2019高考数学-三角函数大题综合训练

1、2017三角函数大题综合训练一.解答题(共 30 小题)1.(2016?白山一模)在厶 ABC 中，角 A ,B,C 所对的边分别为 a, b,c，已知二=ccosC(1)求角 C 的大小，(2)若 c=2,求使 ABC 面积最大时 a，b 的值.2.( 2016?广州模拟)在ABC 中，角 A、B、C 对应的边分别是 a、b、c,已知23cosBcosC+2=3si nBsi nC+2cos A.(I)求角 A 的大小；(H) 若厶ABC 的面积 S=5 二，b=5，求 sinBsinC 的值.3.( 2016?成都模拟)已知函数 f (x) cos2x - - sinxcosx -丄 si

2、n2x.424求函数 f (x)取得最大值时 x 的集合；(H)设 A、B、C 为锐角三角形 ABC 的三个内角，若 cosB= ； , f (C) = -，求 sinA 的54值.4.(2016?台州模拟)已知 a, b, c 分别是ABC 的三个内角 A , B , C 所对的边，且 c =a +b-ab.(1) 求角 C 的值；(2) 若 b=2, ABC 的面积5.( 2016?惠州模拟)如图所示，在四边形 ABCD 中，/ D=2 / B，且 AD=1 , CD=3 , cosB=:求ACD 的面积；(H)若 BC=2 二，求 AB 的长.求 a 的值.6. （ 2015?山东）AB

3、C 中，角 A , B, C 所对的边分别为a, b, c,已知 cosB 二 =,ac=2?舄求 si nA 和 c 的值.sin (A+B )27. ( 2015?新课标 I)已知 a, b, c 分别是 ABC 内角 A , B , C 的对边，sin B=2sinAsinC .(I)若 a=b,求 cosB;(H)设 B=90。且 aA2，求 ABC 的面积.& ( 2015?湖南)设厶 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, a=btanA .(I)证明： sinB=cosA ;(H)若 si nC- sin AcosB =丄，且 B 为钝角，求 A

4、, B , C.49.(2015?新课标 II) ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分/ BAC , ABD 面积是 ADC 面积 的 2 倍.(I)求竺 ；sinZ_C(2 )若 AD=1 , DC= ，求 BD 和 AC 的长.210. (2015?湖南)设ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, a=btanA，且 B 为钝角.证明：B - A=;2(H) 求 sinA+sinC 的取值范围 .11. (2015?四川)已知 A、B、C ABC (p ?R)的内角，tanA, tanB 是关于方程 x2+_；px-p+ 仁 0两个实根 .求 C 的大小(H)若 AB

5、=3 , AC=，求 p 的值.12. ( 2015?河西区二模)设厶 ABC 的内角 A, B, C 的内角对边分别为 a, b, c,满足(a+b+c)(a- b+c) =ac.求 B.(H)若 sinAsinC=，求 C.413. ( 2015?浙江)在ABC 中，内角 A ,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=4,2 2-a= c .(1 )求 tanC 的值；(2)若厶 ABC 的面积为 3，求 b 的值.14. ( 2015?陕西)AABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a, b, c.向量=(a, b)与=(cosA , sinB)平行.求 A；(H) 若 a=

6、匚，b=2,求厶 ABC 的面积.15.(2015?江苏)在厶ABC中，已知 AB=2 , AC=3 , A=60 (1 )求 BC 的长；(2 )求 sin2C 的值.16. (2015?天津)在厶 ABC 中，内角 A , B, C 所对的边分别为 a, b, c,已知 ABC 的面积为 3 口，b- c=2, cosA=-4(I) 求 a 和 sinC 的值；(H)求 cos (2A+ 一)的值.617. (2015?怀化一模)已知 a, b, c 分别为 ABC 三个内角 A , B, C 的对边，c=asinC -ccosA.(I)求角 A ;(2)若 a=2, ABC 的面积为 二

