中考二次函数与几何图形动点问题--答案分解

1、1二次函数与几何图形模式 1:平行四边形分类标准：讨论对角线例如：请在抛物线上找一点p 使得A、B、C、P四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况（1）当边AB是对角线时，那么有AP/BC（2）当边AC是对角线时，那么有AB/CP（3）当边BC是对角线时，那么有AC / BP1、本题满分 14 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0, -4），C（2，0）三点.（1）求抛物线的解析式；若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为 m, AMB 的面积为 S.求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S的最大值；（3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=

2、 x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q B 0 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标222、如图 1，抛物线y - -X 2x 3与 x 轴相交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴相交于点 C,顶点为D.(1) 直接写出 A、B、C 三点的坐标和抛物线的对称轴;E,点 P 为线段 BC 上的一个动点，过点P 作 PF/DE 交抛物线于点 F，设点 P 的横坐标为 m.1用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 PEDF 为平行四边形?2设 BCF 的面积为 S,求 S 与 m 的函数关系.(2)连结 BC,与抛物线的对称轴

3、交于点模式 2 :梯形例如：请在抛物线上找一点p 使得A、B、C、P四点构成梯形，则可分成以下几种情况3分类标准：讨论上下底（1）当边AB是底时，那么有AB/PC（2）当边AC是底时，那么有AC / BP（3）当边BC是底时，那么有BC / AP3、已知，矩形 OABC 在平面直角坐标系中位置如图1 所示，点 A 的坐标为（4,0），点 C 的坐标为（0, - 2），直线2y x与边 BC 相交于点 D.3（1）求点 D 的坐标；抛物线y = ax2- bx c经过点 A、D、o,求此抛物线的表达式；（3）在这个抛物线上是否存在点M，使 0、D、A、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有

4、符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.4、已知二次函数的图象经过A (2, 0)、C(0, 12)两点，且对称轴为直线x= 4，设顶点为点 P,与 x 轴的另一交点4(1) 求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标；(2)如图 1，在直线 y= 2x 上是否存在点 D，使四边形 OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在, 请说明理由；(O、P 两点除外)，以每秒.2 个单位长度的速度由点 P 向点 O 运动,(3)如图 2,点 M 是线段 OP 上的一个动点过点 M 作直线MN/X 轴，交 PB 于点 N.将厶 PMN 沿直线 MN 对折，得到 PiMN.在动点 M 的运动

5、过程中，设 PiMN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为S,运动时间为 t 秒，求 S 关于 t 的函数关系式.模式 3:直角三角形例如：请在抛物线上找一点 p 使得A、B、P三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况5分类标准： 讨论直角的位置或者斜边的位置(1)当.A 为直角时，AC _ AB(2) 当 ZB 为直角时，BC _ BA(3)当.C 为直角时，CA _CB5、如图1，已知抛物线y= X2+ bx+ c 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 左侧)，与 y 轴交于点 C(0, - 3)，对称轴是直线 x= 1，直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 D .(1)求抛物线的

6、函数表达式；(2)求直线 BC 的函数表达式；(3)点 E 为 y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交 CE 于点 F，交抛物线于 P、Q 两点，且点 P 在第三象限.1当线段 PQ =3AB 时，求 tan/ CED 的值；42当以 C、D、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标.466:如图 1,直线y x 4和 x 轴、y 轴的交点分别为 B、C,点 A 的坐标是(-2, 0)3(1) 试说明 ABC 是等腰三角形；(2)动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动，运动的速度均为每秒1 个单位长度当其中一个动点

7、到达终点时，他们都停止运动设M 运动 t 秒时， MON 的面积为 S.1求 S 与 t 的函数关系式；2设点 M 在线段 0B 上运动时，是否存在 S= 4 的情形？若存在，求出对应的 t 值；若不存在请说明理由；3在运动过程中，当 MON 为直角三角形时，求 t 的值.模式 4:等腰三角形例如：请在抛物线上找一点p 使得A、B、P三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况7分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置（1）当.A为顶角时，AC =AB（2）当.B为顶角时，BC二BA（3）当.C为顶角时，CA二CB7:已知：如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 在 y

8、轴的正半轴上，0C 在 x 轴的正半轴上，0A =2,0C = 3，过原点 0 作/ AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 DC ,过点 D 作 DE 丄 DC ,交 0A 于点 E.（1）求过点 E、D、C 的抛物线的解析式；（2） 将/ EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点 F，另一边与线段 0C 交于点 G.如果6DF 与（1）中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐标为一，那么 EF = 2G0 是否成立？若成立，请给予证明；若不成5立，请说明理由；（3） 对于（2）中的点 G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线 GQ 与 AB 的交

9、点 P 与点 C、G构成的 PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由.88 已知抛物线 y = ax2+ bx+ c(a0)经过点 B(12, 0)和 C( 0, - 6)，对称轴为 x= 2.(1) 求该抛物线的解析式.(2) 点 D 在线段 AB 上且 AD = AC,若动点 P 从 A 出发沿线段 AB 以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动 点 Q 以某一速度从 C 出发沿线段 CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段 PQ 被直线 CD 垂直平分？若存在，请 求出此时的时间 t(秒)和点 Q 的运动速度；若存在，请说明理由.(3) 在(

