§4.3三角函数的图象与性质

1、14.34.3三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质【知识梳理】【知识梳理】1.周期函数(1)周期函数的定义对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得 当 x 取 定 义 域 内 的 每 一 个 值 时 ， 都 有 _，那么函数 f(x)就叫做周期函数_叫做这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个_，那么这个_就叫做 f(x)的最小正周期2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysinxycosxytanx图象定义域xRxRx|xR 且x2k，kZ值域_单调性_上递增，kZ；_上递减，kZ_上递增，kZ；_上递减，kZ_上递增，kZ最值x _时

2、，ymax1(kZ)；x_时，ymin1(kZ)x_时，ymax1(kZ)；x_时，ymin1(kZ)无最值奇偶性_对称性对称中心：对称中心：对 称 中 心 ：对称轴对称轴没有对称轴周期性T=2T=2T=答案：f(xT)f(x)T最小正数最小正数y|1y1y|1y1R22k，22k22k，322k(2k1)，2k2k，(2k1)2k，2k22k22k2k2k奇函数偶函数奇函数(k，0)，kZ21k2，0，kZ22k2，0，kZ23xk2，kZ24xk，kZ25226227【课前自测】【课前自测】1.设函数 f(x)sin2x2 ，xR，则 f(x)是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶

3、函数C最小正周期为2的奇函数D最小正周期为2的偶函数答案答案：B提示提示： f(x)sin2x2 cos2x， f(x)f(x)，f(x)为偶函数，排除 A、C，又T，故选 B.2. ysinx4 的图像的一个对称中心是 ()2A(，0)B.34，0C.32，0D.2，0答案：答案：B提示：提示：ysin x 的对称中心为(k，0) (kZ)，令 x4k (kZ)， xk4(kZ)， 由 k1，x 34得 y sinx4 的 一 个 对 称 中 心 是34，0.故选择 B.3. (2012课标全国)已知0， 函数 f(x)sinx4在2，上单调递减，则的取值范围是()A.12，54B.12，3

4、4C.0，12D.(0,2答案：答案：A提示提示：取54，f(x)sin54x4 ，显然2，85k5，85k，kZ，排除 B，C. 取2，f(x)sin2x4 ，其减区间为k8，k58，kZ，显然2，k8，k58，kZ，排除 D.4.（20132013长春模拟）函数 y3cos(2x)的图象关于点43，0中心对称，则|的最小值为()A.6B.4来源:C.3D.2答案答案：A提示提示： 由3cos2430得cos230，即232k，6k，当 k0 时|6.5.（20132013 西铁一中西铁一中）函数 f(x)cos 2xsin52x是()A非奇非偶函数B仅有最小值的奇函数C仅有最大值的偶函数D

5、有最大值又有最小值的偶函数答案答案：D提示提示： f(x)cos 2xsin52x2cos2x1cosx2cos x14298.显然有最大值又有最小值， 而且在 R 上有 f(x)f(x)，所以正确答案为 D.【课标示例题】【课标示例题】【例【例 1 1】三角函数的定义域、值域问题三角函数的定义域、值域问题(1)求函数 y 1tan x的定义域；(2)求函数 ycosx3 ， x0，3 的最大值与最小值答案答案： （1）k2，k4 (kZ)（2）12，12解析解析： （1）由 1tan x0，得 tan x1，k2xk4(kZ)函数的定义域是k2，k4 (kZ)（2）0 x3，3x323，又

6、ycos x 在0，上是减函数，cos23cosx3 cos3，即12y12.函数的值域是12，12【方法提炼】【方法提炼】求函数的定义域可利用三角函数的图像或数轴；求函数值域时要利用正弦函数的值域或化为二次函数(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yAsin(x)k 的形式，再求最值(值域)；3形如 yasin2xbsin xc 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)；形如 yasin xcos xb

