大一上数学分析sxfx17-1

1、西南财经大学西南财经大学省级精品课程省级精品课程经济管理数学分析经济管理数学分析课题组版权所有课题组版权所有 请勿外传请勿外传 第十七章第十七章 多元函数微分学多元函数微分学1 可微性可微性2 复合函数微分法复合函数微分法3 方向导数与梯度方向导数与梯度4 泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题经济管理数学分析经济管理数学分析1 可微性可微性经济管理数学分析经济管理数学分析 第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 定义定义1(P115) 设函数设函数 z=f(x,y)在点在点P0(x0,y0)的某邻域的某邻域U(P0)内有内有定义，对于定义，对于U(P0)中的点中的点P(x,y)=(x0+

2、x,y0+y)，若函数，若函数f(x,y)在点在点P0处的全增量处的全增量z可表为：可表为：z = f (x0+x,y0+y)f(x0,y0) = Ax+ By+o() (1)一一 可微性与全微分可微性与全微分其中其中A,B仅与点仅与点P0有关的常数，有关的常数， o()是是的高的高22()()xy，阶无穷小，则称函数阶无穷小，则称函数 f 在点在点P0可微可微. 并称并称(1)式中关于式中关于x, y的的线性函数线性函数Ax+ By为函数为函数 f 在点在点P0的的全微分全微分，记为，记为dz，即，即 dz|P0=df (x0,y0)= Ax+ By . (2)第十七章多元函数微分学第十七章

3、多元函数微分学 1可微性可微性 注注 (i)由由(1)、(2)式可见式可见dz是是z的线性主部，特别当的线性主部，特别当|x|、|y|充分小时，全微分充分小时，全微分dz可作为全增量可作为全增量z的近似值，即的近似值，即 0000( , )(,)()(). (3)f x yf xyA xxB yy(ii)有时有时(1)可以写成如下形式可以写成如下形式 (4)zA xB yxy (iii)(补充补充) 二元函数二元函数f(x,y)在点在点(x0,y0)处可微则必在点处可微则必在点(x0,y0)处连处连续续.xy 因为因为(,)(0,0)(,)(0,0)limlim0.xyxy其中其中0 (,)(

4、0,0).xy第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 1可微性可微性例例1(P115) 考察函数考察函数 f(x,y) = xy 在点在点(x0,y0)处的可微性处的可微性.解解在点在点(x0,y0)处函数处函数 f 的全增量为的全增量为00(,)f xy 0000()()xxyyx y00.yxxyxy 由于由于xy xy 因此因此( ).xyo 从而函数从而函数 f在点在点(x0,y0)处可微，且处可微，且00d.fyxxy0 (,)(0,0).xy第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 1可微性可微性二二 偏导数偏导数000(,)limxxz xyx 00 ( , ) ( ,

5、 )(2( 116),)zf x yx yDPf x yx 设设函函数数，且且在在的的某某一一邻邻域域内内有有定定定定义义义义，则则当当极极限限00(,)fxyx存在时，称这个极限为函数 在点关于 的存在时，称这个极限为函数 在点关于 的偏导数偏导数，记为，记为000000(,)(,) (,),xxxyffxyzxyx 、或或即即00000000000(,)(,)(,)(,) (,)lim.xxxxyf xx yf xyffxyzxyxx = =00( , )(,)zf x yxyy 同理可定义函数在点处关于 的偏导数为同理可定义函数在点处关于 的偏导数为00000000000(,)(,)(,

6、)(,)(,)lim.yyyxyf xyyf xyffxyzxyyy = =00000(,)(,)lim (7)xf xx yf xyx 偏增量偏增量P109第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 1可微性可微性( 116) (i)xyP这这里里符符号号， 专专用用于于偏偏导导数数算算符符，注注 与与一一元元函函00( , )(,i()( )if x yxyxy在在上上定定义义中中，在在点点存存在在关关于于或或 的的偏偏导导数数，( , )( , )( i)(iizf x yDx yx 若若函函数数在在区区域域 上上的的每每一一点点都都存存在在对对或或( , )( , )( , )( ,

7、 )( , ),xxyyf x yf x yfx yzx yfx yzxy，或， 或，或， 或.xxyyfffzfzxy也可简单记为 ， 或， 或也可简单记为 ， 或， 或0000( , )( , )|,|( , )|,|f x yx yyyxxx yxxyy 至至少少在在或或 上上有有定定义义. .)( , )()yzf x yDxy 的的偏偏导导数数，则则得得到到函函数数在在区区域域 上上对对或或 的的偏偏导导函函() . .数数 简简称称偏偏导导数数记记作作：ddx数数相相仿仿，但但又又有有差差别别；第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 1可微性可微性 由偏导数的定义可知，偏导数