7、，求 b, c.18. (2015?甘肃一模)在ABC 中，角 A , B, C 的对边分别为 a, b, c,且 bcosC=3acosB - ccosB .(1)求 cosB 的值；(H)若？八，且求 a 和 c 的值.19. ( 2015? 衡水四模 )在厶 ABC 中，角 A ,B ,C 所对的边分别为 a, b, c, 函数 f( x) =2cosxsinCTT(x - A) +sinA (x ?R )在 x= 处取得最大值 .12(1 )当-:时，求函数 f (x)的值域；2(2)若 a=7 且 sinB+sinC=亠一，求厶 ABC 的面积.1420. (2015?潍坊模拟 )已

8、知函数 f (x) =2cos2x+2 】sinxcosx (x?R).(I)当 x?0 ,时，求函数 f (x)的单调递增区间；2(H)设厶 ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a, b, c,且 c=3, f (C) =2，若向量 =(1, sinA)与向量 i.= (2, sinB)共线，求 a, b 的值.21.(2015?济南二模)已知向量 宜=(cos (2x - ), cosx+sinx ),片=(1, cosx- sinx),3函数 f (x) = . . ?.求函数 f (x)的单调递增区间；()在厶 ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c

9、,已知 f (A) = ; , a=2, B=_,23求厶 ABC 的面积 S.22.(2015?和平区校级三模)在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c,且 a=3,JTb=4 , B= +A .2(1 )求 cosB 的值；(2 )求 sin2A+sinC 的值.(1)求角 A ;若 a=二求 bc 的取值范围24. ( 2015?河北区一模)在ABC 中，a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsi nC求 B 的大小；25( 2015?云南一模)在厶 ABC 中，a,b ,c 分别是内角 A ,B ,C 的对边，且=(s

10、inA+sinB+sinC sin C), n= (si nB ,si nB+s inC - si nA),若IT“ m(1 )求 A 的大小；(2)设-为八 ABC 的面积，求.,I 的最大值及此时 B 的值.23. ( 2015?洛阳三模)在锐角ABC 中,谀-J - F 8S( A+C)acsin AcosA(n)若.二，求 ABC 的面积.26. ( 2015?历下区校级四模)已知向量-COST,1),f (x)二mn求函数 f (x)的最小正周期;(n)已知 ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 a=3,.(A 为锐角)，2sinC=sinB，求 A、c、b 的

11、值.27. ( 2015?高安市校级模拟)在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 sin(A+ 一) +2cos ( B+C) =0,6(1 )求 A 的大小；(2 )若 a=6，求 b+c 的取值范围28. ( 2015?威海一模) ABC 中，A , B , C 所对的边分别为a, b, c,c cosCsin ( B - A) =cosC .求 A , B, C;(n)若 SAABC=3+；，求 a, c.29. ( 2015?新津县校级模拟)已知向量.1、m、.1_ -y .:. / _:y函数f (x) =:./求函数 f (x)的单调递增区间；()在厶 AB

12、C 中，角 A , B, C 的对边分别为 a, b, c,若 f( B) =1 , b= 匸, si nA=3si nC ,求厶 ABC 的面积.耳130. ( 2015?和平区二模)在ABC 中，角 A, B, C 为三个内角，已知 cosA= , cosB=,75BC=5 .求 AC 的长；(n)设 D 为 AB 的中点，求 CD 的长.三角函数大题综合训练参考答案与试题解析一.解答题(共 30 小题)1.(2016?白山一模)在厶 ABC 中，角 A ,B,C 所对的边分别为 a, b,c,已知二1= _c cosC(1)求角 C 的大小，(2)若 c=2,求使 ABC 面积最大时 a

13、, b 的值.【考点】正弦定理；余弦定理.【专题】解三角形.【分析】(1)已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA 不为 0 求出 cosC 的值，即可确定出 C的度数；(2)利用余弦定理列出关系式，将 c 与 cosC 的值代入并利用基本不等式求出ab 的最大值，进而确定出三角形 ABC 面积的最大值，以及此时a 与 b 的值即可.【解答】 解：(1)v A+C= n- B,即卩 cos (A+C ) =-cosB ,?由正弦定理化简已知等式得:sinC cosC整理得:2sin AcosC+s in BcosC=

