第一章信号与系统

1、l教材：郑君里信号与系统上、下册，高等教育出版社，2011年3月第3版l参考书： 1、管致中，信号与线性系统（第4版）上、下册，高等教育出版社，2004年 2、吴大正，信号与线性系统分析（第4版），高等教育出版社，2005年 l学时：68学时l考试方式：闭卷考试 l成绩评定：平时考核占30%，期末考试占70%。信号的概念、描述和分类信号的概念、描述和分类 典型信号典型信号 信号的基本运算信号的基本运算阶跃信号、冲激信号阶跃信号、冲激信号信号的分解信号的分解系统的概念和分类系统的概念和分类线性时不变系统线性时不变系统1 1.1 .1 绪论绪论一、信号的概念一、信号的概念 消息消息(message

2、)(message)：常常把来自外界的各种报道统称 为消息。信息(information)：通常把消息中有意义的内容称 为信息。信号(signal)：信号是反映信息的各种物理量，是 系统直接进行加工、变换以实现通信的对象。w信号是信息的表现形式，信息是信号的具体内容。信号是信息的载体，通过信号传递信息。 自然和物理信号：自然和物理信号：语音、图像、地震信号、生理信号等语音、图像、地震信号、生理信号等人工产生的信号：人工产生的信号：人类为了达到某种目的人为产生的信人类为了达到某种目的人为产生的信号。雷达信号、通讯信号、医用超声信号、机械探伤信号。雷达信号、通讯信号、医用超声信号、机械探伤信号等。

3、号等。 例如：例如：电信号传送声音、图像、文字等。电信号传送声音、图像、文字等。电信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电荷、电信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电荷、磁通等。磁通等。 二、系统的概念 系统(system)是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。三、信号处理及应用三、信号处理及应用对信号进行某种加工或变换。对信号进行某种加工或变换。1 1、目的：、目的：消除信号中消除信号中的的多余内容；多余内容；滤除混杂的噪声和干扰；滤除混杂的噪声和干扰；将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择它的特征参量。和选择它的特征参量

4、。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。 2、信号传输、信号传输通信系统：通信系统：为传送消息而装设的全套技术设备（包为传送消息而装设的全套技术设备（包括传输信道）括传输信道）1.2 1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类一、信号的描述一、信号的描述 1、数学描述：使用具体的数学表达式，把信号描述为一个或若干个自变量的函数或序列的形式。2、波形描述：按照函数自变量的变化关系，把信号的波形画出来。 “信号”与“函数”两词常相互通用。 二、信号的分类二、信号的分类1. 1. 确定信号和随机信号确定信号和随机信号 确定信号或规则信号确定信号或规则信号 ：可以用

5、确定时间函数表示的信号可以用确定时间函数表示的信号 随机信号随机信号: :若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性 f(t)t000ttttf(t)f(t)连续时间信号：连续时间信号：在连续的时间范围内在连续的时间范围内(-t(-t）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。w 离散时间信号：离散时间信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。实际中也信号称为离散时间信

6、号，简称离散信号。实际中也称为数字信号。称为数字信号。2. 连续信号和离散信号 离散信号可表示为离散信号可表示为x(nT)x(nT)，通常取等间隔，通常取等间隔T T，简写为，简写为x(n)x(n)，这种等间隔的离散信号也常称为序列。其中，这种等间隔的离散信号也常称为序列。其中k k称为序号。称为序号。x(n)= x(n)= ，0 0，1 1，2 2，-1.5-1.5，2 2，0 0，1 1，0 0， n=0n=0通常将对应某序号通常将对应某序号m m的序列值称为第的序列值称为第m m个样点的个样点的“样值样值”。f(t)f(t)tt3. 3. 周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号周期信号

