重点强化课函数概念与性质

1、函数的概念与性质复习导读函数是中学数学的核心概念，函数的概念与性质既是中学数学教 学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以选择题、填空题为主, 既重视三基，又注重思想方法的考查.备考时，要透彻理解函数，尤 其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强数形结合思想、 分类讨论思想.函数与方程思想的应用意识.题型突破强化点1例0函数的定义域与解析式x? 5x+ 6 12022 湖北卷函数 fx = 4- |x|+ lgx 3的定义域为)A (2, 3)B. (2, 4C (2, 3)U (3, 4 D. (- 1, 3) U (3, 6(2)(2022湖南卷)f(x), g(x)分别是定义在R

2、上的偶函数和奇函数，且 f(x)-g(x)=x3+x2+1,贝y f(i)+g(i)=()A. - 3 B.- 1C. 1 D. 3解析：1法一 当x= 3和x= 5时，函数均没有意义，故可以排除选项B, D;当x = 4时，函数有意义，可排除选项 A，应选C.4|x|?0,4w xW 4, 法二 由x2 5x+ 6 得故函数定义域为(2,> 0,x> 2且 xm 3,x 33)U (3, 4,应选 C(2)法一/ f(x) g(x) = x3 + x2 + 1 ,f( x) g( x) = x3 + x2+ 1,又由题意可知 f( x) = f(x), g( x)= g(x),f

3、(x) + g(x) = x3+x2+1,贝U f(1) + g(1)= 1.法二 令f(x)= x2 +1, g(x) = x3，显然符合题意，/.f(1) + g(1) = 12+1 13=1.答案：(1)C(2)C'规律方法J1. 本例(1)考查了函数定义域的求法，绝对值不等式和分式不等式的求解，注重考查运算求解能力，在利用数轴求交集时，考查了数形结合思想的应用.2. 在求解 时，巧妙地沟通未知与的内在联系，先求出f(x)+ g(x)的表达式，进而求出f(1) + g(1)的值，解法简捷明快.【变式训练】(2022武汉一模)假设函数f(x) = 2x2 + 2ax a 1的定义域

4、为R，那么a的取值范围是.解析：由题意知2x2 + 2ax a 1 > 0恒成立， ° x + 2axa?0恒成立， = 4a + 4a w 0 , 1 w aw 0.答案：1, 0强化点2函数的值域与最值例醪(2022浙江卷)函数f(x) =,f(x)的最小值是X2, xw 1,X+ X-6, X> 1,那么 f(f( - 2)=6 1解析：f(f( 2)= f(4) = 4+ 4 6= 2,当 xw 1 时，f(x) min =0；6 当 x> 1 时，f(x) = x+ x 6.6 一令f ' (=)1 x2= 0,解得X= 6(负值舍去).当 1vX

5、V 6时,f'(x)v0；当 x> 6时,f'(x)>0,f(x)的最小值为 f( 6)= 6+ ； 6= 2 6 6.综上，f(x)的最小值是2 6 6.规律方法此题运用分段函数问题分段求解的方法，同时利用导数研究函数 的最值，表达了分类讨论思想、转化与化归思想的应用.“.x+2的最大值为M，最小值为m那么m为cl 1C.2 D.4解析：T 2<x< 2, y2= 4+ 2 4-x2,当 x= 0 时，M = 2 2,当 x= i2 时，m= 2.m 22M = 2 2= 2 答案：B强化点3函数性质的综合应用多维探究高考常将函数的单调性、奇偶性、周期

6、性综合考查，常见的命题角度有：1单调性与奇偶性渗透；2周期性与奇偶性交汇；3单调性、奇偶性、周期性综合交汇命题.角度一单调性与奇偶性交汇1. 函数fx是定义在R上的偶函数，且在区间0,+乂上单调递增.假设实数a满足flog2a+ flogla2f1,那么a的取值范围 2是()A. 1, 2 B.0,斗C£ 2 D. (0, 2解析：丁f(logla) = f( log2a) = f(loa)，原不等式可 化为 2f(logza)wf(1).又 tf(x)在区间0,+乂)上单调递增，二 0< loaw 1, 即 1< a< 2.Vf(x)是偶函数，/.f(log2a)

