第1讲　平行截割定理与相似三角形

1、第1讲平行截割定理与相似三角形【2013年高考会这样考】考查相似三角形的判定和性质定理的应用及直角三角形的射影定理的应用【复习指导】复习本讲时，只要掌握好教材上的内容，熟练教材上的习题即可达到高考的要求，该部分的复习以基础知识、基本方法为主，掌握好解决问题的基本技能即可.基础梳理1平行截割定理(1)平行线等分线段定理及其推论定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等推论：经过梯形一腰的中点而且平行于底边的直线平分另一腰(2)平行截割定理及其推论定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边

2、的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的三角形与原三角形的对应边成比例(3)三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比(4)梯形的中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半2相似三角形(1)相似三角形的判定判定定理a两角对应相等的两个三角形相似b两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似c三边对应成比例的两个三角形相似推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似直角三角形相似的特殊判定斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似(2)相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方(3)直角

3、三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积双基自测1如图所示，已知abc，直线m、n分别与a、b、c交于点A，B，C和A，B，C，如果ABBC1，AB，则BC_. 解析由平行线等分线段定理可直接得到答案答案2如图所示，BD、CE是ABC的高，BD、CE交于F，写出图中所有与ACE相似的三角形_ 解析由RtACE与RtFCD和RtABD各共一个锐角，因而它们均相似，又易知BFEA，故RtACERtFBE.答案FCD、FBE、ABD3(2011·西安模拟)如图，在ABC中，M、N分别是AB、BC的中点，A

4、N、CM交于点O，那么MON与AOC面积的比是_解析M、N分别是AB、BC中点，故MN綉AC，MONCOA，.答案144如图所示，已知DEBC，BFEF32，则ACAE_，ADDB_. 解析DEBC，.BFEF32，.ACAE32.同理DEBC，得ABAD32，即.，即2.即2.ADBD21.答案32215(2010·广东)如图，在直角梯形ABCD中，DCAB，CBAB，ABADa，CD，点E、F分别为线段AB、AD的中点，则EF_. 解析连接DE和BD，依题知，EBDC，EBDC，EBCD为平行四边形，CBAB，DEAB，又E是AB的中点，故ADDBa，E，F分别是AD、AB的中点

5、，EFDBa.答案考向一平行截割定理的应用【例1】(2011·广州测试(二)在梯形ABCD中，ADBC，AD2，BC5，点E、F分别在AB、CD上，且EFAD，若，则EF的长为_审题视点 把梯形的两腰BA、CD分别延长交于一点，利用平行截割定理可求解解析如图所示，延长BA、CD交于点P，ADBC， ，又，.ADEF，又AD2，EF.答案 在解题时要注意添加辅助线【训练1】 如图，在ABC中，DEBC，EFCD，若BC3，DE2，DF1，则AB的长为_解析由，又DF1，故可解得AF2，AD3，又，AB.答案考向二相似三角形的判定和性质的应用【例2】已知，如图，在ABC中，ABAC，BD

6、AC，点D是垂足求证：BC22CD·AC. 审题视点 作AEBC，证明AEC和BDC相似即可证明过点A作AEBC，垂足为E，CEBEBC，由BDAC，AEBC.又CC，AECBDC.，即BC22CD·AC. 判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到【训练2】 (2011·惠州调研)如图，在ABC中，DEBC，DFAC，AEAC35，DE6，则BF_. 解析因为DEBC，所以ADEABC，所以，即，所以BC10.又DFAC，所以四边形DECF是平行四边形，故BFBCFCBCDE1064.答案4

7、考向三直角三角形射影定理的应用【例3】已知圆的直径AB13，C为圆上一点，过C作CDAB于D(ADBD)，若CD6，则AD_.审题视点 ACB为直角三角形，可直接利用射影定理求解解析如图，连接AC，CB，AB是O的直径，ACB90° 设ADx，CDAB于D，由射影定理得CD2AD·DB，即62x(13x)，x213x360，解得x14，x29.ADBD，AD9.答案9 注意射影定理的应用条件【训练3】 在ABC中，ACB90°，CDAB于D，ADBD23.则ACD与CBD的相似比为_解析如图所示，在RtACB中，CDAB，由射影定理得：CD2AD·BD，又ADBD23，令AD2x，BD3x(x0)，CD26x2，CDx.又ADCBDC90°，ACDCBD.易知ACD与CBD的相似比为.即相似比为3.答案3 高考中几何证明选讲问题(一)从近两年新课标高考试题可以看出，高考主要以填空题的形式考查平行截割定理和相似三角形判定定理的应用，难度不大【示例1】 (2011·陕西)如图，BD，AEBC，AC