六年级奥数图形题

1、 六年级奥数图形题 2 1、正方形ABCD面积为1-&羯G分别是BC、DC和AD边的中点,求阴影自吩的面积是多少？ 3BPS. 2W=t 1、如图,M5C中,如：口3=2:1,犯;EC=31CF.FAAA,那么工ER 是的面积的几分之几？ 【分析】如古国所示,连族月C.DC-8-7-1: 城指勾较定凄AC=LZJ:-LC*=.4B1-BC2,所以况=121+1;-8=81?2C=9. 那么4边号ABCD的总辆等于遍 21十那9-42,即青局部的台积为 127842=54. 分析醺朝财线如下羽 根据“金字塔藉似曷僵针：BD=2:3: 111X 4520 2、 3、 【分析】2-L上士344553

2、12 Aa) GF r.GP 工 【分析】k 以 D EC 人如图,两个长方形大小相同？长和宽分别为12和盯求阴影局部的12 1、如图,在正方形川欧笫中,F、产分别在比与上.且CF-2DFf连接斯,以产,本胶于点G,过G作孙,即得到两个正方形.3/和正方形PCGf设正方形M2的面积为X正方形PCXG的面积为邑？那么乎邑=- K图中的数字分别表示两个长方形和一个直角三角册的面积,另一个三角刑的面积 6、如果一个正方形的周长和一个圆的周长相等,那么正方形的面积是圆面积的 解析：设正方形边长为1,那么正方形的周长为4,圆形周长也是4,那么圆形的半径=4+2兀=2/氏正方形的面积=1x1=1圆形的面积

3、=Ttx2/兀2=4/兀正方形的面积是圆面积的：1+4/兀=兀/4=+4=%答:正方形的面积大约是圆面积的 7、一、相加法： 这种方法是将不规那么图形分解转化成几个根本规那么图形,分别计算它们的面积,然后相加求出整个图形的面积 例如,右图中,要求整个图形的面积,只要先求出上面半圆的面积,再求出下面正方形的面积,然后把它们相加就可以了如图. 、相减法：这种方法是将所求的不规那么图形的面积看成是假设干个根本规那么图形的面积之差求阴影局部的面积,只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可如图.4、 5、 【分析】说可号业为x .例如,右图,假设 三、直接求法：这种方法是根据条件,从整体出发直接求出不

4、规那么图形面积如下页右上图,欲求阴影局部的面积,通过分析发现它是一个底 四、重新组合法：这种方法是将不规那么图形拆开,根据具体情况和计算上的需要,重新组合成一个新的图形,设法 求出这个新图形面积即可 例如,欲求右图中阴影局部面积,可以把它拆开使阴影局部分布在正方形的 求出其面积了如图. 五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或假设干条辅助线,使不规那么图形转化成假设干个根本规那么图形,然后再采用相加、相减法解决即可.如右图,求两个正方形中阴影局部的面积.此题虽然可以用相减法解决, 但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便如图. 六、割补法：这种方法是把原图形的一局部切割下来补在图形中

5、的另一局部使之成为根本规那么图形,从而使问 题得到解决 .例如,如右图,欲求阴影局部的面积,只需把右边弓形切割下来补在左边,这样整个阴影局部面积恰是正方形面 积的一半如图 2,高4的三角形,就可以直接求面积了如图. 4个角处,这时采用相减法就可 七、平移法：这种方法是将图形中某一局部切割下来平行移动到一恰当位置,使之组合成一个新的根本规那么图形,便于求出面积. 例如,如上页最后一图,欲求阴影局部面积,可先沿中间切开把左边正方形内的阴影局部平行移到右边正方形内,这样整个阴影局部恰是一个正方形如图. 八、旋转法：这种方法是将图形中某一局部切割下来之后,使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形

6、的 一侧,从而组合成一个新的根本规那么的图形,便于求出面积 例如,欲求上图1中阴影局部的面积,可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180.,使A与C重合,从而构成 如右图2的样子,此时阴影局部的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积如图. 九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形,从而得到一个新的根本规那么图形 个新图形面积的一半.例如,欲求右图中阴影局部的面积,沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓 形CBD的面积的一半就是所求阴影局部的面积如图. 十、重叠法：这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠局部,然后运用“容斥原理 B=SA+SB-SAAB解