14、- sinCcosB，即一 2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA , / si nA 旳，? cosC=-2?/C为三角形内角，? C=厂；(n) c=2, cosC= ,2c =a +b - 2abcosC ,即 4=a+b +ab八2ab+ab=3ab ,a=b 时成立)，亠 2 2 2 2 2?由余弦定理得：4? ab 0,si nA si nB si nC k代入可得（bk）2=2ak?ck ,二 b2=2ac,a=b , ? a=2c,丨 2 二 2 一2a由余弦定理可得:cosB=-bn4一2aX-Aa 4（II ）由（I）可得:b2=

15、2ac,启=90 且 a=:,二 a2+c2=2ac,解得 a=c=.? ABC =匚讦1【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、 与计算能力，属于中档题.&（2015?湖南）设ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, a=btanA .（I）证明：sinB=cosA ;写（H）若 si nC- si nAcosB=，且 B 为钝角，求 A , B , C.4【考点】正弦定理.【专题】解三角形.【分析】（I）由正弦定理及已知可得二A=，由 sinA 和，即可证明 sinB=cosAsi nB cosA（H）由两角和的正弦函数公式化简已知可得si nC - sin Ac

16、osB=cosAs in B=丄，由（1）勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力423sinB=cosA，可得 sin B=,结合范围可求 B,由 sinB=cosA 及 A 的范围可求 A，由三角形内角和定理可求 C.【解答】 解：（I）证明：T a=btanA .?二=ta nA ,?由正弦定理：-又tanA=c b sinB cosAsinB cosA / si nA旳，? sinB=cosA .得证.(n)v sinC=sin n( A+B ) =sin (A+B ) =sinAcosB+cosAsinB ,o? sinC sinAcosB=cosAsinB=，由(1) sinB

17、=cosA ,4? si n2B=B :, /0 V B V n,sinB=vi2TB 为钝角，? B=27T又？osA=s inB=iri?A=TT? - C= n A B=综上，A=C= ,B：【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题.9.(2015?新课标 II) ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分/ BAC , ABD 面积是 ADC 面积 的 2 倍.(1 )求一一；(2 )若 AD=1 , DC=,求 BD 和 AC 的长.2【考点】正弦定理；三角形中的几何计算.【专题】解三角形.【分析】如图，过 A 作 AE 丄 BC 于

18、 E,由已知及面积公式可得BD=2DC，由 AD 平分/ BAC 及正弦定理可得 sin / B=、 , si n /C=- ，从而得解BDDCsin-ZC（2）由（1）可求 BD=匚.过 D 作 DM 丄 AB 于 M，作 DN 丄 AC 于 N,由 AD 平分/ BAC ,可求 AB=2AC，令AC=x，贝 U AB=2x，利用余弦定理即可解得 BD 和 AC 的长.【解答】解：（1）如图，过 A 作 AE 丄 BC 于 E,cABDXAEm - i:= =2ADCXAE? BD=2DC ,?/AD 平分 / BAC? /BAD= /DAC在厶 ABD 中，门=,? sin/ R=Msi

19、nZBAD si nZBBD在厶ADC 中，=, ? sin/ C=-二 - 二sin ZDAC sinZCDC?二一 :TJ . ? 分sinZC E? D 2(2 )由(1)知，BD=2DC=2 X 二匚2过 D 作 DM 丄 AB 于 M，作 DN 丄 AC 于 N , ?/ AD 平分/BAC ,? DM=DN ,u -7ABXDM? AB=2AC令 AC=x，贝 U AB=2x , ?/ BAD=/ DAC ,cos/ BAD=cos / DACx=1? AC=1 ,? BD 的长为二 AC 的长为 1 .凭2SAA訣CX?由余弦定理可得：【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定

20、理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考10.(2015?湖南)设ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, a=btanA，且 B 为钝 角.(I) 证明： B - A=;2(n)求 sinA+sinC 的取值范围.【考点】正弦定理 .【专题】解三角形 .【分析】(I)由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得;(n)由题意可得 A ?(0,),可得 0v sinAv PA,化简可得 sinA+sinC= - 2 (sinA -丄)422+:：由二次函数区间的最值可得 .8【解答】 解： (I) 由 a=bta nA 和正弦定理可得 二丄 =二-,cosA

