层次分析法及matlab程序

1、3、运筹学编写组，运筹学（修订版），第11章，第7节，清华大学岀版社层次分析法建模层次分析法（AHP- Analytic Hierachy process）-多目标决策 方法70年代由美国运筹学家TLSatty提出的，是一种定性与定量分析相 结合的多目标决策分析方法论。吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验 判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，采用此 方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统 分析的数学工具之一。传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有：机理分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系；统计分析方法：利用大量观测数据寻

2、求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、社会现象）现象的规律。基本内容：（1）多目标决策问题举例AHP建模方法（2）AHP建模方法基本步骤（3）AHF建模方法基本算法（3）AHP建模方法理论算法应用的若干问题。参考书：1、姜启源，数学模型（第二版，第9章；第三版，第8章），高等教育岀版社2、程理民等， 运筹学模型与方法教程，（第10章），清华大学出版社4、问题举例:A.大学毕业生就业选择问题获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：1能发挥自己的才干为国家作出较好贡献（即工作岗位适合发挥专长）；2工作

3、收入较好（待遇好）;3生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；4单位名声好（声誉-Reputation）；5工作环境好（人际关系和谐等）6发展晋升（promote, promotion）机会多（如新单位或单位发展有后劲） 等。问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策， 问题是他将如何作出决策和选择？或者说他将用什么方法将可供选 择的工作单位排序？工作选11贡献收入I发展I声誉I工作环I I生活环可供选择的单位P P2B.假期旅游地点选择暑假有3个旅游胜地可供选择。例如：P:苏州杭州，P2北戴河，P3桂林, 到底到哪个地方去旅游最好？要作出决策和选择。 为此，要把三个旅游地

4、的特 点，例如：景色；费用；居住；环境；旅途条件等作一些比较一一 建立一个决策的准则，最后综合评判确定出一个可选择的最优方案。目标层选择旅游1I I II I ,景费居饮旅准则层C.资源开发的综合判断7种金属可供开发，开发后对国家贡献可以通过两两比较得到，决定对哪种资源先开发，效用最用。1、问题分析:例如旅游地选择问题：一般说来，此决策问题可按如下步骤进行:（S1）将决策解分解为三个层次，即：目标层：（选择旅游地）准则层：（景色、费用、居住、饮食、旅途等5个准则）方案层：（有R，P2，P3三个选择地点）并用直线连接各层次。（S2）互相比较各准则对目标的权重， 各方案对每一个准则的权重。 这些权

5、限 重在人的思维过程中常是定性的。例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择；中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择；经济不好的人：会把费用低作为第一选择。而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。*经济价开采风险要求战略重亠、1 1 ;、要-铁-铜Co磷酸钿Ur铝AI对经济发展、贡交通条金 Go(53)将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合(54)最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。以上步骤和方法即是AHP的决策分析方法。三、确定各层次互相比较的方法一一成对比较矩阵和权向量在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易 被别人接受，因而Sa

6、nty等人提出：一致矩阵法 即：1.不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较2.对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。因素比较方法 成对比较矩阵法：目的是，要比较某一层n个因素Ci,C2, ,Cn对上一层因素0的影响(例如:旅游决策解中，比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性)。采用的方法是：每次取两个因素G和Cj比较其对目标因素0的影响，并用aj表示，全部比较的结果用成对比较矩阵表示，即:)nxn,aij0, aji丄aij(1)由于上述A(aij) , aij0, aij1aji故可称A为正互反矩阵：显然，由1aij，即：aijaji1，故

7、有：aji1 aji例如：在旅游决策问题中:?问题：稍加分析就发现上述成对比较矩阵的问题:Cl詈 次,因此，问题是：如何改造成对比较矩阵，使由其能确定诸因素C1, Cn对上层因素0的权重?ai2CX景色）C费用）表一：C（景色）对目标 O 的重要性为 1示:C2（费用）对目标 O 的重要性为 2ai3a23故：a121,费用重要性为2）44=C1（景色）1=C3（居住条件）即：景色为4,7/=C2（费用）7=c3（居住条件）表示:居住为1表示:即：费用重要性为因此有成对比较矩阵：A2 2 1414 1313 1313G（景色）对目标 0 的重要性为 4C3（居住条件）对目标 O 的重要性为 1

8、C2（费用）对目标 O 的重要性为 7C3（居住条件）对目标 0 的重要性为 17,居住重要性为11212 117117 1515 15153 3 5 5 1 1 1 1 1 13 35 5 2 2 1 1 1 14 47 7 1212 3 3即存在有各元素的不一致性，例如:既然：a12C1C2a212;a13C1C3a31a13所以应该有:a23C2a21C3a31C2C11481而不应为矩阵A中的a2371成对比较矩阵比较的次数要求太因：n个元素比较次数为:对此Saoty提出了：在成对比较出现不一致情况下，计算各因素C1, Cn对Wn因素（上层因素）0的权重方法，并确定了这种不一致的容许误