7、决.例如,欲求右图中阴影局部的面积,可先求两个扇形面积的和,减去正方形面积,由于阴影局部的面积恰好是两个扇形重叠的局部如图 .原来图形面积就是这 等腰直角三角形,任意一条边都可求出面积.斜边的平方除以 4 等于等腰直角三角形的 面积 梯形对角线连线后,两腰局部面积相等. 圆的面积占外接正方形面积的% 在三角形 ABC 中,点 E 是 BC 边上的中点,点 F 是中线 AE 上的点,其中 A 已 3AF,并且延长 BF 与 AC 相交于 D,如以下图所示.假设三角形 ABC 的面积为 48,请问三角形 AFD 的面积为多少 解答蛙解答蛙EE, ,因因 E是是BC中点出所以中点出所以5?S?WaA

8、EL即即5-3厂厂87又又S,掰掰E=&ck2$AEC,所以工所以工JBD=&ABC为为/ /I所所以以S?8=1,601、如图,ABC 盅的长方形, DEFO 的长方形.那么,三角形 BCM 勺面积与三角形 DCMS 积之差是多少 解答：长方形ABCG勺面积是28,长方形 DEFG的面积是20, 梯形ABEF的面积是51,从图中可以看出, 三角形BCM勺面积 与三角形DC胸积之差就等于梯形ABEF的面积减去长方形 ABCG勺面积再减去长方形DEFG勺面积,得到结果. 2、 如下图,长方形 ABCD3 的阴影局部白面积之和为 70,AB=8,AD=15 四边形 BFGO 勺面积为 解答: 四边

9、形EFGO勺面积=三角形AFC+三角形BDF-白色局部的面积三角形AFCE角形BDF土方形面积的一半 即60,白色局部的面积等于长方形面积减去阴影局部的面积,即 120-70=50所以四边形的面积：60-50=10 3、4. 利用特殊规律 4、 L争皿争皿ABC,36 F 六年级奥数下册：第五讲巧求面积 第五讲巧求面枳第五讲巧求面枳 本讲主要介绍平面图形面积的一些巧妙算法,首先看一个例子. 加图,BC=CE,AD=CD,求三角形ABC的面积是三角形CDE面积的几倍? 解： 连结BD,在AABD与ABCD中,由于ADRC,又由于这两个三角形的高是回一条高,所以S蹩SA5CD.在ABCD与ZXDC

10、E中,由于BCXE,又由于这两个三角弦也具有同一条高,所以有SABCD二SMDE.因此,SAABC=SAABDfSABCD=2sAeDE. 从以上的推导中看一看这两个三角形面积之比与这两个三角形的边有什么关系. 由于三角形的面积=/X底X高,作DN垂直CE于N,AM垂直CE于M,如右 图, SAA3C=|XBCXA SA6E=；XCEXDN, 为时巴 X 处 SDEIxCEXDN工EN2 在AACH与ZDCN中,有&C:CD=AM:DN.因此, 5AABC_=BC-AC 二CECD- 即,当两个三角形各有一个角,它们的和是180时,这两个三角形的面积之比等于分别夹这两个角的两条边的长度乘积之比

11、. 即,当两个三角形各有一个角,它们的和是180时,这两个三角形的面积之比等于分别夹这两个角的两条边的长度乘积之比. 类似可知,当两个三角形各有一个角,它们相等时,这个结论也成立. 解：在ABC与ZXCDE中,由于ADRC,所以AC=2CD,又由于BCXE,所以S ABC=2义1xSACDE=2SACDE. 管：ZkABC的面积是ACDE面积的2倍. 下面我们就应用上面这个结论来看几个具体例子. 例例1如图,三角形ABC的面积为1,并且AE=3AB,BD=2BC,那么ABDE的面积是多少？ 解：在ABDE与Z1ABC中,ZDBE+ZABC=180.由于AE=3AB,所以BE=2AB.又由于BD