21、 b sinB? sinB=cosA ，即 sinB=sin +A)2又 B 为钝角， ? +A ? (, n),2 2.mJTA.m AJT-B= +A，B A=;2 2(n)由(I)知 C= n-( A+B )=n-(A+ 一 +A )= - 2A 0,2 2? A ? ( 0, ), ?(- 2A)2sinA+sinC=sinA+sin2=sinA+cos2A=s4inA+1 - 2sin A2 J+=-2 (si nA -)+:,4?/ A ? ( 0, _ ),?0v si nA v i,42?由二次函数可知v- 2 (si nA -)2 4? sinA+sinC 的取值范围为 (

22、一二， 2 8【点评】 本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题11.(2015?四川)已知 A、 B、 C ABC 的内角， tanA , tanB 是关于方程 x2+ 0(p ?R) 两个实根 .求 C 的大小(n)若 AB=3 , AC=二，求 p 的值.【考点】正弦定理的应用;两角和与差的正切函数【专题】函数的性质及应用;解三角形 . px - p+仁AB解得 B=45 或 B=135是，A=180。-B - C=7512. (2015?河西区二模)设厶 ABC 的内角 A , B, C 的内角对边分别为 a, b, c,满足(a+b+c) (a- b+c

23、) =ac.求 B.1(n)若 sinAsinC=-，求 C.4【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数.【专题】解三角形.【分析】(I)已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB,将关系式代入求出 cosB 的值，由 B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函 数值即可求出 B 的 度数；的范围即可求 C 的值.B=-三-=丄，解得 B, A，由两角 和的正切函数公式可求(n)由正弦定理可求AB 2所以 pw- 2，或 p .【分析】(I)由判别式=3p2+4p - 4 为，可得pw- 2 ,或 p 由韦达定理，有 tan A+ta nB=3-；p, ta

24、nAtanB=1 - p,由两角和的正切函数公式可求sin tanC= - tan (A+B)= 一；，结合 C(tanA+tanB )的值.p=-tanA=tan75 从而可求【解答】解：(I)由已知，方程2=3p +4p 4 为，3由韦达定理，有 tan A+ta nB=和，x2+ 二 px - p+ 仁 0 的判别=(二 p)2- 4 (- p+1) 式:p，tan Ata nB=1p.所以，1 - tan Ata nB=1 -( 1 - p) =p从而 tan (A+B )所以所以1tanC= - tan (A+BC=60 I III=-二=-7.tanAtanBp(n)由正弦定理，可

25、得sinB=:(舍去)o则 tanA=tan75 an (45+301一tan45Qtan30所以(tanA+tanB )1(2+ p )V诱导公式、正弦定理等基础知识1-A/3【点评】本题主要考查了和角公式、查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题,考考查了运算求解能力，(II )由(I)得到 A+C 的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos (A - C),变形后将 cos (A+C )及 2sinAsinC 的值代入求出 cos (A - C)的值，禾 U 用特殊角的三角函数值求出 A - C的值，与 A+C 的值联立即可求出 C 的度数.2 2【解答】 解：(1)

26、: ( a+b+c) ( a-b+c) = ( a+c) - b =ac ,.22.2-a +c - b = - ac,2ac又 B 为三角形的内角则 B=120 /? cosB=a2+c(II)由(I)得：A+C=60 ?/ sinAsinC=/? cos (A - C) =cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC_-, cos (A+C) =1,42-sinAsinC+2sinAsinC=cos(A+C)+2s in Asi nC= +22? A- C=30 或 A - C=- 30 则 C=15。或 C=45 【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式练掌握余弦定理

27、是解本题的关键.以及特殊角的三角函数值，熟13. ( 2015?浙江)在厶 ABC 中，内角 A ,B , C 所对的边分别为a, b, c,已知 A=b2422- a = c .2(1 )求 tanC 的值；(2)若厶 ABC 的面积为 3,【考点】余弦定理.【专题】解三角形.求 b 的值.【分析】(1)由余弦定理可得/二畑“：亍已知b- a2= c2.可得aA；.利用余弦定理可得(2)由cosC.可得一_-，即可得出tanC= 1cosC:=丄*AA 广：；一 匚 X . _=3，可得 c,即可得出b.T C ? ( 0, n),【解答】解：(1) T A=由余弦定理可得：A 二b42-c