7、：周期信号：是指一个每隔一定时间是指一个每隔一定时间T T，按相同规律重，按相同规律重复变化的信号。复变化的信号。 ( (在较长时间内重复变化在较长时间内重复变化) ) 连续周期信号连续周期信号f(t)f(t)满足满足f(t) = f(t + mT)f(t) = f(t + mT)， 离散周期信号离散周期信号x(n)x(n)满足满足x(n) = x(n + mN)x(n) = x(n + mN)， 满足上述关系的最小满足上述关系的最小T(T(或整数或整数N)N)称为该信号的周期。称为该信号的周期。 非周期信号：非周期信号：不具有周期性的信号称为非周期信号不具有周期性的信号称为非周期信号。ttt

8、f(t)f(t)f(t)TT例1.2.1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sint解：解：两个周期信号两个周期信号x(t)x(t)，y(t)y(t)的周期分别为的周期分别为T T1和和T T2，若，若其周期之比其周期之比T T1/T/T2为有理数，则其和信号为有理数，则其和信号x(t)+y(t)x(t)+y(t)仍仍然是周期信号，其周期为然是周期信号，其周期为T T1和和T T2的最小公倍数。的最小公倍数。（1） sin2t sin2t 是周期信号，其角频率和周期分别为是周期信号，其角频率和周

9、期分别为 1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= s cos3t 是周期信号，其角频率和周期分别为 2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2= (2/3) s由于T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数2。（2） cos2t 和sint的周期分别为T1= s， T2= 2 s， 由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。 结论： 两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。 连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。 4 4一维信号与多维信号一维信号与多维信号一维信号：一维信号：只由一个自变量描述

10、的信号，如语音信号。只由一个自变量描述的信号，如语音信号。 多维信号：多维信号：由多个自变量描述的信号，如图像信号。由多个自变量描述的信号，如图像信号。 本课程只研究一维信号，且自变量多为时间。本课程只研究一维信号，且自变量多为时间。三、典型的连续时间信号三、典型的连续时间信号1(1)f(t),Ka tae实 指 数 信 号 ：（ 对 时 间 的 微 、 积 分 仍 是 指 数 ）0a信号将随时间而增长信号将随时间而增长0a信号将随时间而衰减；信号将随时间而衰减；0a信号不随时间而变化，为直流信信号不随时间而变化，为直流信号号:指数信号的时间常数，指数信号的时间常数，越大，指数信号增长或衰减的

11、速率越大，指数信号增长或衰减的速率越慢。越慢。（对时间的微、积分仍是指数对时间的微、积分仍是指数）（对时间的微、积分仍是同频率余弦）（对时间的微、积分仍是同频率余弦）（2 2）正弦信号：）正弦信号：(3)f(t),cos( )sin( )KstttKtjjKsteee 复 指 数 信 号 ：（ 实 际 不 存 在 ， 但 可 描 述 各 种 基 本 信 号 ）(3)(3)复指数信号复指数信号S a (tsin(4)tt抽 样 信 号 ：Sa(t)具有以下性质：具有以下性质：(4)(4)抽样信号抽样信号（5 5）钟形脉冲函数）钟形脉冲函数( (高斯函数高斯函数) )在随机信号分析中占有重要地位。

12、在随机信号分析中占有重要地位。1.3 1.3 信号的基本运算信号的基本运算移位运算移位运算尺度变换尺度变换)(1tf101t)(2tf101t)()(21tftf101t2)()(21tftf101t一、信号的、一、信号的、运算运算 两信号两信号f f1 1( ( ) ) 和和f f2 2 ( ( ) )的相的相 、指同一时指同一时刻两信号之值对应相加减乘。如刻两信号之值对应相加减乘。如)(tf101t) 1( tf101t) 1( tf101t2二、信号的时间变换运算二、信号的时间变换运算1. 移位 将f (t) f (t + t0) ， x (n) x (n + n0)称为对信号f ()的

