第二节一元二次方程及其应用

1、 第二章第二章 方程（组）与不等式（组）方程（组）与不等式（组）第二节第二节 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 考点精讲一元二次方程一元二次方程 及其应用及其应用一元二次方程及其解法一元二次方程及其解法根的判别式及根与系数的关系根的判别式及根与系数的关系一元二次方程实际应用的常见类型一元二次方程实际应用的常见类型 一元二次方一元二次方程及其解法程及其解法概念：只含有一个未知数，并且未知数的最概念：只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数是高次数是2的整式方程的整式方程一般形式：一般形式：ax2+bx+c=0（其中（其中a ,b , c为常数，为常数， _）四种解法四种解法a0四种解法四

2、种解法解法解法适用形式适用形式方程的根方程的根口诀口诀直接开直接开平方法平方法x2=p(p0) x=1.方程没有一次项（即方程没有一次项（即b= 0），），直接开方最理想直接开方最理想; ;如果缺少常数项（即如果缺少常数项（即c=0），），因式分解没商量因式分解没商量； b, c相等都为相等都为0，等根是等根是0 不要忘不要忘； b, c同时不为同时不为0, 因式分解或配方，也可因式分解或配方，也可直接套公式，因题而异直接套公式，因题而异 择良方；择良方；2.使用配方法较简单的方使用配方法较简单的方 程特点：将二次项系数程特点：将二次项系数 化为化为1 1后，一次后，一次 项系数为偶数项系数为

3、偶数( x+n)2=p(p0) x=_ 配方法配方法可配方可配方a(x+h)2=k( 且且a0) x=公式法公式法 ax2+bx+c=0(a0,b2-4ac0)x=_因式分因式分解法解法可化为可化为 a(x+m)(x+n)=0 的方程的方程 x=-m, -np pnkha242bcaca 0ka温馨提示温馨提示：1.用因式分解法解一元二次方程时，易出现方用因式分解法解一元二次方程时，易出现方 程的右边没有化为程的右边没有化为0，左边直接因式分解的错，左边直接因式分解的错 误；误；2.用公式法解一元二次方程，在确定系数用公式法解一元二次方程，在确定系数 a、b、c时，易忘记先将一元二次方程化为一

4、时，易忘记先将一元二次方程化为一 般形式；般形式；3.对于缺少常数项的一元二次方程，对于缺少常数项的一元二次方程， 方程两边不能同时除以未知数或含有未知数的方程两边不能同时除以未知数或含有未知数的 项，如解项，如解x2-5x=0时，易出现方程两边同时除以时，易出现方程两边同时除以 x，遗漏，遗漏x=0的情况的情况根的判别根的判别式及根与式及根与系数的关系数的关 系系根的判别式根的判别式（2011版课标新增内容）版课标新增内容）*根与系数的关系：若根与系数的关系：若x1, x2是一元二次方是一元二次方ax2+ bx+c=0（a0）的两根，则）的两根，则 x1+x2=_，x1x2=_ （2011版

5、课标选学内容版课标选学内容)bacab2-4ac0 一元二次方程有两个不相等的实数根一元二次方程有两个不相等的实数根b2-4ac=0 一元二次方程有两个一元二次方程有两个_的实数根的实数根b2-4ac0 一元二次方程一元二次方程_实数根实数根根根的的判判别别式式没有没有(无无)相等相等一元二次一元二次方程实际方程实际应用的常应用的常见类型见类型 平均增长率（下降率）平均增长率（下降率）问题（设问题（设a为原来量，为原来量，b为变化后的量）为变化后的量）利润问题利润问题a(1+m)n=b (m为平均增长为平均增长率，率，n为增长次数为增长次数)a(1-m)n=b (m为平均下降为平均下降率，率，

6、n为下降次数为下降次数)面积问题常见图形面积问题常见图形利润问题利润问题1.利润售价利润售价-进价进价2.利润率利润率= 100%利利润润进进价价面面积积问问题题常常见见图图形形（1）如图（）如图（1），设空白部分的宽为），设空白部分的宽为x，则，则 S阴影阴影(a-2x)(b-2x)（2）如图（）如图（2），设阴影部分的宽为），设阴影部分的宽为x，则，则 S空白空白_（3）如图（）如图（3），设阴影部分的宽为），设阴影部分的宽为x，则，则 S空白空白=_(a-x)(b-x)(a-x)(b-x) 重难点突破一根的判别式根的判别式例例1（2016泸州泸州）若关于）若关于x的一元二次方程的一元二次

7、方程x2+2(k-1)x+k2-1=0有实数根，则有实数根，则k的取值范围是（的取值范围是（ ）A. k1 B. k1 C. k1 D. k1【解析解析】由一元二次方程有实数根知由一元二次方程有实数根知b2-4ac0,即即2(k-1)2-4(k2-1)0，解得，解得k1.D【拓展拓展1】（2016昆昆明明）一元二次方程）一元二次方程x2-4x+4=0的根的的根的情况是（情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根有两个相等的实数根C. 无实数根无实数根 D. 无法确定无法确定【解析解析】a=1, b=-4, c=4,b2-4ac=(-4)2-414=0，

8、方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根,故选故选B.二一元二次方程的实际应用一元二次方程的实际应用例例2（2016贺州贺州）某地区）某地区2014年投入教育经费年投入教育经费2900万元，万元，2016年投入教育经费年投入教育经费3509万元万元.(1)求求2014年至年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率年该地区投入教育经费的年平均增长率;(2)按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产 总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况， 该地区到该地区到2018年需投入教育

9、经费年需投入教育经费4250万元万元.如果按如果按(1)中教中教 育经费投入的增长率，到育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费是年该地区投入的教育经费是 否能达到否能达到4250万元？请说明理由万元？请说明理由. （参考数据参考数据： =1.1, =1.2, =1.3， =1.4）. 1 21. 1 44. 1 69. 1 96解解：(1)设设2014年至年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率年该地区投入教育经费的年平均增长率为为x，由题意得：，由题意得：2900(1+x)2=3509,解得：解得：x1=0.1=10%, x2=-2.1(不合题意不合题意,舍去舍去).答：

10、答：2014年至年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为年该地区投入教育经费的年平均增长率为10；(2)到到2018年该地区投入的教育经费不能达到年该地区投入的教育经费不能达到4250万元万元.理由如下：理由如下：按按10的增长率，到的增长率，到2018年投入教育经费为：年投入教育经费为：3509(1+10)24245.89(万元万元)，4245.894250.按此增长率到按此增长率到2018年该地区投入的教育经费不能达到年该地区投入的教育经费不能达到4250万元万元.【拓展拓展2】（2016赤峰赤峰）如图，一块长）如图，一块长5米米宽宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两米的地毯，为了

11、美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的面积的 .（1）求配色条纹的宽度；）求配色条纹的宽度；（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余元，其余部分每平方米造价部分每平方米造价100元，求地毯的总造价元，求地毯的总造价.1780拓展拓展2题图题图（2）条纹部分造价：）条纹部分造价： 54200=850（元），（元）， 其余部分造价：（其余部分造价：（1- ）45100=1575（元），（元）， 总造价为总造价为850+1575=2