jsy4非线性模型

1、第四章 非线性模型 4.1 非线性模型的形式及其分类非线性模型的形式及其分类 4.2 可化为线性模型的非线性模型可化为线性模型的非线性模型 4.3 不可转换成线性的非线性模型不可转换成线性的非线性模型4.1 4.1 非线性回归模型的形式和分类非线性回归模型的形式和分类 在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见。直接表现为线性关系的情况并不多见。 如著名的恩格尔曲线如著名的恩格尔曲线(Engle curves)表现为幂表现为幂函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线（Pillips

2、 cuves）表现为双曲线形式等。）表现为双曲线形式等。 但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归模型的理论方法。而可以运用线性回归模型的理论方法。非线性回归模型的形式非线性回归模型的形式 常见的非线性模型 根据非线性回归模型线性化的不同性质，上述模型一般根据非线性回归模型线性化的不同性质，上述模型一般可以分成三种类型：可以分成三种类型： 第一类：直接换元型第一类：直接换元型 这类非线性回归模型通过简单的变量换元可直接化为线这类非线性回归模型通过简单的变量换

3、元可直接化为线性回归模型，如式（性回归模型，如式（1）、式（）、式（2）、式（）、式（3）、式（）、式（4）。）。 第二类：间接代换型第二类：间接代换型 这类非线性回归模型经常通过对数变形代换间接地化为这类非线性回归模型经常通过对数变形代换间接地化为线性回归模型，如：式（线性回归模型，如：式（5）、式（）、式（6）。）。 第三类：非线性型第三类：非线性型 这类非线性回归模型属于不可线性化的非线性回归模型，这类非线性回归模型属于不可线性化的非线性回归模型，如式（如式（7）和式（）和式（8）。）。 非线性回归模型的分类非线性回归模型的分类4.2 可化为线性模型的非线性模型可化为线性模型的非线性模型

4、 直接换元法直接换元法 间接换元法间接换元法 直接换元法直接换元法例例 4.2.1例例 4.2.1直接换元法计算表直接换元法计算表例例 4.2.1例例 4.2.1例例 4.2.1 由于商品零售额增加，流通费用率呈下降趋势，二者之间为负由于商品零售额增加，流通费用率呈下降趋势，二者之间为负相关关系，故相关系数取负值为：相关关系，故相关系数取负值为：0.9898。说明两者高度相关，。说明两者高度相关，用双曲线回归模型配合进行预测是可靠的。用双曲线回归模型配合进行预测是可靠的。 例例 4.2.1例例 4.2.1 对于式（对于式（5）、式（）、式（6）和式（）和式（7）所）所示的非线性回归模型，因变量

5、与待估计参示的非线性回归模型，因变量与待估计参数之间的关系也是非线性的。因此不能通数之间的关系也是非线性的。因此不能通过直接换元化为线性模型。对此类模型，过直接换元化为线性模型。对此类模型，通常可通过对回归方程两边取对数将其化通常可通过对回归方程两边取对数将其化为可以直接换元的形式。这种先取对数再为可以直接换元的形式。这种先取对数再进行变量代换的方法称为间接换元法。进行变量代换的方法称为间接换元法。 间接换元法间接换元法 间接换元法间接换元法间接换元法回归实例间接换元法回归实例 例例4.2.2 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。 根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为: ),(01P

6、PXfQ Q:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额P1：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。 (*) 零阶齐次性零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变 )/,/(010PPPXfQ (*)为了进行比较，将同时估计（为了进行比较，将同时估计（* *）式与（）式与（* * *）式。）式。 )/,/(010PPPXfQ (*),(01PPXfQ (*) 根据恩格尔定律恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居民的总支出间呈幂函数幂函数的变化关系: 首先首先, ,确定具体的函数形式确定具体的函数形式32101PPAXQ 对数变换: 031210lnlnln)l

