线性代数课件：庭芳n 阶行列式的定义

1、3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义一、三阶行列式的结构一、三阶行列式的结构二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义三、小结三、小结一、一、 三阶行列式的结构三阶行列式的结构三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 6 项，即项，即 3! 项项（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行

2、不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例如例如322113aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 , 211312 t322311aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 , 101132 t偶排列偶排列奇排列奇排列正号正号 ,负号负号 .)1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaa二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn21222211121121221)1( 记记作作的的代代数数和和个个元元素素的的乘乘积积取取自自不不同同行行不不同同列列的的阶阶行行列列式式等等于于所所有有个

3、个数数组组成成的的由由1. 定义定义).det(ija简记作简记作列的元素列的元素行第行第的第的第称为行列式称为行列式数数jiaaijij)det()1(.)(为列标为列标为行标，为行标，中中jiaij:其中其中行行的第的第表示行列式表示行列式用用iaij)det(ir列列的第的第表示行列式表示行列式用用jaij)det(jc为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数的一个排列，的一个排列，为自然数为自然数tnpppn21)2(21 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111 )3( .)!(21级排列之和级排列之和个个指指nnnpp

4、p 说明说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;2、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;n!n3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;nn4、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;aa 5、 的符号为的符号为nnpppaaa2121 .1t 例例1 1 )det(4ijaD 项项！展开式共有展开式共有244 44332211 )1(aaaa413

5、22413 )2(aaaa41332413 )3(aaaa的项共有几项？的项共有几项？中含有中含有32 )4(aD. )5(3223的项的项求含有求含有aa例例2 2的符号的符号5413453221 aaaaa例例3 3计算行列式计算行列式0004003002001000分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa从而这个项为零，从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于 , 1p4同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为.aaaa4132231400040030020010

6、00 432114321 t.24 解解:例例3 3计算行列式计算行列式0004003002001000;21n n 21例例4 4 证明证明n 21 .12121nnn (2)(1) 对角行列式对角行列式例例5 5 计算上计算上三角行列式三角行列式nnnnaaaaaa00022211211分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不为零的项只有所以不为零的项只有.2211nnaaa解解nnnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 例例5 5

7、计算上计算上三角行列式三角行列式nnnnaaaaaa00022211211解解例例6?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa . 2于零于零还多，则此行列式必等还多，则此行列式必等素比素比阶行列式中等于零的元阶行列式中等于零的元如果一个如果一个nnn 注意注意 上三角行列式和下三角行列式统称为上三角行列式和下三角行列式统称为三角行列式三角行列式例例6 6 用行列式的定义计算用行列式的定义计算nnDn00000

8、00010020001000 解解 nnnnnnnnNnaaaaD1 , 12,21, 1)321)2)(1(1 nnnn ) 1(21) 1(2)1)(2(!) 1(2)1)(2(nnn 1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的要而定义的.2、n 阶行列式共有阶行列式共有 n! 项，每项都是位于不同行、项，每项都是位于不同行、不同列不同列 的的 n 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标排列的正负号由下标排列的逆序数决定逆序数决定.三、小结三、小结3、n 阶行列式的定义很抽象，只要能够知道定阶行列式的定义很抽象，只要能够知道定义式中各符号的意义就可以了义式中各符号的意义就可以了.已知已知 1211123111211xxxxxf .3的系数的系数求求 x思考题解答思考题解答解解含含 的项