仙游一中高二数学周练七（解析版）(1)

1、仙游第一中学 21-22 学年第二学期高二数学周考（七）线 上本试卷共 16 小题，全卷满分 100 分考试用时 90 分钟（18：30-20：00）一、单择题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分51.设随机变量x B（2，p），B（3，p），若 P(x ³1) = ，则 P（2）的值为（ ）9 7 8 20 1A B C D 27 27 27 27【答案】A5 1【详解】由题给随机变量分布为二项分布，且它们的概率相同， ( 0) (1 ) 1 ,P x = = C - p = - p = ,则；0 2 29 3 1 6 7P(h ³ 2) = C p + C

2、p (1- p) = + = .故选：A 3 3 2 2 13 327 27 272已知三棱柱 ABC - A1B1C1 ，点 P 为线段 B C 的中点，则 AP =（ ）1 1uuur uuur uuur1 1AAB + AC + AA12 2uuur uuur uuur1 1BAB + AC + AA12 2uuur uuur uuur1 1CAB + AC - AA12 2uuur uuur uuur1 1D AB + AC + AA12 2【答案】D【详解】解：在三棱柱 ABC - A1B1C1 ，点 P 为线段B C 的中点，则1 1uuur uuuur uuur uuuur uu

3、ur uuuur uuuur1AB = A B , BC = B C , B P = PC = B C ，1 1 1 1 1 1 1 12uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur1所以 AP = AA + A P = AA + A B + B C1 1 1 1 1 1 12uuur uuur uuur uuur1= AA + AB + (BA+ AC)12uuur uuur uuur1 1= AB + AC + AA ，故选：D12 23.仙游县有很多优美的旅游景点.现有甲乙两位游客慕名来到仙游县，都准备从 CDEF，4个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件 A 为“甲

4、和乙至少一人选择 C”，事 件 B 为“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率 P(B A)=（ ）7A16B67C37D78【答案】B【详解】由题设，甲乙选景点 C 的概率为14，选其它景点的概率为34，2 0æ 1 öæ 3 ö æ 1 ö æ 3 ö 7则 P(A) C C= ç ÷ç ÷ + ç ÷ ç ÷ =1 02 2è øè ø è ø è ø4

5、4 4 4 16，1 3 6P AÇB = C1 = ，所以 ( )( ) ( )( ) P B A24 4 16 P(AÇ B) 6= = . P(A) 7故选：B14袋中有 4 个黑球，3 个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出 2 点的概率为（ ）A23B14C521D523【答案】C1 Ci【详解】记 A :骰子掷出的点数为 i，(i =1, 2,3)，事件 B: 取出的球全是白球，则 P(A ) = , P(B| A )= 3 ，i ii i6 C73 C C C1 1 1 1 3 1 1 1 1 11 2 3= &

6、#229; g = ´ + ´ + ´ = ´ + ´ + ´ = 所以 ( ) ( ) ( )P B P A P B| A3 3 3 i i1 2 36 C 6 C 6 C 6 7 6 7 6 35 10 i=1 7 7 7所以若已知取出的球全是白球，则掷出 2 点的概率为： ( )P A | B21 1´P A B 5( )6 7= = = .故选：C.2( ) 1 21P B105. 下图上半部分为一个油桃园.每年油桃成熟时，园主都需要雇佣人工采摘，并沿两条路径将采摘好的油桃迅速地运送到水果集散地C 处销售.路径 1：

7、先集中到 A 处，再沿公路 AC 运送；路径 2：先集中到 B 处，再沿公路 BC 运送.园主在果园中画定了一条界线，使得从该界线上的点出发，按这两种路径运送油桃至C 处所走路程一样远.已知 AC = 3km ，BC = 4km ，若这条界线是曲线 E 的一部分，则曲线 E 为（ ）A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线【答案】D【详解】由题意，从界线上的点 P 出发，经 A 到C 与经 B 到C ，所走的路程是一样的，即 AP + AC = BP + BC ，所以 AP - BP = BC - AC ，又由 BC = 4, AC = 3，所以 AP - BP = 4-3 =1，又由

8、 AB = 5，根据双曲线的定义可知曲线 E 为双曲线的一部分. 故选：D.6. 已知函数 f (x) 是定义域为 R 的偶函数，且 f (x -1) 是奇函数，当0 £ x £1时 ，有 f (x) = 1- x2 ，若函数 y = f (x) - k(x - 2021) 的零点个数为 5，则实数 k 取值范围是（ ）A.151<k< B.216<k<13C.3122 6<k< 或k = - D.4 12 3 6- <k < - 或 3 12612<k<33【答案】C2【详解】偶函数 f (x) ， f (-x)

