2019年高考数学一轮复习第7章立体几何第7节第1课时利用空间向量证明平行与垂直学案理

1、第七节立体几何中的向量方法考纲传真（教师用书独具）1.理解直线的方向向量与平面的法向量2 能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系3 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些简单定理（包括三垂线定理）4 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的 夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.双基自主测评I梳理自测巩固基础知识梳理自测巩固基础知识（对应学生用书第 122 页）基础知识填充1空间位置关系的向量表示直线I1,丨丨2的方向向量分别为n1,n211/12n1/n2? n1=入n21C11丄I2n1丄n2?n1n2= 0直线I的方向向量为n,I/ an丄n

2、?nm=0平面a的法向量为mI丄an/n?n=入m平面a,3的法向量分a / 3n/m?n=入m别为n,ma丄3n丄m?nm=02.异面直线的夹角已知直线I1与I2的方向向量分别为S1,S2.I1与丨丨2的夹角等于S1,S2；n当2.3.直.线与平面的夹角TA.设直线I的方向向量为a,平面a的法向量为n,直线I与平面a的夹角为0,贝USin0 =|cos4. 二面角|an| u 歸.(1)女口图 7-7-1(1) ,AE,CD是二面角a-1-3的两个面内与棱I垂直的直线，则二面角的大小0= |，二面角的平面角大小是向量ni与n2的夹角(或其补角).基本能力自测1.(思考辨析)判断下列结论的正误

3、.(正确的打“V”，错误的打“x”)(1) 若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.()(2) 若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合.()(3) 两直线的方向向量所成的角就是两条直线的夹角.()(4)直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线与平面的夹角.(5) 两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.(6) 两异面直线夹角的范围是 o,n，直线与平面夹角的范围是范围是0 ,n.()C Ta丄3，贝 UUV= 2X6+ 2X( 4) + 4t= 0,-1 = 5.,C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是(x+y= 0,化简得x+z= 0, x= y=乙故选 C. 4.直

4、三棱柱ABGABC1中，/BCA=90,M N分别是AB,AC的中点，BC=CA= CC,贝 U2.答案V(2)V(3)X(教材改编)设u= ( 2,2 ,t) ,v= (6 则t=()A. 3B . 4C. 5(4)X(5)X(6)V,4,4)分别是平面a,3的法向量.若3.已知A(1,0,0) ,B(0,1,0)A. ( 1,1,1)C.B. (1 , 1,1)仗 3 並回3，3，3Y1 *C 设门门=(x,y,z)为平面ABC勺法向量，D.n AB=0,则nAC=迪3 3，3，4C 建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，设BC=2,则政 0,2,0) ,A(2,0,0),M1,1,2)

5、, N1,0,2)，所以BIM=(1 , - 1,2) ,XN=( 1,0,2)，故BM与AN夹角0|BM- AN _330iBM-iAN6% Q10 15 .过正方形ABCD勺顶点A作线段PAL平面ABCD若AB= PA则平面ABP与平面CDP所成的二面角为_的余弦值 cos4545如图，建立空间直角坐标系，设AB= PA 1,贝U A(0,0,0),P(0,0,1)，由题意，ADL平面PAB设E为PD的中点，连接AE则CDL平面PADCDLAE从而AE!平面PCDAD=(0,1,0) ,AE= 0 , 2 , 2 分别是平面PAB平面PCD勺法向量，且故平面PAB与平面PCD所成的二面角为

6、 45 .第 1 课时 利用空间向量证明平行与垂直题型分类突破I典例典例刚剖析探求规律方刚剖析探求规律方(对应学生用书D(0,1,0),AE! PD又AD AB=|題型1利用空间向量证明平行问题卜二 (2017 天津高考节选)如图 7-7-2 ,在三棱锥P-ABC中 ,PA!底面ABC/BAG=90.点D, E,N分别为棱PA PC BC的中点，M是线段AD的中点，PA= AO4 ,AB=2.5求证：MN/平面BDE6解如图，以A为原点，分别以XB ACRP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4), Q

7、0,0,2),曰 0,2,2) ，M(0,0,1) ，N120)证明：DE= (0,2,0) ,DB= (2,0 , - 2).设n= (x,y,z)为平面BDE的一个法向量，nDE=0,jDB= 0,又MN= (1,2 , - 1),可得MN n= 0.因为MN平面BDE所以面BDE规律方法1 恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键 2 证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面， 或证直线的方向向量与平面内某直线的 方向向量平行，然后说明直线在平面外即可 .这样就把几

8、何的证明问题转化为向量运算 .跟踪训练如图一 7-7-3所示，平面-PAD平面一ABCDABCD正方形，PAD是直角三角形,不妨设z= 1,可得n= (1,0,1)7且PA=AD=2,E, F,G分别是线段PA PD CD的中点求证：PB/平面EFG证明平面PAD_平面ABCDABC助正方形，PAD是直角三角形， 且PA= AD图 7-7-38 AB, AP, AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0) ，B(2,0,0)，Q2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，Q1,2,O). PB= (2,0 ,

9、 - 2) , FE= (0，- 1,0) , F* (1,1，- 1),设PB=slFE tFG,即(2,0 , - 2) =s(0，- 1,0) +t(1,1，- 1),t=2， ts= 0,解得s=t= 2 ,-t=2,PB=2FE2FG又FE与討共线，PB, FE与FG共面./ PB?平面EFG - PB/平面EFG利用空间向量证明垂直问题(2017 开封模拟)如图 7-7-4 ,已知ABL平面ACD DEL平面ACDACD为等边三角形，AD= DE=2AB求证：平面BCL平面CDE【导学号：79140249】/B|题型2|9证明 设AD= DE=2AB=2a,建立如图所示的空间直角坐