28、 ,又 b2- a2= c2.衫 Re- c2= c2.b= c.可得卜，-?-,2224?a2 2一12=52 即a_b一-一，即a_)? cosC= Z Z52丄9 22Q Tc C L,?2-a2广 bc4_52ab2 吟 M 攀飞? sin C= |讨丄co s C 5tan CA 1- =2 .cosC(2)j旺一阳丄，一匚-一33.【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 .14.(2015?陕西)AABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a, b, c.向量，=(a, b)与i= (cosA ,

29、 sinB)平行.求A;(H)若 a=匚，b=2，求 ABC 的面积.【考点】 余弦定理的应用；平面向量共线(平行)的坐标表示.【专题】解三角形.【分析】(I)利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A ;(H)利用 A,以及 a=匚，b=2，通过余弦定理求出 c,然后求解ABC 的面积.【解答】解：因为向量-=(a,：b)与i= (cosA, sinB)平行，所以 asinB -L;.=0，由正弦定理可知：sinAsinB - 5sinBcosA=0，因为 sinBMD ,所以 tanA= ；，可得 A= 一 ;3(H) a=:，b=2，由余弦定理可得：=+-2bccosA，可得 7=4+

30、c2- 2c,解得 c=3, ABC 的面积为：二：:节二 J.=-【点评】 本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力15.(2015?江苏)在厶ABC 中，已知 AB=2 , AC=3 , A=60 (1 )求 BC 的长；(2 )求 sin2C 的值.【考点】 余弦定理的应用；二倍角的正弦.?(2)?Tx7=3【专题】解三角形.【分析】(1)直接利用余弦定理求解即可.(2)利用正弦定理求出 C 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可.22 2 I【解答】解：(1)由余弦定理可得:BC =AB +AC - 2AB ?ACcosA=4+9 - 2 X2 X3X =

31、7,所以 BC=.(2)由正弦定理可得：一心? ABv BC,. C 为锐角,因此匕【点评】本题考查余弦定理的应用，的关键.正弦定理的应用，二倍角的三角函数，解题 注意角的范围的16.(2015?天津)在厶 ABC 中，内角 A , B, C 所对的边分别为 a, b, c,已知 ABC 的面 积为 3H, b- c=2 , cosA=-丄4求 a 和 sinC 的值；(n)求 cos ( 2A+ )的值.6【考点】 余弦定理的应用；正弦定理的应用.【专题】解三角形.【分析】(I)通过三角形的面积以及已知条件求出b, c,利用正弦定理求解 sinC 的值；(H)禾【J 用两角和的余弦函数化简c

32、os (2A+1),然后直接求解即可.6【解答】解：在三角形 ABC 中，由 cosA=-,可得 sinA=八， ABC 的面积为 3 =,44可得：J 厂-二2 2 2可得 bc=24，又b - c=2 ,解得b=6, c=4，由 a =b +c -2bccosA，可得 a=8,“ ，解得 sinC=15sinA si nC8JTJT(n) cos (2A+-)=cos2Acos66sin 2Asi n = 一1一圧:I I16D ZZ余弦定理的应用，考查计算能【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式， 力.17.(2015?怀化一模)已知 a, b, c 分别为 ABC 三个内

33、角 A , B, C 的对边，c= ;asinC -ccosA .(1) 求角 A ;_(2)若 a=2, ABC 的面积为二，求 b, c.【考点】正弦定理；余弦定理的应用 .cosC 【专题】计算题.【分析】(1)把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC 不为 0，得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A 的度数即可；(2 )由 A 的度数求出 sinA 和 cosA 的值，由三角形 ABC 的面积，利用面积公式及si nA 的值，求出 bc 的值，记作 ；由 a 与 cosA 的值，禾 U 用余弦定理列出关系式，禾 U 用完全平方

