中考专题：圆与二次函数结合题

1、2、如图,半径为假设抛物线y(1)(2)(3)2的.C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点B,点C的坐标为(1,-32一xbxc过A、B两点.3求抛物线的解析式；在抛物线上是否存在点巳使彳导/PBO=ZPOB假设存在,求出点P的坐标；假设不存在说明理由；假设点M是抛物线(在第一象限内的局部)上一点,MAB的面积为S,求S的最大(小)值.1、如图,平面直角坐标系中,以点C(2,J3)为圆心,以2为半径的圆与薜轴交于 A、B两点.(1)求A、B两点的坐标；2yxbxc的图象经过点A、B,试确定此二次函数的解析式.中考专题:圆与函数综合题(2)假设二次函数B13、如图,抛物线yax2bxc的

2、对称轴为轴,且经过(0,0),(百,一)两点,点P在抛物线上运动,以P为圆心的.P经过定点A(0,2),(1)求a,b,c的值；(2)求证：点P在运动过程中,OP始终与近轴相交；(3)设OP与近轴相交于MX1,0,Nx2,0X1Px2两点,当AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标.4、如图,二次函数y=x2+bx3b+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C,且经过点(b-2,2b2-5b-1).(1)求这条抛物线的解析式；(2)OM过A、B、C三点,交y轴于另一点D,求点M的坐标；(3)连接AM、DM,将/AMD绕点M顺时针旋转,两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、

3、F,假设DMF为等腰三角形,求点E的坐标.165、类比、转化、分类讨论等思想方法和数学根本图形在数学学习和解题中经常用到,如下是一个案例,请补充完整.原题：如图1,在.0中,MN是直径,ABXMN于点B,CDMN于点D,ZAOC=90,AB=3,CD=4,那么BD=_.尝试底究：如图2,在.0中,MN是直径,ABMN于点B,CDMN于点D,点E在MN上,/AEC=90,AB=3,BD=8,BE:DE=1:3,那么CD=_(试写出解答过程).类比延伸：利用图3,再探究,当A、C两点分别在直径MN两侧,且ABWCD,ABLMN于点B,CDMN于点D,ZAOC=90时,那么线段AB、CDBD满足的数

4、量关系为_.1213、6、如图,设抛物线y-xx交x轴于A,B两点,顶点为424M,半圆交y轴负半轴于C.(1)求抛物线的对称轴；(2)将ACB绕圆心M顺时针旋转180,得到APB,如图.求点P的坐标;(3)有一动点Q在线段AB上运动,4QCD的周长在不断变化时是否存在最小值假设存在,求点Q的坐标；假设不存在,说明理由.7、如图1,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(1,0),B(3,0)两点,且与y轴交于点CD.以BA为直径作半圆,圆心为拓展迁移：如图4,在平面直角坐标系中,抛物线经过A(m,6),B(n,1)两点(其中0Vm3),且以y轴为对称轴,且/AOB=90,求mn的值；当$AOB=

5、10时,求抛物线的解析式.求b,c的值.(2)在第二象限的抛物线上,是否存在一点P,使彳PBC的面积最大求出点P的坐标及PBC的面积最大值.假设不存在,请说明理由.(3)如图2,点E为线段BC上一个动点(不与B,C重合)于BC的直线交于点F,当OEF面积取得最小值时,求点8、如图,点P在y轴的正半轴上,OP交x轴于B、C两点,以AC为直角边作等腰RtAACD,BD分别交y轴和.P于E、F两点,交连结ACFC.(1)求证：/ACF1ADB;(2)假设点A到BD的距离为m,BF+CF=n求线段CD的长;(3)当.P的大小发生变化而其他条件不变时,匹的值AO是否发生变化假设不发生变化,请求出其值；假

6、设发生变化,请说明理由.,经过B、E、O三点的圆与过点E坐标.B且垂直9、如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2/5的圆C与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,且点C在x轴的上方.(1)求圆心C的坐标；(2)一个二次函数的图像经过点A、B、C,求这二次函数的解析式；(3)设点P在y轴上,点M在(2)的二次函数图像上,如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形,请你直接写出点M的坐标.10、如图,在.M中,弦AB所对的圆心角为120,圆的半径为1cm,并建立如下图的直角坐标系.(1)求圆心M的坐标；(2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式；(3)点P是OM上的一个动点,当PAB为