7、< f(-1).1又f(x)在区间(x, 0上单调递减，二K log2a<0,二2= a<1.综上可知a< 2.答案：C角度二奇偶性与周期性的应用2.(2022安徽卷)假设函数f(x)(x R)是周期为4的奇函数，且在0, 2上的解析式为f(x) =2929 +x (1 x), 0< x< 1 ,sin n x, 1v x< 2,解析：由于函数f(x)是周期为4的奇函数,所以 匕丿+ f6戶fv2x 44丿+ 2X 46戶f厂4丿+ R6丿= f4丿-切16+ sin 6 = 16.答案:516角度三单调性、奇偶性与周期性综合交汇3.定义在 R上的奇函

8、数f(x)满足f(x 4)= f(x),且在区间0, 2上是增函数，贝S ()A. f(- 25) v f(11)v f(80)B. f(80)v f(11)v f(- 25)C. f(11)v f(80) v f(- 25)D. f(- 25)v f(80)v f(11)解析：/ f(x)满足 f(x- 4)= f(x),f(x 8)= f(x)，二函数f(x)是以8为周期的周期函数，贝S f(- 25)=f(-1), f(80)= f(0), f(11)= f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足 f(x 4)=-f(x),得 f(11)= f(3)=- f(- 1) = f(1)

9、.vf(x)在区间0, 2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，f(x)在区间2, 2上是增函数，f( 1)vf(0)vf(1)，即 f(-25)vf(80)vf(11).答案：D规律方法函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略1. 函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定 义，以及奇、偶函数图象的对称性.2. 周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题，常利用 奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到解析式的函数定义域内求解.3. 单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.【变式训练】(2022豫东、豫北

10、十所名校联考)以下函数既是 奇函数，又在区间1, 1上单调递减的是()A. f(x)= sin xB. f(x) = InC. f(x)= |x + 1| D. f(x) = *ex-e x)解析：对于A, y=sin x是奇函数，但它在1, 1上为增函数;2 x 对于 B,由(2 x)(2 + x)>0,得一2vxv 2,所以 f(x) = In 的定2 + x2 + x2 x乂域是(2, 2),关于原点对称，因为f( x) = In = In2 x2 + x2 x2 x4f(x),所以f(x) = In是奇函数.又t= 1+ 在区间2 + x2+ x2 + x2 xT' 1上

11、单调递减故由复合函数的单调性可知函数f(x) = In 2+ x在区间1, 1上单调递减；对于C, f(x)= |x +1|为非奇非偶函数； 对于D, f(x) =；(ex e-x)是奇函数，但它在1,1上为增函数.答案：B燼追效提能1分辭训1单腔成冊、选择题1 .函数y= jg x*的定义域是()A. x|0vxv2B. x|0vxv 1 或 1 vxv2C. x|0vx<2D. x|0v xv 1 或 1 v x< 22x>0,解析：要使函数有意义只需x>0, 解得0vxv 1或1 vx<ig Xpp2-x2,所以函数y= ig x的定义域为x|0v xv 1

12、或1vx< 2.答案：D2.函数f(x)= ax + loga(x + 1)在0,1上的最大值和最小值之和为a,那么a的值为()A 11A_B.A4b.2C. 2 D . 41解析：当 a> 1 时，a +1042 +1 = a, 1。2= 1,所以 a= ?,与1 a> 1 矛盾；当 0vav 1 时，1 + a+ loga2 = a, loga2= 1,所以 a=三答案：B3.以下函数是奇函数,并且在定义域上是增函数的是A.1 y= XB.y=In |x|x+1, x>0C.y= sin xD.y=¥x 1, xv 01解析：Ty= In |x|为偶函数，