34、 公式 变形后，把 bc 的值代入求出 b+c 的值，记作，联立 即可求出 b 与 c 的值.【解答】 解：(1)由正弦定理：=：=化简已知的等式得：sinC=、/八sinAsinC -sinA sinB sinCsinCcosA ,?Q 为三角形的内角，？?？sinC 用，；二 sinA - cosA=1 ,TTTT1整理得： 2sin (A - 一) =1,即卩 sin (A - 一)=,662? A -_=二或 A -_=竺！6 6 6 6解得： A= 或 A= n (舍去)，3则 A=;3(2 )v a=2 , sinA= = , cosA= , ABC 的面积为二，2 2? 亠 bc

35、sinA= bc=*J :，即卩 bc=4 ；2 42 2 2 2 2 2 2?由余弦定理 a =b +c- 2bccosA 得：4=b +c- bc= (b+c) - 3bc= (b+c) -12,整理得：b+c=4， 联立解得： b=c=2 .【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键 .18.(2015?甘肃一模)在 ABC 中，角 A , B, C 的对边分别为 a, b, c,且 bcosC=3acosB -ccosB.(1) 求 cosB 的值；(n)若，且 I = : ，求 a 和 c 的值.【考点】正弦定

36、理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理 .【专题】计算题；转化思想 .【分析】 (1)首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3 2RsinAcosB - 2RsinCcosB ,然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可 .(2)由向量数量积的定义可得accosB=2 ,结合已知及余弦定理可得a2+b2=12，再根据完全平方式易得 a=c=:.【解答】解：(I)由正弦定理得 a=2RsinA , b=2RsinB , c=2RsinC ,则 2RsinBcosC=6RsinAcosB - 2RsinCcosB ,故 sinBcosC=3sinAcosB

37、- sinCcosB ,可得 sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB ,即 sin (B+C) =3sinAcosB ,可得 si nA=3si nAcosB .又 si nA 和, 因此（6分）(II )解：由山 二一二 可得 accosB=2 ,222 cm由 b =a +c - 2accosB ,2 2可得 a +c =12 ,2所以(a- c) =0，即卩 a=c,所以=、：？ .( 13 分)【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力.19. ( 2015?衡水四模)在厶 ABC 中，角 A ,

38、B ,C 所对的边分别为 a, b, c,函数 f( x) =2cosxsin (x - A)+sinA (x ?R )在 x=_处取得最大值.12(1 )当-:时，求函数 f(X)的值域；(2 )若 a=7 且 sinB+sinC=丁，求 ABC 的面积.14【考点】 正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域【专题】解三角形.【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的解析式为 sin (2x - A)，由于函数在，I处取得最大值?令，其中 k 氐，解得 A 的值，12 2(1)由于 A 为三角形内角，可得 A 的值，再由 x 的范围可得函数的值域；(2)由正弦定理求得 b

39、+c=13，再由余弦定理求得 bc 的值，由厶 ABC 的面积等于;,2算出即可.【解答】 解：T函数 f (x) =2cosxsin (x - A) +sinA=2cosxsinxcosA - 2cosxcosxsinA+sinA=sin2xcosA - cos2xsinA=sin (2x - A)只兀又T?函数 f (x) =2cosxsin (x - A) +sinA (x?R)在，处取得最大值.12丄 J. I，其中 kAz,12 2即一厶，其中 k?z,(1 )?.?A ? (0, n) ,? A=TSinB+sinC=sinA ,si nA sin B+s inC即 I r 川?:

40、丄丄,?b+c=1314-722 2 2 2由余弦定理得到 a =b +c - 2bccosA= (b+c)即 49=169 - 3bc,?bc=40故0ABC 的面积为：S= j【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正、余弦定理的应用，正弦函数的值域，属于中档题.20.(2015?潍坊模拟)已知函数 f (x) =2cos2x+2 气匕 sinxcosx (x?R).当 x?0,1时，求函数 f (x)的单调递增区间；2(H)设厶 ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a, b, c,且 c=3, f (C) =2，若向量=(1, sinA)与向量 i= (2, sinB)共线，