12、=2BC,所以SABDE=2X2XSAABC=4X1=4. 智：ABDE的面积是4. 于1平方厘米,那么ABC的面积是多少？ 解：在AABC与AADE中,NBAC=/DAE.由于AB=6AD,AC=3AE,所以ABC=6X3XSAADE=18X1=18平方厘米. 答,AABC的面积为18平方厘米. 例例3如图,将杷C的各边都延长一倍至7、B,、C连接这些点,得到一个新的三角形ABC.假设ABC的面积为,求AA/BF积. 解,在,B,B与ZXABC中,ZAZBl+ZABC=180.由于AB二AA,所以A,B二2AB,又由于=BC,所以S,B,B=1X2XSAABC=2SAABC=2. 同理S&U

13、C=2X1XSAABC=2. SAA,cA=2X1XSAABC=2. 所以S2UBrC二SAABfB+SABZCC+SZkVCA+SAABC=2+2+2+l 寄ABC,的面积为7. 例例4如以下图,将凸四边形ABCD的各边都延长一倍至Z、B、CLD,连接这些点得到一个新的四边形A,BCD,假设四边形ABCD 的面积为30平方厘米,那么四边形ABCD的面积是多少？ 分析要求四边形ABCD的面积,必须求出四边形ABCD与四边形ABLDy的关系,因而就要求出AA,B,B、ZXB,C,C、AC7DyD.卜D,A与四边形ABCD的关系. 解：连结AC、BD. 在B,B与ABC中,NA,BB,+NABC=

14、180.由于A二邺,所以卜B=2AB?又由于BB=BC,所以有SAHB,B=2X1XS2kABC=2SABC. 同理有SAB,CC=2X1XSABCD=2SABCD例例2如图,在/XABC中,AB是AD的6倍,AC是AE的3倍,如果AADE的面积生 瓮DA=2XIXSAABD=2SAABD. 所以四辿形&CD二 S 也 aBCC+SACDD+SnID 彩 ABCD =2SAABC+2SABCD+2SADC+2SAASD+S 四边刑ABCD -2(SAABC+SA2DC)+2CSECI+SAABD)+S 四边用 ABCD 二禽四边形 ABCD+玄四边/ABCD+S 四边茏 ABCD 二 53 四

15、边形 ABCD 那么 E 四边形 ABCD 二如一 5 二 5(平方厘米). 笞工四边用杷CD的面积为6平方厘米. 六年级奥数下册：第五讲巧求面积习题 习题五习题五 1,直角三角形ABC中,AD=DB=4喔米,AE=1AC=形DBCE的面积.I以下图 2,以下图中的三角形祓分成了甲阴影局部、乙两局部,相应线段的长度,求两局部的回积之比. A+S：四边 3厘米,求四边 图中的薮字是 3 .如上右图,在AABC中,AD=1AB,BE=EF=FC,CG=|GA,求阴影局部面积占三角形ABC面积的几分之几？ 4 .如图,BD=|BC,三角形ABC的面积是48平方厘米,AC=16厘米,杷二11厘米,三角

16、形DAE的面积是多少？ 5 .己知,AE=1AC,CD=7BC,BF=!AB,求三角形DEF的面积与三346 角形物的面积之比.以下图 7.如以下图所示,把ABC的BA边延长1倍到D点,AC边延长3倍到F点,CB边延长2倍到E点,连接DE、EF、FD,得到ADEF.己知三角形DEF的面积为54平方厘米,求AABC的面积. 6.如以下图所示,己知ABCD是长方形,三角形DEF的面积之比. 票求三角形ABE与 9 .在AABC中jCD.AE.BF分别为K、AC、AB长的7求SNNM与S州c之比. 10 .把边长为40厘米的正方形ABCD沿对角线AC截成两个三角形,在两个三角形内按图示剪下两个内接正

