx 1,y二ax，bx-3知，D(0,31), C(0, -3),1所以 B(3, 0), A( -1 , 0)直线yx 1过点 B.3将点 C(0,-3)的坐标代入y=a(x 1)(x-3)，得a=1抛物线y二x -2x-3的顶点为E(1,-4) 于是由勾股定理得BC =32

13、, CE =J2, BE =2 5因为 BC2+ CE2= BE2,所以， BCE 为直角三角形， BCE =90CE 1OD 1因此 tan.CBE=.又 tanZDBO=,则ZDBO =CBE.CB 3OB 3所以，DBCCBE二DBC/DBO二OBC =4512.设厶ABC的外心，垂心分别为O,H，若B,C,H O所有可能的度数.【解答】分三种情况讨论.(门若厶ABC为锐角三角形.因为BHC =180 - A BOC =2 A,所以由- BHC B, 可得 _(第 12 题答题(ii )(第 12 题答题(i)(ii)若厶ABC为钝角三角形.当A 90时，因为BHC =180ZA,BOC

14、 = 2 180 -. A,所以由BHC BOC二180，可得3 180-/人严180，于是A二120。当.A：90时，不妨假设.B 90，因为.BHC=/A,BOC = 2 A,所以由BHC BOC二180，可得3 A= 180，于是A= 60.(iii )若厶ABC为直角三角形.当.A=90时，因为O为边BC的中点，B,C,H,O不可能共圆， 所以.A不可能等于90;当.A：90时，不妨假设.B=90，此时点 B 与 H 重合，于是总有B, C,H,O共圆，因此.A可以是满足0： .A：90的所有角.综上可得，.A所有可能取到的度数为所有锐角及120.13.设a,b,c是素数，记x = b

15、c - a, y =ca -b,z = a b - c，当z2二y, x - y = 2时，a,b,c能否构成三角形的三边长？证明你的结论.【解答】不能.、111依题意，得a (y z),b (x z),c (x y).22211z( z + 1)因为y二z2，所以a ( y z)(z2 z)二22 2又由于z为整数，a为素数，所以z=2或-3,a =3.当z = 2时，y = z2= 4, x = (. y 2)2= 16.进而，b=9,c=10，与b,c是素数矛盾；当z=-3时，a，b-c：0，所以a,b,c不能构成三角形的三边长.14.如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧，所得到的新数可被 7 整除，那么称 M 为 m 的“魔术数”(例如，把 86 放在 415 的左侧，得到的数 86415 能被 7 整除，所以称 86 为 415 的魔术数).求正整数 n 的最小值，使得存在互不相同的正整数a1,a2,，an，满足对任意一个正整数m,在aba2,，an中都至少有一个为 m 的魔术数.【解答】若 n7.又当a1,a2,，an为 1, 2,，7 时，对任意一个正整数 m,设其为k位数(k为正整数).则10ki m(i=1,2,，7)被 7 除的余数两两不同.