7、(sin xcos x)c 的三角函数，可先设 tsin xcos x，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)【举一反三】1(1)(2013 湛 江 调 研 ) 函 数 y lg(sinx) cos x12的定义域为_（2）函数ysin2xsinx1 的值域为()A1,1B.54，1C.54，1D.1，54答案答案：（1） x|2k0，cos x120，即sin x0，cos x12，解得2kx2k，32kx32k(kZ)，2kx32k，kZ，函数的定义域为x|2kx32k，kZ .（2）(数形结合法)ysin2xsinx1，令 sinxt，则有yt2t1，t1,1，画出函数图像如图所示，从图

8、像可以看出，当t12及t1时，函数取最值，代入yt2t1 可得y54，1.【例例 2 2】三角函数的单调性与周期性三角函数的单调性与周期性(2013华南师大附中 9 月月考)已知函数 ysin32x，求：(1)函数的周期；(2)求函数在，0上的单调递减区间解析解析：由 ysin32x可化为 ysin2x3 .(1)周期 T222.(2)令 2k22x32k2，kZ，得 k12xk512，kZ.所以 xR 时，ysin32x的减区间为k12，k512 ，kZ.从而 x，0时，ysin32x的减区间为，712 ，12，0.【方法提炼】【方法提炼】（1） 求形如 f(x)Asin(x)或 f(x)A

9、cos(x)（其中 A0, 0）的函数的单调区间，通过解不等式来解决.此时把“x”看成一个 “整体” ，函数按照复合函数的“增减性”来处理；（2）对于函数 f(x)Atan(x)（其中 A, ，为常数）其周期 T=|，单调区间由x（k-2， k+2） ，解出 x 的范围，写出其单调区间.【举一反三】2求函数 ysin34xcos4x6 的周期、单调区间及最大、最小值答案与提示答案与提示： 34x64x2， cos4x6cos64xcos234xsin34x.y2sin4x3 ， 周期 T242.当22k4x322k (kZ)时，函数单调递增，函数的递增区4间为524k2，24k2(kZ)当22

10、k4x3322k (kZ)时，函数单调递减，函数的递减区间为24k2，724k2 (kZ)当 x24k2(kZ)时，ymax2；当 x524k2(kZ)时，ymin2.【例【例 3 3】三角函数的对称性与奇偶性三角函数的对称性与奇偶性设函数 f(x)2cosx(sinxcosx)1，将函数 f(x)的图象向左平移个单位， 得到函数 yg(x)的图象(1)求函数 f(x)的对称中心；(2)若 02，且 g(x)是偶函数，求的值解析：解析：(1)f(x)2sinxcosx2cos2x1sin2xcos2x 2sin(2x4)，f(x)的对称中心（12k -8，0）(kZ).(2)g(x)f(x)

11、2sin2(x)4 2sin(2x24)，g(x)是偶函数，则 g(0) 2 2sin(24)，24k2，kZ.k28(kZ)， 02，8.【方法提炼】【方法提炼】若 f(x)Asin(x)为偶函数，则当x0时，f(x)取得最大值或最小值若 f(x)Asin(x)为奇函数，则当 x0 时，f(x)0.如果求 f(x)的对称轴，只需令x2k (kZ)，求 x.如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk (kZ)即可【举一反三】3（2013 全国大纲卷）已知函数 =cos sin2f xxx,下列结论中错误的是 （）A. yf x的图像关于,0中心对称B. yf x的图像关于直线2x对称C. f

12、 x的最大值为32D. f x既奇函数,又是周期函数答案与提示答案与提示：C.因为 f（x）=2cos2xsinx=2（1-sin2x）sinx.令 t=sinx，t-1,1,有 y=2（1-t2）t=2t-2t3.求导易得极值点 t=33， 求端点处的函数值和极值，可得函数的最大值是32【课标创新题】【课标创新题】已知函数 f(x)2asin2x3 b 的定义域为0，2 ，函数的最大值为 1，最小值为5，求 a 和b 的值解析解析：0 x2，32x323， 32sin2x31 ， 若 a 0, 则2ab1 3ab5，解得a126 3b2312 3；若a0， 则2ab5 3ab1， 解得a12