17、方形M,K这两个正方形中面积较大的是哪一个？它匕已交小的正方形面积大多少平方厘米？ 10.解：为了方便,在以下图中标上字母八G、工Kl.Ml.K,连结DK.容易知道BE=4AB,MN=；AC,AC2=2AB2, 所以SM=BE2=9AB i2 SH=M1N?=9AC2=-AB2, 1.2Q SM-SN=-AB-AB2 114 =T7AB2=-X402=44-平方厘米5b5by8.如上右图所示,S一0=1,积. 2 AE=ED,BD=-BC,求阴影的面 简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积,首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、 平行四边形、梯形等等,然后会计算这些图形的面

18、积.如果我们把这些图形画在方格纸上,不但容易识别,而且容 易计算. 上面左图是边长为4的正方形,它的面积是4X4=16格；右图是3X5的长方形,它的面积是3X5=15格. 上面左图是一个锐角三角形,它的底是5,高是4,面积是5X4+2=10格；右图是一个钝角三角形,底 是4,高也是4,它的面积是4X4+2=8格.这里特别说明,这两个三角形的高线一样长,钝角三角形的高线有可能在三角形的外面. 上面左图是一个平行四边形,底是5,高是3,它的面积是5X3=15格；右图是一个梯形,上底是4, 下底是7,高是4,它的面积是 4+7X4+2=22格. 上面面积计算的单位用“格,一格就是一个小正方形.如果小

19、正方形边长是1厘米,1格就是1平方厘米； 如果小正方形边长是1米,1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位,1格就是一个面积单位.在这一讲中,我们直接用数表示长度或面积,省略了相应的长度单位和面积单位 一、三角形的面积 用直线组成的图形,都可以划分成假设干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是： 三角形面积=底x高+2. 这个公式是许多面积计算的根底.因此我们不仅要掌握这一公式,而且要会灵活运用. 例1右图中BD长是4,DC长是2,那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢 解：三角形ABD与三角形ADC勺高相同. 三角形ABD面积=4X高+2. 三角形ADC

20、面积=2X高+2. 因此三角形ABD的面积是三角形ADC积的2倍.注意：三角形的任意一边都可以看作是底,这条边上的高就 是三角形的高,所以每个三角形都可看成有三个底,和相应的三条高 例2右图中,BD,DEL,EC的长分别是2,4,是线段AE的中点,三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积. 解：BC=2+4+2=8. 三角形ABC面积=8X4+2=16. 我们把A和D连成线段,组成三角形ADE它与三角形ABC的高相同,而DE长是4,也是BC的一半,因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理,EF是AE的一半,三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半. 这样一来,三角形DFE的面积

21、是三角形ABC面积的;. 例3右图中长方形的长是20,宽是12,求它的内部阴影局部面积 解：ABEF也是一个长方形,它内部的三个三角形阴影局部高都与 而三个三角形底边的长加起来,就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是 FEXBE-2, 它恰好是长方形ABEF面积的一半. 同样道理,FECD&是长方形,它内部三个三角形阴影局部面积之和是它的面积的一半 因此所有阴影的面积是长方形ABC面积的一半,也就是 20X12+2=120. 通过方格纸,我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线,把每个三角形分成两个直 角三角形后,图中每个直角三角形都是某个长方形的一半,而长方形ABCD

22、!由这假设干个长方形拼成.因此所有这些 直角三角形阴影局部白面积之和是长方形ABC面积的白一半. 例4右图中,有四条线段的长度已经知道,还有两个角是直角,那么四边形ABCD阴影局部的面积是多少 解：把A和C连成线段,四边形ABCM分成了两个,三角形ABC三角形ADC. 对三角形ABC来说,AB是底边,高是10,因此 面积=4X10+2=20. 对三角形ADC来说,DC是底边,高是8,因此 面积=7X8+2=28. 四边形ABCD面积=20+28=48. BE一样长. 这一例题再一次告诉我们,钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面 例5在边长为6的正方形内有一个三角形BEF线段AE=3,DE2,