7、n(PPXQ(*)e考虑到零阶齐次性零阶齐次性时时)/ln()/ln()ln(012010PPPXQ(*)式也可看成是对（*）式施加如下约束而得:0321因此，对（对（* * * * *）式进行回归，就意味着原需）式进行回归，就意味着原需求函数满足零阶齐次性条件求函数满足零阶齐次性条件。(*)X：人均消费X1：人均食品消费GP：居民消费价格指数FP：居民食品消费价格指数XC：人均消费（90年价）Q：人均食品消费（90年价）P0：居民消费价格缩减指数（1990=100）P1：居民食品消费价格缩减指数（1990=100表表 4.2.2 中国城镇居民消费支出（元）及价格指数中国城镇居民消费支出（元）

8、及价格指数 X (当年价) X1 (当年价) GP (上年=100) FP (上年=100) XC (1990年价) Q (1990年价) P0 (1990=100 ) P1 (1990=100 ) 1981 456.8 420.4 102.5 102.7 646.1 318.3 70.7 132.1 1982 471.0 432.1 102.0 102.1 659.1 325.0 71.5 132.9 1983 505.9 464.0 102.0 103.7 672.2 337.0 75.3 137.7 1984 559.4 514.3 102.7 104.0 690.4 350.5 81.

9、0 146.7 1985 673.2 351.4 111.9 116.5 772.6 408.4 87.1 86.1 1986 799.0 418.9 107.0 107.2 826.6 437.8 96.7 95.7 1987 884.4 472.9 108.8 112.0 899.4 490.3 98.3 96.5 1988 1104.0 567.0 120.7 125.2 1085.5 613.8 101.7 92.4 1989 1211.0 660.0 116.3 114.4 1262.5 702.2 95.9 94.0 1990 1278.9 693.8 101.3 98.8 127

10、8.9 693.8 100.0 100.0 1991 1453.8 782.5 105.1 105.4 1344.1 731.3 108.2 107.0 1992 1671.7 884.8 108.6 110.7 1459.7 809.5 114.5 109.3 1993 2110.8 1058.2 116.1 116.5 1694.7 943.1 124.6 112.2 1994 2851.3 1422.5 125.0 134.2 2118.4 1265.6 134.6 112.4 1995 3537.6 1766.0 116.8 123.6 2474.3 1564.3 143.0 112.

11、9 1996 3919.5 1904.7 108.8 107.9 2692.0 1687.9 145.6 112.8 1997 4185.6 1942.6 103.1 100.1 2775.5 1689.6 150.8 115.0 1998 4331.6 1926.9 99.4 96.9 2758.9 1637.2 157.0 117.7 1999 4615.9 1932.1 98.7 95.7 2723.0 1566.8 169.5 123.3 2000 4998.0 1958.3 100.8 97.6 2744.8 1529.2 182.1 128.1 2001 5309.0 2014.0

12、 100.7 100.7 2764.0 1539.9 192.1 130.8 2004006008001000120014001600180082848688909294969800Q中中国国城城镇镇居居民民人人均均食食品品消消费费 特征特征：消费行为在19811995年间表现出较强的一致性；1995年之后呈现出另外一种变动特征。 建立建立19811994年中国城镇居民对食品的消费年中国城镇居民对食品的消费需求模型需求模型: )ln(92. 0)ln(08. 0)ln(05. 163. 3)ln(01PPXQ (9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34) 按按零阶齐次性零阶齐次

13、性表达式回归表达式回归: :)/ln(09. 0)/ln(07. 183. 3)ln(010PPPXQ （75.86）(52.66) (-3.62) 为了比较，改写该式为： 01010ln98. 0ln09. 0ln07. 183. 3)ln(ln09. 0)ln(ln07. 183. 3lnPPXPPPXQ)ln(92.0)ln(08.0)ln(05.163.3)ln(01PPXQ与接近。意味着：所建立的食品需求函数满足零阶齐次所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征。性特征。01010ln98. 0ln09. 0ln07. 183. 3)ln(ln09. 0)ln(ln07. 183. 3l

14、nPPXPPPXQ可化为线性模型的非线性模型处理方法总结可化为线性模型的非线性模型处理方法总结 1 1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法 例如，例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线拉弗曲线：抛物线 s = a + b r + c r2 c0 s：税收； r：税率设X1 = r，X2 = r2， 则原方程变换为 s = a + b X1 + c X2 c0 2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法 例如例如，Cobb-Dauglas生产函数：幂函数 Q = AKLQ：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动 方程两边