9、差范围为此，先看成对比较矩阵的完全一致性成对比较完全一致性四：一致性矩阵Def:设有正互反成对比较矩阵:,ain除满足：（i）正互反性：即而且还满足：（ii）一致性：即aiia21W2Wa22W2W2a2nW2Wan1WnW1an2WnW2ajWjannWn1WnWn色ajW1W1W1W1W2WnwaihW,W2W2W2akjajhi, j 1, 2, n A A AnA gW2WnWWnWWW3W1W2WnwwwwnWwW,WnW2nWWnM1, M,MnW1, W2,WnW2aikAWnW (A nI)W 0 WC IC RR I A AC I R InAajR I -A的一致性指标C I

10、，因此A是非常不一致的，此时，C I值相当大.A1AR IARI R IC I 0A的特征根为Wi以n为特征根的特征向量为：重量向量W=W2,则归一化后的特征向量WnW1v=Wi=1，就表示诸因素C1,C2,Cn对上层因素O的权重，即为权向量, 此种用特征向量求权向量的方法称特征根法,wW,M1, M2,MnA A A AWajajA iWA W WWW nAmaxnAWnWlk叫kimWkWkimAkA AA AA*AA*WWkimSeWeAAA)及WWAW=maxWAW nWmaxA W Anakkk 1aiimaxAmaxAmaxnmaxaiimaxnkCmaxmaxnn 1kk max

11、maxmax1然后再计算ji2如此构造相当多的A，再用它们的C I平均值作为随机一致性指标。3Satty对于不同的n（n 111），用100500个样本A计算出上表所列出 的随机一致性指标R I作为修正值表。3. 一致性检验指标的定义一一一致性比率CR。由随机性检验指标C R可知：当n 1, 2时，R I 0,这是因为1, 2阶正互反阵总是一致阵。对于n 3的成对比较阵A，将它的一致性指标C I与同阶（指n相同）的随机一致性指标R I之比称为一致性比率 简称一致性指标，即有：一致性检验指标的定义一致性比率定义：C R3 :C R JR IR I当：C R 3 0 1时，认为主观判断矩阵A的不一

12、致程度在容许R I范围之内，可用其特征向量作为权向量。否则，对主观判断矩阵A重新进行成对比较，构重新的主观判断矩阵A。注：上式C R d 0 1的选取是带有一定主观信度的。R I六、标度比较尺度解：在构造正互反矩阵时，当比较两个可能是有不同性质的因素Ci和Cj对于上层因素O的影响时，采用什么样的相对刻度较好，即aij的元素的值在（19）或（119）或更多的数字，Satty提出用19尺度最好，即a0取值为19或其互反数119，心理学家也提出：人们区分信息等级的极限解能力为72。可见对n n阶矩阵只需作出咛个判断值即可标度aij定义135792,4,6,8,倒数1,1 1 1 1 1 1 1 12

13、,3,4,5,6,7,8,9因素i与因素j相同重要因素i比因素j稍重要因素i比因素j较重要因素i比因素j非常重要因素i比因素j绝对重要因素i与因素j的重要性的比较值 介于上述两个相邻等级之间因素j与因素i比较得到判断值为aij的互反数，aji aii1aij注：以上比较的标度Satty曾用过多种标度比较层，得到的结论认为：19尺度不仅在较简单的尺度中最好，而且比较的结果并不劣于较为复杂的尺度。Satty曾用的比较尺度为：113, 15, 16,111,以及2(d 0.1)(d 0.9)，其中d 1, 2, 3, 431p9P，其中P 2, 3, 4, 5等共27种比较尺度，对放在不同距离处的光

14、源亮度进行比较判断，并构造出成对比较矩阵，计算出权向量。同时把计算出来的这些权向量与按照物理学中 光强度定律和其他物理知识得到的实际权向量进行对比。结果也发现19的比较标度不仅简单，而效果也较好(至少不比其他更复杂的尺度差)因而用19的标度来构造成对比较矩阵的元素较合适七、组合权向量的计算一一层次总排序的权向量的计算层次分析法的基本思想：（1）计算出下一层每个元素对上一层每个元素的权向量Wdef:层次总排序，计算同一层次所有元素对最高层相对重要性的排序权值。当然要先：构造下一层每个元素对上一次每个元素的成对比较矩阵2计算出成对比较矩阵的特征向量（和法，根法，幕法）3由特征向量求出最大特征根ma