9、 = f (x)， f (x -1) 是奇函数，得 f (x -1) = - f (-x -1) ，即f (x) = - f (-x - 2) ， - f (-x - 2) = f (-x) ，得T = 4， f (x) - k(x - 2021) = 0 ，即 y = f (x) 与y = k x - 的图像交点的个数，因为T = 4，即为 y = f (x) 与 y = k(x -1) 的图像交点的个数，因为( 2021)f x = - x 的图像为半圆，故由图像可知斜率 k 应该在 k1 与( ) 12k 之间或为2k ，32 3 6k = ,k = ,k = -1 2 34 12 12

10、3122 6<k< 或 k = - ，4 12故选：C.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点二、多选题：全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分7.若随机变量x : N(0,1)，f(x)= P(x

11、£ x)，其中 x > 0 ，下列等式成立有( )Af (-x)=1-f (x) Bf(2x)= 2f(x) C P(x < x)= 2f (x)-1 D P(x > x)= 2 -f( x)【答案】AC【详解】Q 随机变量x服从标准正态分布 N (0,1) ，正态曲线关于x = 0 对称，Qf = x ， x > 0) ，根据曲线的对称性可得：(x) P( xA.f(-x) =f(x ³ x) =1-f(x) ，所以该命题正确；B.f(2x) =f(x £ 2x), 2f(x) = 2f(x £ x) ，所以f (2x)= 2f

12、 (x)错误；3C. P(|x |< x)=P(-x £x £ x) =1- 2f(-x) =1- 21-f(x) = 2f(x) -1 ，所以该命题正确；D. P(|x |> x) = P(x > x 或x < -x)=1-f(x)+f(-x) =1-f(x)+1-f(x) = 2-2f(x) ，所以该命题错误故选 AC 8.如图，已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中，四边形 ABCD 为正方形，AB=2，AA1= 2 ，E，F分别为 AB，BC 的中点则（ ）AA1EDFB点 A1、E、F、C1 四点共面C直线 C1D 与平面 BB1C1C

13、所成角的正切值为 2D三棱锥 EC1DF 的体积为22【答案】BCD【详解】对于 A，假设A E DF ，由题意知 BC 平面1AA B B ，A E Ì1 1 1平面AA B B ，1 1 A E BC ，又， A E 平面 ABCD，由长方体性质知1 1A E 与平面1ABCD不垂直，故假设不成立，故 A 错误；对于 B，连接 EF ， AC ， A1C1 ，由于 E，F 分别为 AB ， BC 的中点，EF / AC ，又由长方体ABCD - A B C D ，知1 1 1 1AC / AC ，EF / AC ，所以点1 1 1 1A 、E、F、C 四1 1点共面，故 B 正确

14、；对于 C，由题意可知 DC 平面 B B1C1C ，ÐDC1C 为直线C1D 与平面 BB1C1C 所成角，在直角DCC1DC 2 tan ÐDC C = = = 2 ，故 C 正确；中，CC1 = 2 ，CD = 2 ，则 1C C 21对于 D，连接 DE ，C1E ，Q AB = AD = 2，则S = S - S - S - SVDEF YABCD VADE VBEF VCDF1= 2´2 - ´2´121 1 3- ´1´1- ´1´2 = ，利用等体积法知：2 2 21 1 3 2V - =

15、V - = ×S ×CC = ´ ´ 2 =E C1DF C1 DEF DEF 1V3 3 2 2，故 D 正确.故选：BCD.9. 若实数t ³ 2，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. (t + 2)ln(t +3)< (t +3)ln(t + 2) B. ( ) ( )t+2 t+1t +1 > t + 241C. ( ) log t+ t + 2 > log t+ t +3logt t 1 1+ < + D. ( ) ( ) ( ) ( )1 2t【答案】ABDf x【详解】对于 A，设 ( )ln x 1- l

16、n x= ，则 ¢( ) = ，f xx x2当 x ³ 4 时， f ¢(x)< 0恒成立， f (x)在4,+¥)上单调递减，Qt ，t + 2 ³ 4 ， f (t + 2)> f (t + 3)，即 ln( 2) ln( 3)³ 2 >t + t +t + 2 t + 3，(t + 2)ln (t + 3)< (t + 3)ln (t + 2)，A 正确；对于 B，由 A 知， f ¢(x)< 0在3,+¥)上恒成立， f (x)在3,+¥)上单调递减，Qt ，t +