15、取对数： ln Q = ln A + ln K + ln L3、复杂函数模型与级数展开法、复杂函数模型与级数展开法 方程两边取对数后，得到： eLKAQ1)(21(1+2=1) Q:产出量，K：资本投入，L：劳动投入 ：替代参数， 1、2：分配参数)(211LKLnLnALnQ例如例如，常替代弹性CES生产函数 将式中ln(1K- + 2L-)在=0处展开台劳级数,取关于的线性项，即得到一个线性近似式。 如取0阶、1阶、2阶项，可得:22121ln21lnlnlnlnLKmLmKmAY4.3 不可转换成线性的非线性模型不可转换成线性的非线性模型一、不可线性化模型一、不可线性化模型1、不可线性化

16、模型：无论采取什么方式变换都不可、不可线性化模型：无论采取什么方式变换都不可 能实现线性化的模型。能实现线性化的模型。2、常用的处理方法：一般采用高斯一牛顿迭代、常用的处理方法：一般采用高斯一牛顿迭代 法进行参数估计，即借助于泰勒级数展开式法进行参数估计，即借助于泰勒级数展开式 进行逐次的线性近似估计。进行逐次的线性近似估计。 二、迭代估计法二、迭代估计法基本思路是：基本思路是：1、通过泰勒级数展开使非线性方程在某一组初始参数、通过泰勒级数展开使非线性方程在某一组初始参数 估计值附近线性化；估计值附近线性化；2 2、然后对这一线性方程应用、然后对这一线性方程应用OLSOLS法，得出一组新的参法

17、，得出一组新的参 数估计值；数估计值；3 3、使非线性方程在新参数估计值附近线性化，对新、使非线性方程在新参数估计值附近线性化，对新 的线性方程再应用的线性方程再应用OLSOLS法，又得出一组新的参数估法，又得出一组新的参数估 计值；计值；4、不断重复上述过程，直至参数估计值收敛时为止。、不断重复上述过程，直至参数估计值收敛时为止。三、迭代估计法的三、迭代估计法的EviewsEviews软件实现软件实现 设定代估参数的初始值，可采用以下两种方式：设定代估参数的初始值，可采用以下两种方式：（1 1）使用）使用paramparam命令。命令格式为命令。命令格式为param param 初始值初始值

18、1 1 初始值初始值2 2 初始值初始值3 3 （2 2）在工作文件窗口双击序列）在工作文件窗口双击序列C C，并在序列窗口中直，并在序列窗口中直接输入参数的初始值（注意序列接输入参数的初始值（注意序列C C中总是保留着刚建立中总是保留着刚建立模型的参数估计值，若不重新设定，系统自动将这些模型的参数估计值，若不重新设定，系统自动将这些值作为参数的默认初始值）。值作为参数的默认初始值）。 估计非线性模型估计非线性模型（1 1）命令方式）命令方式在命令窗口直接键入在命令窗口直接键入:NLS :NLS 非线性函数表达式非线性函数表达式例如，对于非线性模型例如，对于非线性模型 ，其估计命令格式，其估计

19、命令格式为为YAK LNLS y=c(1)*kc(2)*Lc(3)其中，其中， c(1)c(1)、c(2)c(2)、c(3)c(3)表示待估计的三个参数表示待估计的三个参数A A、 、 。回车后，系统会自动给出迭代估计的参。回车后，系统会自动给出迭代估计的参数估计值。数估计值。在数组窗口，点击在数组窗口，点击ProcsMake EquationProcsMake Equation，在弹出，在弹出的方程描述对话框中，输入非线性函数表达式：的方程描述对话框中，输入非线性函数表达式：（2 2）菜单方式）菜单方式选择估计方法为最小二乘法后，点击选择估计方法为最小二乘法后，点击OKOK按钮。按钮。y=c(1)*kc(2)*Lc(3)几点说明：几点说明：（1）在方程描述