15、x（由和法，根法，幕法求得）用最大特征根max用方式C I-JmaXn及C R对成对n 1R I比较矩阵进行一致性检，并通过。（2）并把下层每个元素对上层每个元素的权向量按列排成以下表格形式：例，假定：上层A有m个元素，Ai, A2, , Am，且其层次总排序权向 量为ai, a2, , am，下层B有n个元素Bi, B2, , Bn，则按Bj对A个 元素的单排序权向量的列向量为bj，即有：层次A1A1A1mB层总是排序权重（权向量、列向量）aia2am计算出最大特根（方法：和法、根法、幕法）致性检验C I亠n 1致性检验比率检验CR 0 1否？注：若下层元素Bk与上层元素Aj无关系时，取bq

16、 0m总排序权向量各分量的计算公式：Wiajbj（i1 ,n）j i（3）对层次总排序进行一致性检验：从高层到低层逐层进行，如果如果B层次某些元素对Aj单的排序的一致性指标为CIj，相应的平均随机一majCIj致性指标为RIj，则B层总排序随机一致性比率为：C Rj1-ajRIjj i当CR 0 1时， 认为层次总排序里有满意的一致性， 否则应重新调整判断矩 阵的元素取值。八、层次分析法的基本步骤：（51） 建立层次结构模型将有关因素按照属性自上而下地分解成若干层次：同一层各因素从属于上一层因素，或对上层因素有影响，同时又支配 下一层的因素或受到下层因素的影响。最上层为目标层（一般只有一个因素

17、），最下层为方案层或对象层/决策层，中间可以有1个或几个层次，通常为准则层或指标层。当准则层元素过多（例如多于9个）时，应进一步分解出子准则层。（52） 构造成对比较矩阵，以层次结构模型的第2层开始，对于从属于（或 影响及）上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和19比较尺度 构造成对比较矩阵，直到最下层。（S3）计算（每个成对比较矩阵的）权向量并作一致性检验1对每一个成对比较矩阵计算最大特征根嘶及对应的特征向量（和法、WiWWnC I，随机一致性指标C R和一致性比率作一致性检验W1C R 0.1，或C I 0.1）贝将上层出权向量W归一Wn化之后作为（Bj到Aj）的权向量（即单排序权向

18、量）4若C R 0.1不成立，则需重新构造成对比较矩阵（S4）计算组合权向量并作组合一致性检验即层次总排序W1利用单层权向量的权值Wjj 1, ,m构组合权向量表：并计算出特Wn根法、幕法等）利用一致性指标若通过检验（即层重向下层量层次aia2amWiWWnm其中WiajWijj i最大特征根m）ax和法、根法、幕法致性检验CICI 0.1?致性随机检验RIRIj对照表CR 0 1?致性比率CRW12若通过一致性检验，则可按照组合权向量W的表示结果进行决策WnWi（W中Wi中最大者的最优），即：W* maxW:WiWi, ,WnWn3若未能通过检验，则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率，C

19、R较大的成对比较矩阵九、特征根的近似求法（实用算法）层次分析法的基本思路是计算上层每个元素对下一层次各元素的权向量W1（即最大特征根max对应的特征向量W）,以及组合权向量及一致性检验Wn问题。计算判断矩阵最大特征根和对应阵向量， 并不需要追求较高的精确度，这 是因为判断矩阵本身有相当的误差范围。 而且优先排序的数值也是定性概念的 表达，故从应用性来考虑也希望使用较为简单的近似算法。 常用的有以下求特 征根的近似求法：“和法”、“根法”、“幕法”，具体如下：1 .“和法”求最大特征根和对应特征向量（近似解）n对Wj按行求和得：WIWjj 1此方法：实际上是将A的列向量归一化后取平均值作为A的特

20、征向量。解释： 当A为一致矩阵时，它的每一列向量都是特征向量W可以在A的不一致性不严重时，取A的列向量（归一化后）的平均值(S1) 将矩阵A （aj）nxm的每一列向量的归一化得：WiIJ工(naIjI 1利用数据验证即为: 每个位置的数除以该列的合计(S2)(S3)W1Wn(S4)计算与特征向量W对应的最大特征根max的近似值：maxmax1n(AW)Ini iW|将WI归一化，即有:，则有特征向量：WWn作为近似特征向量是合理的（有依据的）。2.“根法”求最大特征根特征向量近似值:步骤与“和法”相同，只是在(S2)时：对归一化后的列向量按行即有具体步骤:“求和”改为按行“求积”再取n次方根