8、本质上是一元函数的微分法由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法问题问题. . fx 求求时时，只要把只要把 x 之外的其他自变量暂时看成常量，对之外的其他自变量暂时看成常量，对 x 求导数即可求导数即可; ; fy 求求时时，只要把只要把 y 之外的其他自变量暂时看成常量，对之外的其他自变量暂时看成常量，对 y 求导数即可求导数即可. .其它情况类似其它情况类似. .第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 1可微性可微性解解zx 2x yz3x(1,2)zx ,82312 (1,2)zy .72213 把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 解解 xz;2si

9、n2yx yz.2cos22yx把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 22 3(1,2).zxxyy求函数在点处的偏导数求函数在点处的偏导数例例2 sin2.zxy 例例求函数的偏导数求函数的偏导数2( 117)P例例3 ;y 2.y 第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 1可微性可微性证证zx yzy yx1lnxzzyxxy 11lnlnyyxyxxxyx yyxx 2 . z 原结论成立原结论成立1 (0,1),23 ( 11.8 ln)yxzzzxxxxPzyxy 设设求求例例证证1,yx ln , x 第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 1可微性可

10、微性偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数. .( , , ),uf x y z 例例如如， ( , , ) x y z在在处处，( , , )xfx y z0( , )( , , )( , , )lim,yyf x yy zf x y zfx y zy 0( , ,)( , , )( , , )lim.zzf x y zzf x y zfx y zz 0(, , )( , , )lim,xf xx y zf x y zx 第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 1可微性可微性解解rx y、z 看成常量看成常量 22212 xyz222xxyz ;xr rz

11、 22212 xyz222zxyz .zr x、y 看成常量看成常量 222 ( , , ),.rrrr x y zxyzxyz，求，求例例 设设ry 22212 xyz222yxyz ;yr x、z 看成常量看成常量 4( 118)P例例 222xxyz 222yxyz 222zxyz 第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 1可微性可微性xyxTyTzS000( ,)P x yO0M 0tanMfx tan0Myf),(yxfz 0),(:yyyxfzC0y0 x:几几偏偏数数的的何何意意义义导导第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 1可微性可微性解解222222,0,( ,

12、 )(0,0),(0,0). 0, (200),1xyxyxyxyfPx yffxy 设设例例求求(0,0)xf xfxfx )0 , 0()0 ,0(lim0. 000lim0 xxyfyfy )0 , 0()0 , 0(lim0. 000lim0 yy(0,0)yf 该例说明该例说明偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系(P120)：多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在连续连续. .第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 1可微性可微性第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 1可微性可微性三三 可微性条件可微性条件000000( , )(,)(1) 17.

13、1(,118 ,),).)xyf x yxyfAf xyBf xyP 若若二二元元函函数数在在其其定定义义域域内内一一点点处处可可微微，则则 在在该该点点关关于于每每个个自自变变量量的的偏偏导导数数存存在在，且且式式中中定定理理可可微微的的必必的的要要（条条件件（证证(补充补充)( )zA xByo 总成立，总成立，0000(,)(,)f xx yf xy (|),Axox 000( , )(,)zf x yP xy 如如果果函函数数在在点点可可微微分分，000(,)P xx yyP在在的的某某个个邻邻域域，特别地，当特别地，当y = 0时，上式仍成立，时，上式仍成立，|,x 此此时时0000

14、(,)(,)f xx yf xyx (|),oxAx 第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 1可微性可微性0000,),).xydzfxyxfxyy （,xdxydy 由由于于则则0000,),). xydzfxy dxfxy dy （00( , )(,)zf x yxy 因因此此函函数数在在点点处处的的全全微微分分为为同理可得同理可得00,).yBfxy （00000(,)(,)limxf xx yf xyx 00,)xfxy （ 若函数若函数f(x,y)在区域在区域D上每一点处处可微分，则称函数上每一点处处可微分，则称函数f(x,y)在在区域区域D上可微分，且上可微分，且f(x,y

15、)在在D上的全微分为上的全微分为0(|)limxoxAx .A ( , ), ), ).xydzdf x yfx y dxfx y dy （第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 1可微性可微性222222,0, ( , )0, 5( 1 0 18)xyxyfPx yxyxy 考考察察函函数数在在原原点点的的例例可可微微性性. .(0,0)(0,0)xyzfxfy 22,()()xyxy 在点在点(0,0)处有处有 (0, 0)(0, 0)0.xyff证证而而22(,)(0,0)()()limxyxyxy 22(,)(0,0)lim()()xyxyxy 不不存存在在， (0,0)(0,0

16、)( ),xyzfxfyo 即即函数在点函数在点(0,0) 处不可微处不可微. .说明：说明：多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在可微可微. .第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 1可微性可微性000000 ( , )(,)( , )( , )(,)( , )17.2(,(9),)11xyzf x yxyfx yfx yxyxyPyf x 若若二二元元函函数数的的偏偏导导数数在在点点的的某某邻邻域域内内存存在在，且且和和在在点点处处连连续续，则则函函数数在在点点定定理理可可微微的的充充分分条条件件可可微微. .00 (,) f xx yy证证z 00(,)f xyy