41、求 a, b 的值.【考点】正弦定理；平面向量共线(平行)的坐标表示；平面向量数量积的运算.【专题】解三角形.【分析】(I)利用三角函数的恒等变换化简f (X)的解析式为：；L. ?【令6,： vi 一 - . , k 氐，求得 X 的范围，结合？ _,可得 f (x)的递增区间.(n)由 f (C) =2,求得结合 C 的范围求得 C 的值.根据向量=(1,6 22 2sinA)与向量 i= (2, sinB)共线，可得.，故有=，再由余弦定理得 9=a +bsinB 2 b 2-ab，由求得 a、b 的值.【解答】解:(I)rIJ二：一：八？U ：=.:!.丄令 :解得 I.? ,: I

42、| -,即：1| ,?一！1 ?,?f (x)的递增区间为.乙6(n)由 _ |一二-T 1 -，得=.I6 6 21(2 )由正弦定理得到-丄，贝 y-2bc - 2bccosA即函数 f (x)的值域为:由正弦定理得：八丄.b 22 2 2 2 2由余弦定理得：c=a+b - 2ab?cosC ,即 9=a +b - ab ，由、解得-；L-2.【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的增区间，正弦定理、余弦定理的应用，两个向量共线的性质，属于中档题.21. ( 2015?济南二模)已知向量 = ( cos (2x - 一),cosx+sinx ),函数 f (x) = . . ?

43、.求函数 f (x)的单调递增区间；()在厶 ABC 中，内角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c,已知 f (A)求厶 ABC 的面积 S.【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用【专题】 三角函数的图像与性质.【分析】(I)由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f (x)解析式，利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调性即可确定出函数f (x)的单调递增区间；由第一问确定出的f (X)解析式，根据 f(A)=丄-确定出 A 的度数，再由 a, sinB2的值，利用正弦定理求

44、出 b 的值，同时利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式求出而 C ?( 0,n), ?兀碍？(卡，罟6 6 6T向量向量 y= (1, sinA)与向量-,=(2, sinB)共线,?-， 可得sinA丄sinB 2=(1, cosx- sinx),广,a=2, B=2si nC的值，利用三角形面积公式即可求出S.【解答】解：(I):向量.=(cos(2x - -), cosx+sinx ),3=(1, cosx - sinx),?函 数f (x) = ?|? =cos (2x -2+cos x/ TT、2sin x=cos (2x -+cos2x=cos2x+A s in 2x+cos2x

45、=+cos2x=cos2x+ Aos2xx+cos2x2令-+2k n=2x+21 +2k n (k?Z),32AAcos2xAsin2x= !:?sin ( 2x+ ：2得-+k n叫兀127T则函数 f (x)的单调递增区间为-.+k n,，+k n (k);(n)由 f (A) = si n (2A+ )=丁，得 sin (2A+ )=二, J E J ? A ABC 的内角，由题意知 OvAv,32A+=r，36解得：A=,4又 a=2, B=,3.由正弦定理=八，得 b=7,sinA si nBsinAA= B=43.sinC=sin n( A+B ) =sin (A+B ) =sn

46、AcosB+cosAsinB 八x- +_2=2 2 224则厶 ABC 的面积 S= absinC=X x 7 八 L=_2242【点评】此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的单调性，以及三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.22. ( 2015?和平区校级三模)在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c,且 a=3 . , JTb=4,B= /A .求 cosB 的值;(2 )求 sin2A+sinC 的值.【考点】正弦定理；余弦定理.【专题】 计算题；三角函数的求值；解三角形 .【分析】(1)运用正弦定理和诱导公式、以及同角公式，即可得到cos

47、B;由二倍角的正弦和余弦公式，以及诱导公式，化简计算即可得到【解答】解(1) : ,2JT.cosB=cos (-+A) = sinA ,2又 a=3, b=4,所以由正弦定理得所以-3sinB=4cosB， 两边平方得2 2所以3= 4CDSBsinB3.4sinA sinB2 29sin B=16cos B又 sin B+cos B=1,Qjr所以而丄一所以.u3F.2A=2B - n,sin 2A=s in (2B - n) = - sin2B_L.1一55H25又A+B+C=n,3兀n_. JC z-22 ? si nC=-eos2B=1 - -2eosB=25?v詁【点评】本题考查正