10、2)的结论下，直线 x= 1 上是否存在点 M，使 MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由.y |x模式 5:相似三角形9突破口：寻找比例关系以及特殊角9、在梯形 ABCD 中, AD/ BC, BAL AC, / B = 45, AD = 2 , BC = 6，以 BC 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直 角坐标系，点 A 在 y 轴上。(1)求过 A D C 三点的抛物线的解析式。(2)求厶 ADC 的外接圆的圆心 M 的坐标，并求OM 的半径。(3)E 为抛物线对称轴上一点，F 为 y 轴上一点，求当 ED+ EC+ FD+ FC 最小时，EF

11、的长。(4)设 Q 为射线 CB 上任意一点，点 P 为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q,使得以 P、 QC 为顶点的与 ADC 相似？若存在，直接写出点 P、Q 的坐标，若不存在，则说明理由。y10模拟题汇编之动点折叠问题1.(本题 12 分)已知二次函数y = x2 bx C与x轴交于 A (- 1, 0)、B (1 , 0)两点(1) 求这个二次函数的关系式；(2)若有一半径为r的OP,且圆心 P 在抛物线上运动，当OP 与两坐标轴都相切时，求半径r的值.(3)半径为 1 的OP 在抛物线上，当点 P 的纵坐标在什么范围内取值时，OP 与 y 轴相离、相交？2.如图，

12、在平面直角坐标系中，二次函数y=x2，bx，c的图象与x轴交于A B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3, 0),与 y 轴交于 C( 0, -3 )点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)分别求出图中直线和抛物 线的函数表达式；(2)连结 PO、PC, ,并把POC 沿 C O 翻折，得到四边形POP C,那么是否存在点P,使四边形POP C 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由113.（2012 江西模拟）已知抛物线y = x2，3x 4交 y 轴于点 A,交x 轴于点 B,C （点 B 在点 C 的右侧）过点 A 作垂 直于 y轴的直线 I.在位于直线

13、 I 下方的抛物线上任取一点 P,过点 P 作直线 PQ 平行于 y 轴交直线 I 于点 Q.连接 AP.（1）写出 A，B，C 三点的坐标；（2）若点 P 位于抛物线的对称轴的右侧：1如果以 A，P，Q 三点构成的三角形与 AOC 相似，求出点 P 的坐标；2若将 APQ 沿 AP 对折，点 Q 的对应点为点 M.是否存在点 P,使得点 M 落在 x 轴上.若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由.4. （ 2012 安庆模拟）在直角梯形 ABCD 中，/ B = 90 AD = 1 , AB= 3, BC = 4, M、N 分别是底边 BC 和腰 CD 上的 两个动点，当点 M

14、在 BC 上运动时，始终保持 AM 丄 MN、NP 丄 BC .（1）证明： CNP 为等腰直角三角形；（2）设 NP = 乂乂，当厶 ABMMPN 时，求 x 的值；（3）设四边形 ABPN 的面积为 y,求 y 与 x 之间的函数关系式，并指出 x 取何值时，四边形 ABPN 的面积最大，最大面 积是多少.解：（1）过 D 作 DQ 丄 BC 于 Q,则四边形 ABQD 为平行四边形 DQ=AB= 3, BQ=AD= 1 QC=DQ DQC 中/ C= / QDC=4512 Rt NPC 为等腰 Rt. （4 分）（2）v VABM也VMPNMP=AB= 3, BM=NP13/ NPC 为

15、等腰 Rt1/ PC=NP= x/ BM=BC MP PC= 1 x/ 1- x= x/ x=21当VABM也VMPN时，x =. （8 分）2/c、c1112111八（3）S四边形ABPN=：（AB+NP ） BP=：（3+x）（4 x）= - x+；x+ 6=二（x-二）+ 6.125（11 分）2 2 2 2 2 21当 x 取 时，四边形 ABPN 面积最大，最大面积为 6.125. （14 分）25.（2012 宝应模拟）在直角坐标系中，0 为坐标原点，点 A 的坐标为（2, 2），点 C 是线段 0A 上的一个动点（不运动至 O, A 两点），过点 C 作 CDLx 轴，垂足为 D

16、,以 CD 为边在右侧作正方形 CDEF.连接 AF 并延长交 x 轴的正半轴 于点 B,连接OF,设 OD= t. 求 tan / FOB 的值；用含 t 的代数式表示 OAB 的面积 S;是否存在点 C,使以 B, E, F 为顶点的三角形与 OFE 相似，若存在，请求出所有满足要求的B 点的坐标；若不存在，请说明理由.JyA2OD BEx146.(2012 广东预测)(本小题满分 12 分)如图，抛物线的顶点坐标是9，且经过点A(8,14).辽8丿(1) 求该抛物线的解析式；(2) 设该抛物线与y轴相交于点B，与x轴相交于C、D两点(点C在点D的左边)，试求点B、C、D的坐标；设点P是x