23、求三角形BEF的面积. 解：要直接求出三角形BEF的面积是困难的,但容易求出下面列的三个直角三角形的面积 三角形ABE面积=3X6X2=9. 三角形BCF面积=6X(6-2)+2=12. 三角形DEF面积=2X(6-3)+2=3. 我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出： 三角形BEF面积=6X6-9-12-3=12. 例6在右图中,ABC虚长方形,三条线段白长度如下图,M是线段DE的中点,求四边形ABMD(阴影局部) 的面积. 解：四边形ABMD,的太少,直接求它面积是不可能的,我们设法求出三角形DC*三角形MBEW面积, 然后用长方形ABC而面积减去它们,由此就可以求得四边

24、形ABMD勺面积. 把M与C用线段连起来,将三角形DCE成两个三角形.三角形DCE的面积是7X2+2=7. 由于M是线段DE的中点,三角形DMCW三角形MC前积相等,所以三角形MCEw积是7+2=. 由于BE=8是CE=2的4倍,三角形MBE与三角形MC*一样,因此三角形MBE积是 X4=14. 长方形ABCD面积=7X8+2=70. 四边形ABMD面积=70-7-14=49. 二、有关正方形的问题 先从等腰直角三角形讲起. 一个直角三角形,它的两条直角边一样长,这样的直角三角形,就叫做等腰直角三角形.它有一个直角90度,还有两个角都是45度,通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形. 两

25、个一样的等腰直角三角形,可以拼成一个正方形,如图a.四个一样的等腰直角三角形,也可以拼成一个 正方形,如图b. 一个等腰直角三角形,当知道它的直角边长,从图a知,它的面积是 直角边长的平方+2. 当知道它的斜边长,从图b知,它的面积是 解： 从前面的图形上可以知道,前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形,等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半,第一个等腰直角三角形的面积是斜边的平方+4 例7右图由六个等腰直角三角形组成 .第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长,恰好是前 一个斜边长的一半,求这个图形的面积 8X8+2=32. 这一个

26、图形的面积是 32+16+8+4+2+1=63. 例8如右图,两个长方形叠放在一起,小长形的宽是2,A点是大长方形一边的中点,并且三角形ABC是等腰 直角三角形,那么图中阴影局部的总面积是多少 解：为了说明的方便,在图上标上英文字母D,E,F,G. 三角形ABC的面积=2X2+2=2. 三角形ABCADEEFG都是等腰直角三角形. 三角形ABC的斜边,与三角形ADE的直角边一样长,因此三角形ADE面积=ABC面积X2=4. 三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC0积+2=1. 阴影局部的总面积是4+1=5. 例9如右图,一个四边形ABCD勺两条边的长度AD

27、=7,BC=3,三个角的度数：角B和D是直角,角A是45.求这个四边形的面积. 队 解：这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE切掉一个等腰直角三角形BCE. 由于 A是45,角D是90,角E是 180 -45 -90 =45 , 所以AD弱等腰直角三角形,BCE也是等腰直角三角形. 四边形ABCD勺面积,是这两个等腰直角三角形面积之差,即 7X7+2-3X3+2=20. 这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形 补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学,用直线AC把图形分成两个直角三角形,并认为这两个直角三

28、角形是一样的,这就大错特错了.这样做,角A是45.,这一条件还用得上吗图形上线段相等, 两个三角形相等,是不能靠眼睛来测定的,必须从几何学上找出根据,小学同学尚未学过几何,千万不要随便对图形下Z论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有45.和直角,你应首先考虑等腰直角三角形. 现在我们转向正方形的问题. 例10在右图11X15的长方形内,有四对正方形标号相同的两个正方形为一对,每一对是相同的正方形, 那么中间这个小正方形阴影局部面积是多少 解：长方形的宽,是“一与“二两个正方形的边长之和,长方形的长,是“一、“三与“二三个正 方形的边长之和. 长-宽=15-11=4 是“三正方形的边长

29、. 宽又是两个“三正方形与中间小正方形的边长之和,因此 中间小正方形边长=11-4X2=3. 中间小正方形面积=3X3=9. 如果把这一图形,画在方格纸上,就一目了然了 例11从一块正方形土地中,划出一块宽为1米的长方形土地见图,剩下的长方形土地面积是平方米.求 划出的长方形土地的面积. 解：剩下的长方形土地,我们道 长-宽=1米. 还知道它的面积是平方米,那么能否从这一面积求出长与宽之和呢 如果能求出,那么与上面“差的算式就形成和差问题了 我们把长和宽拼在一起,如右图 从这个图形还不能算出长与宽之和,但是再拼上同样的两个正方形,如以下图就拼成一个大正方形,这个正方形的边长,恰好是长方形的长与