48、弦定理和运用，考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和诱导公式，以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题.b2- a2-e2cos(A+C)aesin AcosA(1)求角 A ;若 a= :,求 be 的取值范围.【考点】正弦定理；余弦定理.【专题】 计算题；三角函数的求值；解三角形2 2 2b =2aeeosB，代入已知整理可得sin2A=1，从而可求 A 的（2）由（1 ）及正弦定理可得 be= 丄-二 史-.，根据已知求得角的范围，即可求得 be 的取值范围.【解答】解：（1）由余弦定理可得：a2+e2- b2=2aeeosB ,-2aeeosB eg(冗-E)aesin Aeo

49、sAsi n2A=123. （ 2015?洛阳三模）在锐角 ABC 中,【分析】（1）由余弦定理可得：a +e0 C90bG0二2si nB si nC si nA? b=2sinB , e=2sinC ,be=2sin (135。-C)?2sinC= “；山上1452C-45 135从sin(2e-Q5)1,rB4O135eQ今45* C2sinB2sinC x =;J;sinBsinC ,2 2 2? S+ ;.； cosBcosC= #.:sinBsinC+ #.:cosBcosC=：cos (B - C),?当B=C 时，即B=C=工时，S+二 cosBcosC 取最大值 7.6【点评

50、】本题考查正弦定理与余弦定理的综合应用，考查平面共线向量的坐标运算及两角差的余弦，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题1 J26.( 2015?历下区校级四模)已知向量1)门二*三右二“.II.求函数 f ( x)的最小正周期；(n) 已知 ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 a=3,i_.(A 为锐角)，2sinC=sinB，求 A、c、b 的值.【考点】 正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理【专题】计算题；解三角形.【分析】(I)禾 U 用两角和差的正弦公式化简函数f (x)的解析式为 sin (2x -芈)，由此求6得函数 f ( x)

51、的最小正周期.(n)已知 ABC 中 由(A 为锐角)，求得 sinA=,可得 A=-.由乙EC*正弦定理可得 b=2c，根据 a=3，再由余弦定理求出c、b 的值.),故函数 f (x)的最小正周期为n6 /a=3,再由余弦定理可得9=b2+c2- 2bc?cos1解得 b=2:, c=:.【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.27. ( 2015?高安市校级模拟)在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 sin(A+ ) +2cos ( B+C ) =0,6(1 )求 A 的大小；(2 )若 a=6，求 b

52、+c 的取值范围.【考点】 正弦定理；三角函数的化简求值；两角和与差的正弦函数【专题】解三角形.【分析】(1)利用两角和公式和诱导公式对原等式整理可求得tanA 的值，进而取得 A .(2)根据正弦定理表示出b 和 c,求得 b+c 的表达式，化简整理，根据正弦函数的性质求得其最大值，结合两边之和大于第三边求得范围.【解答】 解：(1)由条件结合诱导公式得，sinAcos- +cosAsin- =2cosA ,整理得 sinA=、J.;cosA, /cosA 电?tanA=;,(2 )由正弦定理得:-sinB sinC .口sirrvA:匚： - ，?:二 : : 匚丄，-1+：=43 (si

53、nB+sinC) =4/3sinB+sin (- B)1 3:一:上一- -I=:可门 2【解答】-= ； sinxcosx - cos x+ ?-二=sin (2x -(H)已知 ABC 中I _ 2八2 /2sinC=sinB , ?由正弦定理可得b=2c,(A 为锐角)，？?？2sin A=,AA=?/ 0 V A V n,?612sin(B+ 旦)12,即6vb+c12 (当且仅当 B=A时，等号成立)【点评】本题主要考查了正弦定理的运用，两角和公式的运用.考查了学生综合运用知识的能力和一定的运算能力.28. ( 2015?威海一模) ABC 中，A , B , C 所对的边分别为sin ( B - A) =cosC .求A , B, C;(n)若 SAABC=3+f=，求 a, c.【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数.【专题】解三角形.a, b, c,a+b cosA+8sBccosC【分析】(i)直接利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式