17、00 (,)f xy00(,)f xyy 12(0,1)002(,)yfxyyy 010(,)xfxx yyx 0000(,)(,)f xx yyf xy00(,)xyffxy由由于于 与与在在点点连连续续，因因此此12(0,1)002(,)yfxyyy 010(,)xzfxx yyx 00(,)xfxyx 00(,)yfxyy (,)(0,0)lim0 xy (,)(0,0)lim0,xy 0000(,)(,)xyfxyxfxyy 所以函数所以函数( , )zf x y 00(,)xyxy 在点在点可微可微. .第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 1可微性可微性解解xye xydz

18、z dxz dy 故故，.xyxyye dxxe dy222.e dxe dy点点(2, 1)处的全微分处的全微分它们均连续它们均连续. . 因此，函数可微分因此，函数可微分. .xye xzyz (2,1). xyze 计算函数在点处的全微分计算函数在点处的全微分例例(2,1)(2,1)(2,1)xydzzdxzdy xyxe xyye xxy ,xyye yxy ,xyxe 第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 1可微性可微性全微分的定义可推广到二元以上的函数，全微分的定义可推广到二元以上的函数，.xyzduu dxu dyu dz 解解 cos2y ,yzye 所求全微分所求全微

19、分du1, xuyuzu sin.2yzyuxe计算函数的全微分计算函数的全微分例例sin2yzxyxe sin2yzyyxe sin2yzzyxe dx 1cos22yzyzedy.yzye dz ( , , )uf x y z 例例如如，12,yzze 第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 1可微性可微性多元函数连续性、可偏导性和可微性的关系多元函数连续性、可偏导性和可微性的关系函数可微分函数可微分 函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在定理定理17.1全微分注全微分注(iii)定理定理17.2P120上例上例P120中例中例P118例例5第十七章多元函数微分学

20、第十七章多元函数微分学 1可微性可微性00000( , )(,)( , )()(, )() (12)xyf x yf xyfyxxfxyy000100201217.3(,1(,)( , )()()0,201),fxyx yxxxyyyP 定定理理中中值值公公式式 * * 若若 在在点点的的某某邻邻域域内内存存在在偏偏导导数数，若若属属于于该该邻邻域域，则则存存在在和和其其中中使使得得第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 1可微性可微性四四 可微性几何意义及应用可微性几何意义及应用 3( 121) PSPP设设 是是曲曲面面 上上的的一一点点，是是通通过过点点定定义义的的一一个个平平面面

21、，S PQhd SQPdhQ曲曲面面 上上的的动动点点 到到定定点点 和和到到平平面面的的距距离离分分别别为为 和和 . . 若若当当 在在曲曲0hSPSPd面面 上上以以任任意意方方式式趋趋于于 时时，恒恒有有，则则称称平平面面为为曲曲面面 在在点点P处处的的，切切平平面面为为切切点点. .第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 1可微性可微性000017 ( , )(,(,.4( 121)zf x yPfPxyxy 设设曲曲面面在在 定定点点理理存存00( , )(,)( , ) (i)f x yP xyzf x y 设设函函数数在在点点可可微微，则则曲曲面面注注在在00( , )(

22、,)( , )(ii)f x yP xyzf x yP 设设函函数数在在点点可可微微，则则曲曲面面在在点点00( , )(,)zf x yP xy在在不不平平行行于于 轴轴的的切切平平面面的的充充要要条条件件是是函函数数在在点点.可可微微000(,)P xy z点点处处的的切切平平面面方方程程为为：0000000(,)()(,)() (13)xyzzfxyxxfxyyy000(,)xy z法法处处的的线线方方程程为为：0o00000()() . (14)(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy 第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 1可微性可微性全微分的几何意义全微分的几何意义(P1

23、23图图174)22ooo6( 123) (,)zaxbyPyM xz 试试求求抛抛物物面面在在点点处处的的切切平平面面方方程程和和例例法法线线方方程程. .解解 因为因为oooooo(,)2,(,)2,xyfxyaxfxybyM则则过过的的切切平平面面方方程程为为o0o0o2()2().zzaxxxbyyy22000zaxby因因为为, ,所所以以它它可可简简化化为为00o220.ax xby yzzM过过的的法法线线方方程程为为ooo00.221xxyyzzaxby *例例7(P123), *例例8(P124)第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 1可微性可微性第十七章多元函数微分学第十七章多元函数微分学 1可微性可微性证证 (1)令令cos ,x sin ,y ( , )(0,0)lim( , )x yf x y (0, 0)0.f 22223 2( , )(0,0