30、宽之和. 15.75 15.T5 15.75 1 15.75 可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形,仔细观察一下,就会发现,它的边长,恰好是长 方形的长与宽之差,等于1米. 现在,我们就可以算出大正方形面积： X4+1X1=64平方米. 64是8X8,大正方形边长是8米,也就是说长方形的 长+宽=8米. 因此 长=8+1+2=米. 宽=米. 那么划出的长方形面积是 X1=4.5平方米. 例12如右图.正方形ABCDW正方形EFGO放在一起.小正方形EFGC勺边长是6,求三角形AEG阴影部分的面积. 解：四边形AEC虚一个梯形.它的下底是AD,上底是EG高是CD因此 四边形AEC

31、面积=小正方形边长+大正方形边长X大正方形边长+2 三角形ADG是直角三角形,它白一条直角边长DG=小正方形边长+大正方形边长,因此 三角形ADG面积=小正方形边长+大正方形边长X大正方形边长+2. 四边形AECD与三角形ADG面积一样大.四边形AHCD它们两者共有,因此,三角形AEMf三角形HCG!积相 等,都加上三角形EHG0积后,就有 阴影局部面积=三角形ECG0积 二小正方形面积的一半 =6X6+2=18. 十分有趣的是,影阴局部面积,只与小正方形边长有关,而与大正方形边长却没有关系 三、其他的面积 这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难,但可以给你启发的内容不少,

32、请读者仔细 体会. 例13画在方格纸上的一个用粗线围成的图形如右图,求它的面积 解：直接计算粗线围成的面积是困难的,我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算 周围小正方形有3个,面积为1的三角形有5个,面积为的三角形有1个,因此围成面积是 例6与此题在解题思路上是完全类同的 例14以下图中ABCD是6X8的长方形,AF长是4,求阴影局部三角形AEF的面积. 解：三角形AEF中,我们知道一边AF,但是不知道它的高多长,直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三 角形AEB,底边AB,就是长方形的长,高是长方形的宽,即BC的长,面积就可以求出.三角形AEB的面积是长方形面积的一半,而扩大的三角形AF

33、B是直角三角形,它的两条直角边的长是知道的,很容易算出它的面积.因此 三角形AEF面积=三角形AEB面积-三角形AFB面积 =8X6+2-4X8+2=8. 这一例题告诉我们,有时我们把难求的图形扩大成易求的图形,当然扩大的局部也要容易求出,从而间接地解决了问题.前面例9的解法,也是这种思路. 例15下左图是一块长方形草地,长方形的长是16,宽是10.中间有两条道路,一条是长方形,一条是平行四边形,那么有草局部的面积 阴影局部有多大 解：我们首先要弄清楚,平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底X高.从图上可以看出,底是2,高恰 好是长方形的宽度.因此这个平行四边形的面积与10X2的长方形面积

34、相等. 可以设想,把这个平行四边形换成10X2的长方形,再把横竖两条都移至边上如前页右图,草地局部面 积阴影局部还是与原来一样大小,因此 草地面积=(16-2)X(10-2)=112. 例16右图是两个相同的直角三角形叠在一起,求阴影局部的面积 解：实际上,阴影局部是一个梯形,可是它的上底、下底和高都不知道,不能直接来求它的面积 阴影局部与三角形BC6在一起,就是原直角三角形.你是否看出,ABCD也是梯形,它和三角形BCE合在一 起,也是原直角三角形.因此,梯形ABCD勺面积与阴影局部面积一样大.梯形ABCD勺上底BC,是直角边AD的长减去3,高就是DC的长.因此阴影局部面积等于 梯形ABCD