13、平移或移位。若t0 (或n0)1 ，则波形沿横坐标压缩；若0 a 1a 1 则 f (at)将 f (t)的波形沿时间轴压缩至原来的1/a压缩压缩)(tf101t2)2( tf101t25.0（2 2）00a 1a 1 则则 f f (at)(at)将将 f f (t)(t)的波形沿时间轴扩的波形沿时间轴扩展至原来的展至原来的1/1/a a。扩展扩展)(tf101t2)(21tf104t2对于离散信号，由于x (a n) 仅在为a n 为整数时才有意义， 进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。 例例1.3.1 1.3.1 （1 1）已知信号）已知信号f(t)f(t)的

14、波形如图所示，试画出的波形如图所示，试画出f(-2t-4)f(-2t-4)的波形的波形解：解：移位、反褶、尺度变换相结合，三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间t 进行。移位尺度变换尺度变换反褶反褶法二：也可以先尺度变换、再移位、最后反褶尺度变换尺度变换反褶反褶（2 2）若已知若已知f (f ( 4 4 2t) 2t) ，画出，画出f (t) f (t) 。 解：解：反褶反褶三、信号的微分和积分三、信号的微分和积分1 1、微分：、微分：信号信号f(t)f(t)的微分运算指的微分运算指f(t)f(t)对对t t取导数，即取导数，即2 2、积分：、积分：信号信号f(t)f(t)的积分运算指的

15、积分运算指f(t)f(t)在（在（- -，t t）区间）区间内的定积分，表达式为：内的定积分，表达式为： dft)()()(tfdtdtf结论：结论：（1 1）信号经过微分运算后突出显示了它的变化部分，）信号经过微分运算后突出显示了它的变化部分，起到了起到了锐化锐化的作用；的作用；（2 2）信号经过积分运算后，使得信号突出变化部分变）信号经过积分运算后，使得信号突出变化部分变得平滑了，起到了得平滑了，起到了模糊模糊的作用；利用积分可以削弱信的作用；利用积分可以削弱信号中噪声的影响。号中噪声的影响。)(tf101t)(tf 01t) 1 () 1 ()()1(tf101t1.4 1.4 阶跃信号

16、和冲激信号阶跃信号和冲激信号一、单位阶跃函数 t01u(t)定义式：定义式：u(t)= 0 u(t)= 0 ， （t0t0t0）1、定义（采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数（采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数 ）2)(tt201)(lim)(0ttu00t01t2 2、阶跃函数的性质：、阶跃函数的性质：（1 1）可以方便地表示某些信号）可以方便地表示某些信号 eg: f(t) = 2u(t)- 3u(t-1) +u(t-2)eg: f(t) = 2u(t)- 3u(t-1) +u(t-2)（2 2）用阶跃函数表示信号的作用区间）用阶跃函数表示信号的作用区间（3 3）积分）积分)()(ttu

17、dut三、单位冲激函数三、单位冲激函数 单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。作用时间极短一种物理量的理想化模型。 1 1、定义（、定义（狄拉克狄拉克(Dirac)(Dirac)函数）：函数）： 2)(tpt201)(t)(tt0) 1 ()(lim)(0tpt00t0t00)(tt11)(面积为dtt冲激函数与阶跃函数关系冲激函数与阶跃函数关系: :dttdut)()(tdtu)()(三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数取函数取 0极限，都可以认为是冲激函数。极限

18、，都可以认为是冲激函数。l加权特性加权特性)()()()();()0()()(000tttftttftfttf)0()()(fdtttfl抽样特性抽样特性)()()(00tfdttttf3 3、性质：、性质：)()(ttl单位冲激函数为偶函数单位冲激函数为偶函数2 2、(t) (t) 的尺度变换的尺度变换)(1)(taat)(1)(00attatat这里这里 a a 和和 t t0 0为常数，且为常数，且a a 0 0。)0(1)()(fadtattf)(1)()(00atfadttattf3 3、 冲激函数的导数冲激函数的导数 (t) (t) （也称冲激偶）（也称冲激偶）（1 1）定义：）定