13、故排除B; y=',y = sin x在其定义域上无单调性，故排除A, C.只有选项D满足.答案：D4. 函数f(x)是定义在区间0,+兔)上的函数，且在该区间上单调递增，那么满足f(2x 1)vf(3)的x的取值范围是()1212A.(3,3)B.3,3)1212c .©3)d .q3)2x 1> 0,1 2解析：由，得1 ，即2< XV 3.|2x 1V：233答案：D5. 设偶函数f(x)的定义域为R,当x 0, +乂)时f(x)是增函数,那么f( 2), f(n ), f( 3)的大小关系是()A. f(n )>f( 3)>f( 2)B. f(

14、 n )>f( 2)>f( 3)C. f(n )V f( 3)V f( 2)D. f(n )V f( 2)V f( 3)解析：因为n>3>2,且当x 0,+乂)时f(x)是增函数，所以f(町 > f(3) > f(2).又函数f(x)为R上的偶函数，所以 f( 3) = f(3), f( 2) = f(2),故 f(兀)> f( 3)> f( 2).答案：A6. 宦义在R上的奇函数于(工)满足*卫一4) = 且在区间0挖上是增函数，那么()A. /( 25)</(11)</(80)Ik /(80)</(11)</(-25)

15、G /(11)</(80)</(-25)D. /(-25)</(80)</(11)解析:V/(x)满足十(工一4) = fS ,A/(x-8)=/<jc),二函数JW是以8为周期的周期函数，那么 /(-25)=/(-1),/(80) = /(0)?/(11)=/(3).由/(刃是定义在R上的奇函数，且满足 fix 4) = /(X)在区间0,2上是增函数(工)在R上是奇函数搜 在区间 2,2上是增函数，A/(-l)</(0)</(l),即 /<-25)</(80)</(11). 答案二、填空题7. 假设函数y= log2(ax2 +

16、2x+1)的值域为R，那么a的取值范围为解析：设f(x) = ax2 + 2x+ 1,由题意知，f(x)取遍所有的正实数.当a> 0a= 0时，f(x)= 2x+ 1符合条件；当az 0时，贝S，解I = 4 4a> 0得 0v a< 1所以 0w a< 1.答案：0, 18. f(x)是定义在R上的偶函数，在区间0,+乂)上为增函数，且f(1) = 0,那么不等式f(x)>0的解集为.解析：由f(x)在 R上为偶函数，且f(j = 0, f(x) >0 等价于 f(|x|)> f(3),又f(x)在0,+ X)上为增函数,111 |x|>3,即

17、卩 x>3或 XV 3答案：x|x> 3或 xv ；9. 函数f(x), g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数， 且 g(x) = f(x 1),贝y f(2 015)的值为.解析：g( x) = f( x 1)，由f(x), g(x)分别是偶函数与奇函数,得 g(x)= f(x + 1),.f(x 1)= f(x+1),即卩 f(x + 2)= f(x),.f(x+ 4)= f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，贝Sf(2 015)= f(504X 4 1) = f( 1) = g(0) = 0.答案：0三、解答题2x2 + 2x, x>0,10 .函数f(x

18、)= 0, x= 0,是奇函数.2x2+ mx, xv 0(1) 求实数m的值；(2) 假设函数f(x)在区间1, a 2上单调递增，求实数 a的取值 范围.解：设XV0,那么x>0,所以 f( x)= ( x)2 + 2( x)= x2 2x又f(x)为奇函数，所以f( x)= f(x),于是 xv0 时，f(x) = x2+ 2x= x2+ mx, 所以m= 2.(2)由(1)知 f(x)在1, 1上是增函数，要使f(x)在1, a 2上单调递增.I a 2 > 1,结合f(x)的图象知i a 2 w 1,所以1vaw 3,故实数a的取值范围是(1, 3.11.函数f(x)= 2|x 2|+ ax(x R)有最小值.(1) 求实数a的取值范围；(2) 设g(x)为定义在