13、6 3b1912 3.综上可知，a126 3，b23123或 a126 3，b1912 3.【方法提炼】求函数的值域的方法有三类：利用函数的有界性(1sin x1,1cosx1)，求三角函数的值域(最值) 利用函数的单调性求函5数的值域或最值利用换元法求复合函数的单调区间(要注意 x 系数的正负号)【举一反三】4已知函数 f(x)sin2xacos2x(aR，a 为常数)，且4是函数 yf(x)的零点.(1)求 a 的值，并求函数 f(x)的最小正周期；(2)若 x0，2， 求函数 f(x)的值域， 并写出 f(x)取得最大值时 x 的值.答案与提示答案与提示： (1)由于4是函数 yf(x)

14、的零点，即 x4是方程 f(x)0 的解，从而 f(4)sin2acos240，则 112a0，解得 a2.所以 f(x)sin2x2cos2xsin2xcos2x1，则 f(x)2sin(2x4)1，所以函数 f(x)的最小正周期为.(2)由 x0，2，得 2x4344 ，则 sin(2x4)22，1，则12sin(2x4)2，22sin(2x4)121，函数 f(x)的值域为2，21.当 2x42k2(kZ)，即 xk38时， f (x)有最大值，又 x0，2，故 k0 时，x38，f(x)有最大值21.【课标自测题】【课标自测题】一选择题（本大题共一选择题（本大题共 1010 小题，每小

15、题小题，每小题 5 5 分，分，共共5050 分）分）1.1.函数 ytan4x的定义域是()A. x|x4，xRB. x|x4，xRC. x|xk34，kZ，xRD.x|xk34，kZ，xR答案：答案：D提示提示：x4k2，xk34，kZ.2.2. (2013武汉联考)若函数 y2cos x 在区间0，23 上递减，且有最小值 1，则的值可以是()A2B.12C3D.13答案：答案：B提示提示：由 y2cos x 在0，23 上是递减的，且有最小值为 1，则有 f23 1，即 2cos231， 即 cos2312， 检验各选项， 得出 B 项符合3.3.函数y|sinx|的一个单调增区间是(

16、)A.4，4B.4，34C.，32D.32，2答案：答案：D提示提示： 作出函数 y|sin x|的图象观察可知， 函数y|sin x|在，32 上递增64.4. 已知函数 f(x)=sin(2x-6)，若存在 a(0,)， 使得 f(x+a)=f(x-a)恒成立， 则 a 的值是()A.6B.3C.4D.2答案：答案：D提示提示：因为函数满足 f(x+a)=f(x-a)，所以函数是周期函数，且周期为 2a，2a=22，所以 a=2.5.5.已知函数 f(x)sin x 3cos x，设 af7 ，bf6 ，cf3 ，则 a，b，c 的大小关系是()AabcBcabCbacDbca答案：答案：

17、B提示提示：f(x)sin x 3cos x2sinx3 ，因为函数 f(x)在0，6 上单调递增，所以 f7 f6 ，而 cf3 2sin232sin3f(0)f7 ，所以ca0)的单调递增区间为k512，k12 (kZ)，单调递减区间为k12，k712 (kZ)，则的值为_答案：答案：2提示提示：由题意，得k712 k512 ，即函数 f(x)的周期为，则2.12.12.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的最小正周期是，且当 x0，2时，f(x)sin x，则 f53 的值为_答案：答案：32提示提示：f53 f3 f3 sin332.13.13.函数 f(

18、x)2sin x(0)在0，4 上是增加的，且在这个区间上的最大值是 3，那么_.答案：答案：43提示提示：因为 f(x)2sin x (0)在0，4 上是增加的， 且在这个区间上的最大值是 3， 所以 2sin4 3，且 04cos x 时，f(x)sin x.给出以下结论：f(x)是周期函数；f(x)的最小值为1；当且仅当 x2k (kZ)时，f(x)取得最小值；当且仅当 2k2x0；f(x)的图像上相邻两个最低点的距离是 2.其中正确的结论序号是_答案：答案：提示提示：易知函数 f(x)是周期为 2的周期函数8函数 f(x)在一个周期内的图像如图所示由图像可得， f(x)的最小值为22， 当且仅当 x2k54(kZ)时，f(x)取