10、标系Axyz,贝 UA(0,0,0),C(2a,0,0) ,B(0,0 ,a) ,D(a,. 3a,0),曰a, 3a,2a).10所以BE=(a, 3a设平面BCE的法向量为ni= (xi，yi，zi),由niBE=0,niBC=0 可得因为nin2= ix所以ni丄n2, 所以平面BCEL平面CDEz/严母题探究若本例中条件不变，点F是CE的中点，证明DF丄平面BCE证明由例 2 知C(2a,0,0) ,E(a, 3a,2a)，平面BCE的法向量ni= (i , 3, 2).TaTDF=尹,DF/ ni,故DFL平面BCEaxi+J3ayi+azi= 0,gaxi-azi= 0,xi+3y

11、i+ 乙=0,2xizi= 0.cP令乙=2,可得ni= (1 , -3, 2).设平面CDE的法向量为n2= (X2,y2,Z2),由n2CD= 0,n2ED= 0 可得ax2+p3ay2= 0,.2az2= 0,即X2+ p3y2= 0,Z2= 0.令y2= i,可得n2= ( 3, i,0).+ 仆(点F是CE的中点， F3a V3a2，2，a，DF=aV3a2 ,a3) = 0.,3a,0),ED= (0,0 , - 2a).11规律方法1.利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标， 从而将几何证明转化为向量运算 其中灵活建系是解题的关键2.用向量证明垂直的方法1

12、 线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零2 线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向；：;面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.跟踪训练如图 7-7-5 所示，已知四棱锥P-ABC的底面是直角梯形,/ABC=/BCO90,AB= BC= PB= PC=2CD侧面PBCL底面ABCD证明：(1)PALBD；(2)平面PAL平面PAB证明取BC的中点Q连接PO平面PBCL底面ABCDPBC等边三角形, POL底面ABCD以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴,OP所在直

13、线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设C*1,贝U AB= BC=2,PO=3.A(1 , - 2,0) ,B(1,0,0) ,D-1 , - 1,0) , R0,0 , . 3).応(-2, -1,0), PA= (1, -2, -3). E3D- PA= (-2)X1+(-1)X(-2)+0X(-3)=0,12PALE3DPALBD13取PA的中点M连接DM则M舟,1,学.詳2丿希PB=2x1+0X0+ -23X(3)=0,DMLPB即DMLPBDM PA= 2x1+0 x(2)+-2x(3)=0,DMLPA即DMLPA又PAGPB=P,DML平面PAB / D平面PAD平面PAD

14、L平面PAB利用空间向量解决探索性问题EA= ED- AB=2EF EF/ AB M为BC的由.解(1)证明：取CD的中点N,连接MN FN3，0，PB=(1,0 , 3),(2)求直线CF与平面BDE所成角的正弦值;(3)在棱CF上是否存在点G,使BG1 DB若存在，求C的值；若不存在，请说明理(2018 北京东城区综合练习(二)如图 7-7-6 ,在几何体ABCDE中,平面ADL平 面ABCD四边形ABC为菱形，且ZDAB=60 ,14因为N, M分别为CD BC的中点,所以MN/ BD又B匚平面BDE且MN平面BDE所以MNZ平面BDE因为EF/ AB, AB=2EF,所以EF/ CD

15、EF=DN所以四边形EFN助平行四边形，所以FN/ ED又ED-平面BDE且FN/平面BDE所以FN/平面BDE又FNH MN= N,所以平面MFN/平面BDE又Fj平面MFN所以FM/平面BDE(2)取AD的中点Q连接EO B0因为EA= ED所以EQL AD因为平面ADEL平面ABCD所以EOL平面ABCD EOLB0因为AD= AB/DAB=60 , 所以ADE为等边三角形.由题意，得A(2,0,0),B(0,23 , 0), Q 4,23 , 0),D 2,0,0) ,E(0,0,23),如图建立空间直角坐标系Oxyz.OB 0E为x轴、y轴、z轴,15F( - 1,. 3, 2 3)

16、 CF=(3，3,2 3),韜(2,0,23),BE (0， 2 3, 2 3).设平面BDE的法向量为n= (x,y,z).(3)设G是CF上一点，且CG=入CF,入 0,1.因此点 Q3 入一 4，- 3 入 +2 3, 2；3 入).T_BG=(3 入4，3 入，2 ;3 入).-4由BG- DE=0，解得入=聶,CG 4所以在棱CF上存在点G使得BGL DE此时CF= 9._ _ 乓 _规律方法利用空间向量解决探索性问题的方法1 根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，并用向量表示出T来，然后再加以证明，得出结论2 假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根

17、据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程 组 求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在跟踪训练如图 7-7-7，在长方体ABCDABGD中，AA=AD=1,E为CD中点.nBE=0,则n DE=0,yz= 0,即，厂/+y3z= 0.令z= 1,贝 Uy= 1,x=3.所以 n = ( ；3, 1,1).设直线CF与平面BDE所成角为a,sina =|COSCF, n |所以直线CF与平面BDE所成角的正弦值为10而.由O16(1)求证：BE丄AD;17(2)在棱AA上是否存在一点P,使得DP/平面BiA日若存在，求AP的长；若不存 在，说明理由【导学号：79140250】的空间直角坐标系.设AB= a.I因为BEAD= 2 0+ 1X1+ ( 1)x1= 0,因此BEL AD,所以BELAD.(2)存在满足要求的点P,假设在棱AA上存在一点P(0,0 ,zo),使得DP/平面BAE此时DF= (0， 1,Z0),再设平面BAE的一个法向