35、面积=(8+8-3)X5+2=. 上面两个例子都启发我们,如何把不容易算的面积,换成容易算的面积,数学上这叫等积变形.要想有这种“换 的本领,首先要提升对图形的观察水平 例17以下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形.AF,FE,EC都等于3,CB,BD都等于4.求这个 图形的面积. 解：两个直角三角形的面积是很容易求出的 2 16 10 三角形ABC面积=3+3+3X4+2=18. 三角形CDE积=4+4X3+2=12. 这两个直角三角形有一个重叠局部-四边形BCEG只要减去这个重叠局部,所求图形的面积立即可以得出 由于AF=FE=EC=3,所以AGF,FGE,EGC是三个面积相等的三角形

36、. 由于CB=BD=4,所以CGBBG皿两个面积相等的三角形. 2X三角形DEC面积 =2X2X三角形GBC面积+2X三角形GCE面积. 三角形ABC面积 =三角形GBC面积+3X三角形GCE0积. 四边形BCEG1积 =三角形GBC0积+三角形GCE1积 =2X12+18+5=. 所求图形面积=12+18-=. 例18如下页左图,ABCG4X7长方形,DEFG2X10长方形.求三角形BCM与三角形DEM面积之差. 解：三角形BCMf非阴影局部合起来是梯形ABEF.三角形DEMf非阴影局部合起来是两个长方形的和. 三角形BCM1积-三角形DEM积 =梯形ABEF面积-两个长方形面积之和 =7+

37、10X4+2+2-4X7+2X10 =3. 4 4 例19上右图中,在长方形内画了一些直线,边上有三块面积分别是13,35,49.那么图中阴影局部的面 积是多少 解：所求的影阴局部,恰好是三角形AB*三角形CDE的公共局部,而面积为13,49,35这三块是长方形中没有 被三角形ABC与三角形CDE住的局部,因此 三角形ABC面积+三角形CDE面积+13+49+35 =长方形面积+阴影局部面积 三角形ABC底是长方形的长,高是长方形的宽；三角形CDE底是长方形的宽,高是长方形的长.因此,三角形ABC面积,与三角形CDE0积,都是长方形面积的一半,就有阴影局部面积=13+49+35=97. 一、四

38、种常见几何体的平面展开图 1 .正方体 沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平,就可以得到它的平面展开图,这一展开图是由六个全等的正方形组成的, 见图61. 图6l只是正方体平面展开图的一种画法,还有别的画法从略. 2 .长方体 沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平,就可以得到它的平面展开图.这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的,见图62.图62只是长方体平面展开图的一种画法,还有别的画法从略. 比 J Cx 口】 3 .直圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平,就得到圆柱体的平面展开图. 它由一个长方形和两个全等的圆组成,这个长方形的长是圆柱底面圆的周长,宽是圆柱体的高.这

39、个长方形又叫圆柱的侧面展开图.图63就是圆柱的平面展开图. 4 .直圆锥体 沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平,就得到圆锥的平面展开图.它是由一个半径为圆锥体的母线长,弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的,这个扇形又叫圆锥的侧面展开图.具体图形见图64. 二、四种常见几何体外表积与体积公式 1 .长方体 长方体的外表积=2x(axb+bxc+cxa) 长方体白体积=axbxc这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高. 2.正方体 正方体的外表积=6Xa2 正方体的体积=a3这里a为正方体的棱长. 3 .圆柱体 圆柱体的侧面积=2兀Rh 圆柱体的全面积=2兀Rh+

40、2%R=2兀Rh+R 圆柱体的体积=兀R2h这里R表示圆柱体底面圆的半径,h表示圆柱的高. 4 .圆锥体 圆锥体的侧面积=TtRl 圆锥体的全面积=兀Rl+兀R 圆锥体的体积=；7TR%这里R.Lh分别为圆锥体底面圆的半径 母线长与高. 三、例题选讲 例1图6-5中的几何体是一个正方体,图66是这个正方体的一个平面展开图,图6-7a、b、c 也是这个正方体的平面展开图,但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来,请你给补上. 在图67分析与解：从图65和图66中可知: 与宫互相处于相对面的位置上.只要 a、b、c三个展开图中,判定谁与谁处在互为对面的位置上,那么标有数字的四个空白面上的图案 便可