17、1³ 3 ， f (t +1)> f (t + 2)，即 ln( 1) ln( 2)³ 2 >t + t +t +1 t + 2，(t + 2)ln(t +1)> (t +1)ln (t + 2)，即 ( ) ( )t+2 t+1ln t +1 > ln t + 2 ，t+2 t+1( + ) > ( + ) ，B 正确；t 1 t 2+ < + ，则 ln( 1) 11 t + t +对于 C，若 logt (t 1) 1< ，即t lnt tln +1 ln(t ) t<t +1 t；由 A 知，当 xÎ2,e)

18、时， f ¢(x)> 0；当 xÎ(e,+¥)时， f ¢(x)< 0； ( )在2,e)上单调递增，在(e,+¥)上单调递减，f xQ ，若 2 £ t < e，此时 f (t)与 f (t +1)大小关系不确定，即 ln( 1)t +1> et +t +1与lntt大小关系不确定，C错误；g x对于 D，设 ( )ln x +ln(x 1)ln(x 1)+ - - + +xln x x 1 ln x 1( ) ( )= ，则 ( )x +1 xg¢ x = =ln x2 2( x) x x xln

19、 1 ln( + )( )；令 h(x) = x ln x ，则 h¢(x) = ln x -1，当 x ³ 3时， h¢(x)> 0，即 h(x)在3,+¥)上单调递增，当 x ³ 3时， xln x < (x +1)ln (x +1)，此时 g¢(x)< 0，g (x)在3,+¥)上单调递减，Qt ，t +1³ 3 ，g (t +1)> g (t + 2)，即³ 2ln(t + 2) ln (t +3)>ln(t +1) ln (t + 2)，log( ) ( + 2)&

20、gt; log( ) ( + 3)，D 正确. 故选：ABD.t+ t t+ t1 25三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分10. 数学老师从 6 道习题中随机抽 3 道让同学检测，规定至少要解答正确 2 道题才能及格。某同学只能求解其中的 4 道题，则他能及格的概率是_【答案】45【详解】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：C C C C 42 1 3 0p(X 2) p (X 2) p (X 3)³ = = + = = 4 2 + 4 2 = .C C 5 3 36 611.已知箱中装有 10 个不同的小球，其中 2 个红球、3 个黑球和 5 个白

21、球，现从该箱中有放回地依次取出 3 个小球.则 3 个小球颜色互不相同的概率是_；若变量x 为取出 3 个球中红球的个数，则x 的方差 D(x )=_.【答案】9501225 1 3 1P A = , P B = , P C = . 5 10 2【详解】设抽取一次，抽到到红球、黑球、白球的事件分别为 A, B,C ，则 ( ) ( ) ( )则“从该箱中有放回地依次取出3个小球.则3个小球颜色互不相同”的事件有A 种情况，每种情况的概率331 3 1 3都为 P(A)× P(B)× P(C) = ´ ´ = ，所以“从该箱中有放回地依次取出3个小球.则3

22、个小球颜色5 10 2 100互不相同的概率”为3 3 9A × = 6´ = .33100 100 50x依题意可知变量æ 1 ö: B ，所以 D(x )3,ç ÷è ø51 æ 1 ö 12= 3´ ´ç1- ÷ =5 5 25è øx y2 212.设椭圆 + = ( > > )的左右焦点分别为 F1 2 2 1 0a ba bF ， P 是椭圆上一点，2PF = l PF ，1 2æ 1 ö&#

23、163; l £ 2ç ÷è ø2， F PFÐ = ，则椭圆离心率的取值范围为_.1 22é ù2 5【答案】 ,ê ú2 3ë û【分析】设 PF2 = t ，则PF = lt ，由椭圆定义可得(l +1)t = 2a 即(l + ) = ，由勾股定理可得( )1 t 4a l + = ， 2 2 2 2 1 t2 4c22 2 2 2 1 t2 4c21e2两式相除可得=l2+12(l )+1é3 ù，再令 m = l + Î ê

24、 ú1 ,3由函数的性质可得e2 的范围，进而可得椭圆离心率的取值ë û2范围.【详解】6设 F (-c )， F2 (c,0)，由椭圆的定义可得1 ,0PF1 + PF2 = 2a，设 PF2 = t ，则PF = lt ，所以(l +1)t = 2a ，即( )l +1 t = 4a ，2 2 21Ð = ，所以( )l2 +1 t2 = 4c2 ， 因为 F PF1 22两式相除可得l +1 c2 2= =2 2a( )l +1e2，é3 ù令 m l 1 ,3 可得l = m -1，= + Î ê 

