分解因式知识点总结及例题

1、222+b c =3a b c特别地：(1)当abc时，有a +=0分解因式知识点总结及例题第二章 分解因式一.分解因式1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式. 2.因式分解与整式乘法是互逆关系。因式分解与整式乘法的区别和联系: (1)整式乘法是把 几个整式相乘,化为一个多项式; (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.二.提公共因式法1.如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多 项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如: ab +ac =a (b +c )2.概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是

2、“积”;(2)公因式可能是单项式,也可 能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma +mb -mc =m (a +b -c ) 3.易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”; (3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.三.运用公式法1.如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方 法叫做运用公式法. 2.主要公式: (1)平方差公式: a2-b 2=(a +b )(a -b )2(2)完全平方公式: a补充：欧拉公式：+2ab +b 2=(a +b ) 2 a 2-2ab +b 2

3、=(a -b ) 2a +b +c -3a b c =(a +b +c ) (a +b +c -a b -b c -c a ) (a +b +c ) (a -b )+(b -c ) +(c -a ) 333222122(2)当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。3.因式分解要分解到底.如x 4.运用公式法:(1)平方差公式:应是二项式或视作二项式的多项式;二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多4333-y 4=(x 2+y 2)(x 2-y 2)就没有分解到底.项式)的平方;二项是异号.(2)完全平方公式:应是三项式;其中两项同号,且各为一整式的平方;还有一 项可正负,且它是前两项幂

4、的底数乘积的2倍. 5.因式分解的思路与解题步骤:(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用 分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的 结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.四.分组分解法:1.分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.如: am +an +bm +bn =a (m +n ) +b (m +n ) =(a +b )(m +n )2.概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并

5、且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式. 3.注意:分组时要注意符号 的变化.五.十字相乘法: 1.对于二次三项式ax2+bx +c ,将a和c分别分解成两个因数的乘积, a =a 1 ?a 2 , c =c 1 ?c 2,且满a c 1c 2足b =a 1c 2如: ax+a 2c 1,往往写成2m +2的形式,将二次三项式进行分解.+bx +c =(a 1x +c 1)(a 2x +c 2)22.二次三项式x +px +q的分解:q =ab 112p =a +bbx 2+px +q =(x +a )(x +b )分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成3.规律内涵:(1)理

6、解:把x +px +q两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与 一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.4.易错点点评:(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.提公因式法1.把下列各式因式分解(1)- a x +a b x -a c x a x322m +1m m +3(2)a (a -+b ) 2a (b -a ) 2a b (b -a ) 2.利用提公因式法简化计算过程例：计算123?1*7

7、+268 ? +456? +521?*83.在多项式恒等变形中的应用? 2x +y =3例：不解方程组?，求代数式(的值。2x +y ) (2x -3yx ) +3(2x +y )5x -3y =-2 ?4.在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n，3-一定是10的倍数。2+-325、中考点拨：例1。因式分解3 x (x -2) (2x )例2分解因式：4q (1-题型展示：例1.计算：2 000? 20012001-2001 ? 20002000例2.已知：x求b、c的值。 例3.设x为整数，试判断1是质数还是合数，请说明理由。0+5x +x (x +2)战模拟】1.分解因式：2424

8、2(b、c为整数)是x +及3x +4x +28x +5的公因 式，+b x +c 6x +25n +2n +2nnp ) 3+2(p -1) 24m n +12m n -2m n1)-x +a b x -a c x a d x2）a（n为正整数）22(3)a (a -+b ) 2a (b -a ) 2a b (b -a ) 2.计算：(-2) A. 21002n +2n +1nn -1233232221110的结果是( )+-(2)B. -210C. -2D. -13.已知x、y都是正整数，且x，求x、y。(x -y ) -y (y -x ) =124. 81-27-9能被45整除。5.化简