17、轴上的任意一点，分别连结AC、BC.试判断：PA PB与AC - BC的大小关系，并说明理由.7.如图，已A(-2,- 1), B(0,7)两点.(1)求该抛物线的解析式及对称轴;当 x 为何值时，y 0?(3)在 x 轴上方作平行于 x 轴的直线 I，与抛物线交于C、D 两点(点 C 在对称轴的左侧)，过点 C、D 作 x 轴的垂线，垂足分别为 F、E.当矩形 CDEF 为正方形时，求 C 点的坐标.158.如图，在 ABC 中，已知 AB = BC = CA = 4cm, AD 丄 BC 于 D，点 P、Q 分别从 B、C 两点同时出发，其中点 P 沿BC 向终点 C 运动，速度为 1cm

18、/s;点 Q 沿 CA、AB 向终点 B 运动，速度为 2cm/s,设它们运动的时间为求 x 为何值时，PQ 丄 AC ;2 设厶 PQD 的面积为 y(cm)，当 Ovxv2 时，求 y 与 x 的函数关系式; 当 Ovxv2 时，求证：AD 平分 PQD 的面积； 探索以 PQ 为直径的圆与 AC 的位置关系，请写出相应位置关系的x 的取值范围(不要求写出过程)。解：当 Q 在 AB 上时，显然 PQ 不垂直于 AC。当 Q 在 AC 上时，由题意得： BP = x, CQ= 2x, PC = 4 x,AB=BC=CA=4,ZC=60,若 PQ 丄 AC,则有/ QPC= 3O0,. PC

19、= 2CQ4.4x=2X2x,.x=5，4当 x= 5 (Q 在 AC 上)时，PQ 丄 AC ;当 0vxv2 时，P 在 BD 上, Q 在 AC 上，过点 Q 作 QH 丄 BC 于 H ,/C=600,QC=2x, QH=QCXsin60=, 3x1/ AB = AC , AD 丄 BC , BD = CD =1BC = 2 DP= 2 x, y= 2 PD QH = 丁 (2 x) 3x =多刍 3x当 0vxv2 时，在 RtAQHC 中，QC = 2x,ZC= 60, HC = x, BP = HC/ BD = CD , DP = DH ,/ AD 丄 BC , QH 丄 BC

20、, AD / QH , OP= OQ-PDO=DQO,x(s)。16 AD 平分 PQD 的面积; 显然，不存在 x 的值，使得以 PQ 为直径的圆与 AC 相离当 x =4或16时，以 PQ 为直径的圆与 AC 相切。554416 16当 0 xV4或4 xvw 或百 x 4 时，以 PQ 为直径的圆与 AC 相交。555 59.已知抛物线y = x22(k -1)x k 2与x轴交于 A、B 两点，且点 A 在x轴的负半轴 上，点 B 在x轴的正半轴上.(1) 求实数 k 的取值范围；(2) 设 OA、OB 的长分别为 a、b，且 a : b = 1 : 5,求抛物线的解析式；(3) 在(

21、2)的条件下，以 AB 为直径的OD 与y轴的正半轴交于 P 点，过 P 点作OD 的 切线交x轴于 E 点，求点 E 的坐标。解：(1)设点 A (x1, 0), B (x2, 0)且满足为 0 0 )经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底 AD 在 x 轴上，其中 A (-2,0), B (- 1,3).(1)求抛物线的解析式;(2)点 M 为 y 轴上任意一点，当点M 到 A、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标;(3)在第(2)问的结论下，抛物线上的点P使SPAD= 4SAABM成立，求点 P 的坐标.17（2）如图 2,连接 BD，交 y 轴于点M，则点 M 就是所求作的点

22、设 BDy二kx b，则有2k b =0-k b 3故 BD 的解析式为y = x 2 ;令x = 0,则y = -2，故M (0, -2)8（3）、如图 3,连接 AM，BC 交 y 轴于点 N，由（2）知，OM=OA=OD=2，AMB =90易知 BN=MN= 1,易求AM 2.2, BM =/2* =22 22；设P(x,x4),x24 =4 2，即:解之得：x二 2.2 ,x=0，故 符合条件的 P 点有三个:P(2运,4),F2(-2V2,4),P3(0,Y)12 分11.如图，在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，点 A 的坐标是（-4, 0），点 B 的坐标是（0, b）（ b

23、0）. P 是直 线 AB 上的一个动点，作 PCLx轴，垂足为 C.记点 P 关于 y 轴的对称点为 P （点 P不在 y 轴上），连接 PP , P A, P C.设点 P 的横坐标为 a.（1）当 b=3 时，1求直线 AB 的解析式；2若点P的坐标是（-1, m ,求 m 的值；（2） 若点 P 在第一象限，记直线 AB 与 PC勺交点为 D.当 P D:DC=1: 3 时，求 a 的值；解：（1）、因为点 A、B 均在抛物线上，故点 A、B 的坐标适合抛物线方程4a c = 0工a = 1a c-3解之得：.c - -4y依题意有:18(3)是否同时存在 a, 6 使厶 P CA 为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的说明理由.a，b 的值；若不存在，请19引用源。