19、义： 冲激函数的微分将呈现正、负极性的一对冲激，冲激函数的微分将呈现正、负极性的一对冲激，称为冲激偶。称为冲激偶。dttdt)()(t)(t)1(0（2 2）冲激偶的性质）冲激偶的性质l冲激偶的抽样特性冲激偶的抽样特性: : l冲激偶的加权特性冲激偶的加权特性: : l冲激偶冲激偶 ( (t)t)是是 t t 的奇函的奇函数数: : )0()()(fdtttf)()()(00tfdttttf)()0()()0()()(tftfttf)()()()()()(00000tttftttftttf)()(ttl冲激偶所包含的面积等于冲激偶所包含的面积等于0 0 ： 0)( dtt1.5 信号的分解信号

20、从不同角度分解：信号从不同角度分解： 直流分量与交流分量 偶分量与奇分量 脉冲分量 实部分量与虚部分量 正交函数分量 利用分形理论描述信号a图图是一个郁闷的正弦波 cos（x）；b图图是 2 个卖萌的正弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x)；c图图是 4 个纠结的正弦波的叠加；d图图是 10 个生气的正弦波的叠加。1 1、直流分量与交流分量、直流分量与交流分量其中其中f fD D为直流分量即信号的平均值；为直流分量即信号的平均值；f fA A(t)(t)为交流分量为交流分量, ,直流分量直流分量f fD D与交流分量与交流分量f fA A(t):(t):)()(tfftfAD1(

21、)()21( )f()2foef tftf tft其中 为偶分量为奇分量2 2、偶分量与奇分量、偶分量与奇分量)()()()(tftftft：fooee即分解为)(tf)(tfe)(tfo（1 1）矩形窄脉冲序列矩形窄脉冲序列f( )组合极限其中为窄脉冲分量冲激信号的叠加3 3、脉冲分量、脉冲分量 将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广，将信号分解为冲激信号叠加的方法应用很广，后面的卷积积分中将用到，可利用卷积积分求系统后面的卷积积分中将用到，可利用卷积积分求系统的零状态响应。的零状态响应。4.4.实部分量与虚部分量实部分量与虚部分量 对于瞬时值为复数的信号对于瞬时值为复数的信号f(t)f(t

22、)可分解为实、虚部可分解为实、虚部两个部分之和。两个部分之和。 分解为)(tf)(tfr)(tjfi 其实部为：其实部为：)()(21)(*tftftfr 其复数信号的模为：其复数信号的模为：)()()()()(22*2tftftftftfirj 其虚部为：其虚部为：)()(21)(*tftftfi 实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信实际中产生的信号为实信号，可以借助于复信号来研究实信号。号来研究实信号。 分解其中正交函数集各分量相互正交如矩形脉冲各次谐波的正弦与余弦表示5 5、正交函数分量、正交函数分量 用正交函数集来表示一个信号，组成信号的各用正交函数集来表示一个信号，组成信号的各分

23、量就是相互正交的。分量就是相互正交的。)()(tftf分解为即：正交函数分量：即：正交函数分量：由正交函数集表示由正交函数集表示1.6 1.6 系统模型及分类系统模型及分类一、系统的定义 若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。二、系统的分类及性质 1. 连续系统与离散系统 输入和输出均为连续时间信号的系统称为连续时间系统。 输入和输出均为离散时间信号的系统称为离散时间系统。 连续时间系统的数学模型是用微分方程来描述，而离散时间系统的数学模型是用差分方程来描述。2. 动态系统与即时系统 若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称

24、为动态系统或记忆系统。 含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。否则称即时系统或无记忆系统。3. 线性系统与非线性系统 能同时满足齐次性与叠加性的系统称为线性系统。满足叠加性是线性系统的必要条件。 不能同时满足齐次性与叠加性的系统称为非线性系统。 4. 4. 时不变系统与时变系统时不变系统与时变系统 满足时不变性质的系统称为时不变系统。满足时不变性质的系统称为时不变系统。时不变性质时不变性质: : 若系统满足输入延迟多少时间，其激励引起的响应也若系统满足输入延迟多少时间，其激励引起的响应也延迟多少时间，延迟多少时间，即若即若Te(t) = r(t)Te(t) = r(t)， Te(t -