25、0;ë û2 2 2 2 2 2 +1 ( 1) 1 2 æ1 ö 1所以e = = = = 2× - 2 × +1l m - + m - m + 2ç ÷ 2 2 2m m m m ( ) è øl +1 2 æ 1 1 ö 1= 2×ç - ÷ +è øm 2 2，因为32£ m £ 3，所以1 1 2£ £ ，3 m 3所以当1 1= 即m = 2 ，l =1时e2 取得最小值m

26、212，此时e 最小为 22，当1 1= 或m 3233即 m = 3，l = 时e2 取得最大值259，此时e 最大为 53，所以椭圆离心率的取值范围为 2 5 £ x £ ，2 3é ù2 5故答案为： , .ê ú2 3ë û四、解答题：本题共 4 小题，共 40 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1 2 113. （本小题 6 分）已知 P(A)= P(B A)= P(B A)= ,求 P(B)，P(A B)., ,2 3 417 3【答案】 P(B)= ， ( )P A B = .24 7【详解】因

27、为 P(B A)P BA P BA P BA 2( ) ( ) ( )= = = =P(A) 1- P(A) 1- 3- -121，所以 P(B )= ，A3P(BA)3 3因为 P(B A) P B A P B A= = - = ，所以 P(BA)= ，, ( ) 1 ( )P(A) 4 81 3 17 7因此 P(B)= P(B )+ P(BA)= + = ， ( ) ( )A P B =1- P B = ,3 8 24 241 P(A)1 2 3从而 ( ) ( )P A B = P B A = ´ = .P(B) 4 7724714（本小题 10 分）仙游一中将进行篮球定点投

28、篮测试，规则为：每人至多投 3 次，在 M 处投一次三分球，投进得 3 分，未投进不得分，在 N 处连续投 2 次两分球，每投进一次得 2 分，未投进不得分，测试者累计得分高于 3 分即通过测试，并终止投篮（若前两次投篮后确定不能通过测试也终止投篮）甲同学为了通过测试，刻苦训练，投中 3 分球的概率为15，投中 2 分球的概率为12，且每次投篮结果相互独立不受影响（1）若甲同学先投 3 分球，则通过测试的概率；（2）为使投篮累计得分期望最大，甲同学应先投几分球？并说明理由【答案】（1）720；（2）甲同学先投 2 分球投篮累计得分期望最大；理由见解析【分析】（1）甲同学通过测试包括 3 种情况

29、：一是在 M 处投进 3 分球，在 N 处第一次投进 2 分球，二是在 M处投进 3 分球，在 N 处第一次没投进，第二次投进 2 分球，三是在 M 处没投进 3 分球，在 N 处连续两次投进 2 分球，分别求出对应的概率，再利用相互独立事件的概率公式求解即可，（2）记甲同学先投 3 分球投篮累计得分为 X，先投 2 分球投篮累计得分为 Y，则 X 可能取 0，2，3，4，5，Y 可能取 0，2，4，5，求出其对应的概率，从而可求出 X，Y 的期望，进行比较即可【详解】解：（1）记甲同学通过测试的概率为 p，则 1 1 1 1 1 4 1 1 7p = ´ + ´ 

30、0; + ´ ´ = ； 5 2 5 2 2 5 2 2 20（2）记甲同学先投 3 分球投篮累计得分为 X，先投 2 分球投篮累计得分为 YX 可能取 0，2，3，4，54 1 2 4 1 1 1P(X = 0) = ´ = ， P(X = 2) = ´ ´ = ，5 2 5 5 2 2 51 1 1 1P X = = ´ ´ = ，( 3)5 2 2 204 1 1 1P(X = 4) = ´ ´ =5 2 2 51 1 1 1 1 3P X = 5 = ´ + ´ ´

31、=( )5 2 5 2 2 20 1 1 1 3E (X )= 2´ + 3´ + 4´ + 5´ = 2.1 5 20 5 20Y 可能取 0，2，4，51 1 1 1 1 4 2P(Y = 0) = ´ = ， P(Y = 2) = C1 ´ ´ ´ = ，22 2 4 2 2 5 51 1 1P(Y = 4) = ´ = ，2 2 41 1 1 1P(Y = 5) = C ´ ´ ´ = 122 2 5 10 2 1 1 23E (Y )= 2´ + 4

32、80; + 5´ = > 2.1 5 4 10 10故甲同学先投 2 分球投篮累计得分期望最大815.（本小题 12 分）如图，在多面体 ABCDEF 中 ，ABCD是正方形，AB = 2，DE = BF，BF / /DE ，M 为棱 AE 的中点（1）求证：平面 BMD / / 平面 EFC ；（2）若 ED 平面 ABCD， BM CF ，求二面角E - AF - B 的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2） 3 - 3【解析】【分析】（1）连接 AC ，交 BD 于点 N，连接 MN ，由三角形中位线定理可得 MN / /EC ，再由线面平行的判定定理可得 MN / /