9、：1时，求原式的值。+x +xx (1+) +xx (1+) +,xx (1+)，且当法 【分类解析】1.把a分解因式的结果是( )+2ab -2b A. ( ab -) (a +2) (b +2) C. ( a - ba ) (+b ) +2B. ( ab -) (ab +2) D. ( a -2bb ) (-2a )27证明：x =0公式33913219952.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知 多项式2有一个因式是2，求m的值。x -x +m x +13.在几何题中的应用。 例：已知a、b、c是的形状。?A B C 4.在代数证明题中应用例：两个连续

10、奇数的平方差一定是8的倍数。5、中考点拨： 例1：因式分解：x3222，试判断+b +c -a b -b c -a c =0?A B C的三条边，且满足a 32-4x y 2=_。3223例2：分解因式：2_。x y +8x y +8x y =题型展示：例1.已知：a，m +1b m +2c m +3121212+2b +ba -2c +c -2b c求aa的值。例2.已知a，+b +c =0，a +=b c 0222b +c =0求证：a +例3.若x，求x +=y 27，x -+x yy =933222555+y 2的值。1.分解因式：(1)(a +2)2-(3a -1) 2(2)xx 5

11、(-2y ) +x 2(2y -x )(3)a 2(x -y ) 2+2a (x -y ) 3+(x -y ) 42.已知：x +1=-3，求x 41x +x4的值。3.若a，b，c是三角形的三条边，求证：-b 2实战模拟】2x -1 2.在几何学中的应用2b c3 2+3+仁0，求3 2001的值。5.已知a,b,c是不全相等的实数，且a b c工0,3a b c，试求(1)a +b +c的值；(2)1b 1c ) +1c 1a ) +11 a b)的值。 分组分解法 【分类解析】1.在数学计算、化简、证明题中的应用例1.把多项式2a (a 2+a +1) a 4+a 2+1分解因式，所得的

12、结果为( )A . (a 2+-a 1)2B . (a 2-+a 1)2C . (a 2+a 1)2D . (a 2-a 1)2例2.分解因式xx 5-+-+4xx 3a 3+=b 3c 3例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足aba ，2+c 2 +2a c证明：以a、b、c为三边能构成三角形3.在方程中的应用 例：求方程x -y =x y的整数解4、中考点拨例1.分解因式：1-mn 2-2+2m n =_。 例2分解因式：x 2-y 2-x +y =_例3.分解因式：x 3+3x 2-4x -12=_5、题型展示：例1.分解因式：m 2（n 2-+1） 4m nn -2+1例2.已知：

13、ab 2+2=1，cd 2+2=1，且a c +b d =0，求ab+cd的值。例3.分解因式：x + 2x -3【实战模拟】1.填空题：22（1）分解因式：a -3a -b +3b =3（2）分解因式：x -2x -4x y +4y +4y =33(3)分解因式：1-m n (1-m n ) -m n =222.已知：a +b +c =0，求a +a c -abc +b c +b的值。3.分解因式：a322322+a +13334.已知：x，-y -zA =0，是一个关于x , y , z的一次多项式，且x -y -z =(x - y ) (x -z ) A试求A的表达式。222a +b -

14、2a b ) (a +b -2) +(1-a b )(=a -1) (b -1) 5.证明：(十字相乘法 【分类解析】1.在方程、不等式中的应用例1.已知：x -，求x的取值范围。11x +240例2.如果x能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个-x +mx -2m x -2多项式分解因式。2.在几何学中的应用例.已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足22，求长方形的面积。xyx -+2x yy -+20=43222223、在代数证明题中的应用例.证明：若4x -y是7的倍数，其中x，y都是整数，则8x 4、中考点拨 例1.把4x例2.4是49的倍数。+10 x y -3yy 2-5x 2y 2-9y 2分解因式的结果是 _ 。x -7x -=5_因式分解：65、题型展示 例1.若x A. 12222-y 2+mx +5y -6能分解为两个一次因式的积，则m的值为( )B. -1C.1D. 2例2.已知：a、b、c为互不相等的数，且满足 求证：ab -=-bc例3.若x +有一因式x +。求a，并将原式因式分解。5x +7x +a 1 1.分解因式：(1)a(2)15x +7x y b +16a b +39(3)222nn n +12n +2-4y2。ac -=4ba -cb -(