25、 tTe(t - td d) = ) = r(t - tr(t - td d) ) 。 5 5、 因果系统与非因果系统因果系统与非因果系统 激励引起的响应不会出现在激励之前的系统，称为因果系统激励引起的响应不会出现在激励之前的系统，称为因果系统 即对因果系统，当即对因果系统，当t tt t0 0 ，e(t) = 0e(t) = 0时，有时，有t tt t0 0 ，r(t) = r(t) = 0 0。如：下列系统均为因果系统：如：下列系统均为因果系统：r(t) = 3e(t 1) 而下列系统为非因果系统：而下列系统为非因果系统： (1) (1) r(tr(t) = 2e(t + 1) = 2e(

26、t + 1)， 因为，令因为，令t=1t=1时，有时，有r(1) = 2e(2)r(1) = 2e(2) (2) r(t) = e(2t) (2) r(t) = e(2t)，因为，若，因为，若e(t) = 0e(t) = 0， t tt t0 0 ，有，有r(t) r(t) = e(2t)=0, t 0.5 t= e(2t)=0, t 0.5 t0 0 。 也就是说，如果响应也就是说，如果响应r r( (t t) )并不依赖于将来的激励并不依赖于将来的激励 如如e(t+1)e(t+1)，那么系统就是因果的。，那么系统就是因果的。 6. 6. 稳定系统与不稳定系统稳定系统与不稳定系统 一个系统，

27、若对有界的激励一个系统，若对有界的激励e(t)e(t)所产生的响应所产生的响应r(t)r(t)也是有界时，则称该系统为也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出有界输入有界输出稳定，简称稳定稳定，简称稳定。 即若即若e(t)e(t)，其，其r(t) r(t)0；当x(0-) =2，输入信号e2(t)=3e1(t)时，全响应r2(t) = 2 +3 cos(t)，t0；求输入e3(t) = +2e1(t-1)时，系统的零状态响应。解：设当x(0) =1，输入因果信号e1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为r1zi1zi(t)、r1zs1zs(t) 。 当x(0-) =2，输入信号e2(t)

28、=3e1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为r2zi2zi(t)、r2zs2zs(t) 。 tetedttdf)(1r1(t) = r1zi(t)+ r1zs(t) = = + cos(t)，t0 （1） r2(t)= r2zi(t)+ r1zs(t) = 2 +3 cos(t)，t0 （2）根据线性系统的齐次性 r2zi(t)=2 r1zs(t) ，r2zs(t)=3 r1zs(t) tete代入式（2）得r2(t)=2r2zi(t)+3 r1zs(t) = 2 +3 cos(t)，t0 （3）式(3) 2式(1)，得r1zs(t) = 4 + cos(t)，t0由于r1zs(t)是

29、因果系统对因果输入信号e1(t)的零状态响应，故当t0， r1zs(t)= 0；因此r1zs(t)可改写成r1zs(t) = 4 + cos(t)u(t) (4)tetete根据LTI系统的微分特性 = 3(t) + 4 sin(t)u(t)根据LTI系统的时不变特性e1(t1) r1zs(t 1) = 4 + cos(t1)u(t1)由线性性质，得：当输入e3(t) = +2e1(t1)时，r3zs(t) = + 2r1zs(t1) = 3(t) + 4 sin(t)u(t)+ 24 + cos(t1)u(t1)dttde )(1dttdrzs)(1dttde )(1）（1tetedttdrzs)(1te）（1te1.7 LTI1.7 LTI系统分析概述系统分析概述 系统分析研究的主要问题：系统分析研究的主要问题：(1)(1)对于给定信号形式的对于给定