21、，即：Wi(S1)将矩阵A (aj)min的每一列向量归一化得:(S2)对归一化以后的列向量各元素:1n按行“求和”并开n次方根得:Wi(S3) 再将Wi归一化得：w1nnWjj 1n；Wjj 1得到特征向量近似值:W1W2Wn(S4)计算最大特征根:max赞 作为最大特征根的近似值。注:“根法”是将“和法”中求列向量的算术平均值改为求几何平均值。3.“幕法”求最大特征根:(S1)任取n维归一化初始向量W(0)1aunajWj(S2)计算VV(k 1)AW(k), k 0, 1, 2,征向量；否则返回（S2）例：在旅游问题中，求目标层到准则层的成对比较矩阵为A的特征向量和最大特征根:(S3)(

22、S4)1, 2, n）时，W（k 1）即为所求的特(S5) 计算最大特征根，1max ni 1(k 1)以上用幕法求最大特征根max对应特征向量的迭代方法，其收敛性由TH1maxAk（教材P325）中的3）佃卓字W，ke A e其中e1，W是对应max的归一化向量1特征。（证明：可以将A化为标准形证明）保证。W任意选取，也可以取由“根法”、“和法”得到的WW2Wn注：在以上求特征根和特向量的方法中“和法”最简单。准则层:选择旅游jvv（k 1）归一化，即令:对预先给定的，当用1)(S2)计算VV(k 1)AW(k), k 0, 1, 2,方案层:0.2620.2620.2621143 322

23、175 511111A 4723=1121 13 51131 13 510.5433217550.250.14310.50.3330.3330.22110.3330.2311W1利用“和法”求A的特征向量W和特征根maxWn(S1)将A Wjnxn的元素按列归一化得:212 0.250.3330.333 3.91720.5 1 0.143 0.2 0.22.043347 1 23 17各列归一化的分母435 0.511 10.5535 0.3331 1 10.333n(S2)将AWjnxn中元素Wj按行求和得各行元素之和：WWjj 1(S3)再将上述矩阵向量归一化得到特征向量近似值,5其中Wi

24、(1.312 2.37 0.273 0.493 0.511)4.9991(S4)计算与特征向量相对应最大特征根(的近似值)一Wj12.37W 丁0.2734.999W0.4930.5110.2620.4740.055特征向量0.0990.1021.312i 10.262 0.4740.337 0.2 2 110.0550.333 0.2 3 110.0551 0.2630.237 0.220.297 0.30650.2620.066 0.0680.0550.04950.0340.0550.0870.0950.1650.0990.1020.1020.524 0.474 0.385 0.495 0

25、.50.4740.087 0.095 0.11 0.099 0.1020.0991 1.323 2.388 0.273 0.493 0.5485 0.262 0.474 0.055 0.099 0.10215.05 5.038 4.960 4.98 5.3735125.40155.08020.2620.474最大特征根max5.0802, W 0.0550.0990.1020.4740.4740.4741 0.5 4 33 0.05521 7 5 5 0.0550.25 0.1431 0.5 0.3330.0550.0990.0990.0990.1020.1020.1020.2620.4740

26、.0550.0990.0990.1020.1020.0990.1020.2620.4740.2620.2620.262对A致性检验指标：CImaxn5.080250.08020 02n 144故通过检验十、应用实例对前面旅游问题进行决策目标层：已知：目标A对准则Bii 1, 2, 3, 4, 5的权重向量为:W 0.262 0.474 0.055 0.099 0.102T（由前面已算出），并已通过一 致性检验。准则Bi, B2, B3, B4, B5相对于Pi, P2, P3的成对比较矩阵为Bi对P, P2, P3作用的成对比较矩阵为:同样B2对Pi, P2, P3作用的成对比较矩阵为：解：权

27、重向量），并进行一致性检验：CI RI CR准则层:决策层:对以上每个比较矩阵都可计算出最大特征根max及对象的特征向量W（即景费居饮旅以Bi为例用“和法”求出Bi的特征根max及对立的特征向量Wl(S2)对按列归一化反向量再按行求和：WWj0.83j 1J0.386(53)对W按行归一化得到特征向量W(54)计算特征根豐致性检验: 故通过检验，既成对矩阵Bi可以接受同样步骤对B2, B3, B4, B5，对Pi, P2, P3, P4, P5的影响 用特征向量WB2, WB3, WB4, WB5表示 最大特征根用：max,max,max,max表示并分别计算一致性检验指标：CIB2CIB3CIB4CIB5列表如下:权准 则层 值 决策层 Bi B2 B3 B4B5组合权向量(S1)对Bi按列归一化得:0.5880.5710.625B1诵耳0.2940.2860.250.1180.1430.1251.784nj 1WR 0.299因此层次总排序：组合权向量为：WWP20.246WP30.456故最终决策为F3首选，R1次之，P2最后。组合