33、平面 EFC ，由已知条件可得四边形 BDEF 为平行四边形，则有 BD / /EF ，再由线面平行的判定定理可得 BD / / 平面 EFC ，从而由线面平行的判定定理可证得结论；（2）由已知条件可得 DA、DC、DE 两两垂直，所以分别以 DA、DC、DE 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可【详解】解析：（1）证明：如图，连接 AC ，交 BD于点 N，N 为 AC 的中点，连接 MN ，由 M 为棱 AE 的中点，则 MN / /EC MN Ë面 EFC ， EC Ì 面 EFC ， MN / / 平面 EFC BF / /

34、DE，BF = DE ，四边形 BDEF 为平行四边形， BD / /EF 又 BD Ë 平面 EFC ， EF Ì 平面 EFC ， BD / / 平面 EFC ，又 MN I BD = N ，平面 BMD / / 平面 EFC （2） ED 平面 ABCD，ABCD 是正方形9分别以 DA、DC、DE 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，设 ED = 2a ，则 B(2, 2, 0), M (1, 0,a),C(0, 2, 0), F(2, 2, 2a), E(0, 0, 2a)A(2, 0, 0)BM = (-1,-2,a),CF = (2, 0, 2a)

35、Q EA = (2,0,-2), AF = (0, 2, 2)BM CF-1´2+ a´2a = 0a =1ì2x - 2z = 0 v设平面 EAF 的法向量为 m = (x, y, z)，则 ( )m = 1,-1, 1 í2y + 2z = 0 î BF / /DE, DE 平面 ABCD, BF 平面 ABCDBF DA，又 DA AB DA 平面 AFB ，平面 AFB 的法向量为 DA = (2,0,0)ur uuur2 3Qcos m, DA = = 1+1+1´2 3，由图可知二面角 E - AF - B 为钝角，3二

36、面角的 E - AF - B 余弦值为 - 3【点睛】关键点点睛：此题考查面面平行的判定，考查二面角的求法，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可，考查推理能力和计算能力，属于中档题16. （本小题 12 分）已知函数 ( )f x ln x= x（1）判断 f (x)的单调性，并比较 20202021 与 20212020 的大小；a2（2）若函数 g (x) = (x - 2) + x(2 f (x)-1)，其中21 e£ £a ，判断 g (x)的零点的个数，并说2 2明理由【答案】（1）在 (0, e)上单调递增，在(e,+¥)上单调递减，

37、20202021 > 20212020（2）1 个零点，理由详见解析10【解析】【分析】（1）求出 f ¢(x)，由 f ¢(x)³ 0， f ¢(x)< 0求出 f (x)的单调区间，由函数在 (e,+¥) 单调递减，可得ln 2020 ln 2021> ，进而得到 20202021 > 20212020 .2020 2021¢ (ax -1)(x - 2) 1g (x) = ，当 a = 时，求出 g(x) 的单调性，根据零点存在定理可得出结 （2）由题意得，x 2 1 e< a £ 时，先

38、求出 g(x) 的单调性，得出 g(x) 的极值，分析其极值符号，再根据零点存在定理可 论；当2 2得出结论.【小问 1 详解】1- ln x已知 f (x) 的定义域为 (0,+¥)， ¢( ) = ，f x x2当 0 < x £ e 时， f ¢(x)³ 0，所以函数 f (x) 在(0,e)上单调递增；当 x>e时， f ¢(x)< 0，所以函数 f (x) 在 (e,+¥) 上单调递减.因为函数 f (x) 在 (e,+¥) 上单调递减，所以 f (2020) > f (2021)

39、 ，即ln 2020 ln 2021> ，2020 2021所以 2021×ln 2020 > 2020×ln 2021，即 ln 20202021 > ln 20212020 ，所以 20202021 > 20212020 .【小问 2 详解】a 2 æ 1 e ög x = x - x + + x - xç £ a < ÷( ) ( 4 4) 2ln2 2 2è ø，所以：2 ax -(2a +1)x +22g¢(x) = ax + - 2a -1=x x(ax -1)(x - 2)= .x1 1a = 时， g(x) = (x - 2)2 + 2 ln x - x ，当2 4(x - 2)2g¢(x) = ³ 0 ，2x所以 g(x) 在(0,+¥)上单调递增，由 g(2) = 2 ln 2 - 2 < 0 ， g(6) = 2 ln 6 - 2 > 0，1可知当 a = 时，存在x0 Î(