41、以补上. 再看图67中的b,同上,1与3,2与处在互为对面的位置上. b、c标有数字的空白面上的图案见图6-8中的a、b、c. 例2图6-9中的几何体是一个长方体,四边形APQB长方体的一个截面即过长方体上四点A、P、Q 与长方体相交所得到的图形,P、Q分别为棱A1B1、B1C1的中点,请在此长方体的平面展图上,标出线段 QPPA来.先看图6-7中的a,仔细观察可知, 1与4,3与11处在互为对面的位置上. 最后再看图6-7中的c,同上, 1与臼,2与4处在互为对面的位置上. C的平面 ACCQ 图 6B 分析与解：只要能正确画出图6-9中长方体的平面展开图,问题便能迎刃而解.图中所要标出的线

42、段AGCQQRPA Cr D 困-10 例3在图611中,MN是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点,假设从沿怎么样的路线路程最短 分析与解：沿圆柱体的母线MN各圆柱的侧面剪开铺平,得出圆柱的侧面展开图,见图面到达N点.实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点 短.所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线,见图612和图613.6-10中的粗实线,就是题目 M点绕圆柱体的侧面到达N, 612,从M点绕圆柱体的侧 No而两点间以线段的长度最 国白-11 左面的外表积为12X7=7平方厘米 几何体的外表积为9X2+8X2+7X2= 答：略 例4图614中的几何体

43、是一棱长为4厘米的正方体,假设在它的各个面的中央位置上,各打一个直径为 深为1厘米的圆柱形的孔,求打孔后几何体的外表积是多少兀 分析与解：由于正方体的棱长为2厘米,而孔深只有1厘米,所以正方体没有被打透.这一来打孔后所得几何体的 外表积,等于原来正方体的外表积,再加上六个完全一样的圆柱的侧面积、这六个圆柱的高为径为1厘米. 正方体的外表积为42X6=96平方厘米 一个圆柱的侧面积为2兀X1X1=平方厘米 几何体的外表积为96+X6=平方厘米 答： 略 例5图615是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体,求此几何体的外表积是多少分析与解： 从图615中可以看出,18个小正方体一共摆了三层,

44、第一层2个,第二层7个,由于18-7-2=9,所 以第三层摆了9个.另外,上、下两个面的外表积是相同的,同样,前、后；左、右两个面的外表积也是分别相同 的.由于小正方体的棱长是1厘米,所以 例6图616中所示图形,是一个底面直径为20厘米的装有一局部水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为 6厘米,高20厘米的一个圆锥体铅锤,当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降几厘米兀= 2厘米, 1厘米,底面圆的半 上面的外表积为12X9=9平方厘米 前面的外表积为12X8=8平方厘米 图iq a&-15 / 图616 分析与解： 由于玻璃杯是圆柱形的,所以铅锤取出后,水面下降局部实际是一个小圆柱,这个圆柱的

45、底面与玻璃杯的底面一样,是一直径为20厘米的圆,它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积,这个小圆柱的高就是水面下降的高度. 由于圆锥形铅锤的体积为 1X7TXI2X20=607T立立方厘方厘米米 设水面下降的高度为x,那么小圆柱的体积为x20+22Xx=1007tx立方厘米 所以有以下方程： 6071=10071x,解此方程得： x=厘米 答：铅锤取出后,杯中水面下降了厘米. 例7横截面直径为2分米的一根圆钢,截成两段后,两段外表积的和为平方分米,求原来那根圆钢的体积是多少兀 二 分析与解： 根据圆柱体的体积公式,体积=底面积X高.假设圆钢长为x,由于将圆钢截成两段后,两段外表积的和,等于圆钢的侧面积加上四个底面圆的面积,所以有下面式子： 27tx2+2Xx+4兀X2+22 =2兀x+4兀 根据题目中给出的条件,可得下面方程： 2兀x+4兀= 解方程： 75.36-4TT 方=2H 75367X314出、 2X314=1分米 圆钢的体积为TTX2+22X10=立方分米 答：略. 例8一个圆锥的侧面展