7、Rt时,求点p的坐标.图11、如图,在半径为2的扇形AOB中,/AOB=90,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD,BC,O吐AC,垂足分别为D、E.(1)当BC=1时,求线段OD的长；(2)在DOE中是否存在长度保持不变的边如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由；(3)设BD=x,DOE的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量的取值范围.212、抛物线yaxbx3经过A(3,0),B(4,1)两点,且与y轴交于点C.(1)求抛物线yax2bx3的函数关系式及点C的坐标；(2)如图(1),连接AB,在题(1)中的抛物线上是否存在点P,使PAB是以AB为直角边的直

8、角三角形假设存在,求出点P的坐标；假设不存在,请说明理由；(3)如图(2),连接AC,E为线段AC上任意一点(不与A、C重合)经过A、EO三点的圆交直线AB于点F,当OEF的面积取得最小值时,求点E的坐标.图(2)13、：如图,抛物线y=x2x1与y轴交于C点,以原点O为圆心,OC长为半彳5作OO,交x轴于A,B两点,交y轴于另一点D.设点P为抛物线y=x2-x-1上的一点,作PMx轴于M点,求使PMBsADB时的点P的坐标.14、点A(-1,0)B(4,0)C(0,2)是平面直角坐标系上的三点.如图1先过A、B、C作ABC,然后在在 K 轴上方作一个正方形D1E1F1G1,使D1E1在AB上

9、,F1、G1分别在BCAC上如图2先过A、B、C作圆.M,然后在近轴上方作一个正方形D2E2F2G2,使D2E在篮轴上,F2、G2在圆上如图3先过A、BC作抛物线然后在正轴上方作一个正方形D3E3F3G3,使D3E3在内轴上,F3、G3在抛物线上请比拟正方形D1E1F1G1,正方形D2E2F2G2,正方形D3E3F3G3的面积大小15、如图,经过坐标原点的.P与x轴交于点A(8,0),与y轴交于点B(0,6),点C是第一象限内OP上一点,CB=CO,抛物线yax2bx经过点A和点C.(1)求.P的半径；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在点D,使得点A、点B、点C和点D构成矩形,假

10、设存在,直接写出符合条件的点D的坐标；假设不存在,试说明理由.16、 ： 如图9-1,抛物线经过点O、A、B三点,四边形OABC是直角梯形,其中点A在x轴上,点C在y轴上,BC/OA,A(12,0)、B(4,8).(1)求抛物线所对应的函数关系式；(2)假设D为OA的中点,动点P自A点出发沿A-B-8O的路线移动,速度为每秒1个单位,移动时间记为t秒.几秒钟后线段PD将梯形OABC的面积分成1：3两局部并求出此时P点的坐标；(3)如图9-2,作OBC的外接圆O,点Q是抛物线上点A、B之间的动点,连接OQ交.O于点M,交AB于点N.当/BOQ=45时,求线段MN的长.1217、如图,抛物线y-x

11、bxc与y轴相父于C,与x轴相父于A、B,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,-1).(1)求抛物线的解析式；(2)点E是线段AC上一动点,过点E作D已x轴于点D,连结DC,当DCE的面积最大时,求点D的坐标；(3)在直线BC上是否存在一点P,使4ACP为等腰三角形,假设存在,求点P的坐标,假设不存在,说明理由.二题图18、如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0,c0)图象上的任意一点,以P为圆心,PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B.(1)判断P是否在线段AB上,并说明理由；(2)求AOB的面积；6(3)Q是反比例函数y-(x0)图象上异于点P的另一点,请以Q为圆心,QO半径回圆与

12、x、x备用图y轴分别交于点M、N,连接AN、MB,求证：AN/MB.21、如图,在半彳仝为6,圆心角为90的扇形OAB的弧AB上,有一个动点p,PHOA,垂足为H,PHO的中线PM与NH交于点G.PGc(1)求证：2；GMB_(2)设PH=x,GP=ySAC以斜边AB所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,假设OA2+OB2=17,且线段O()A.OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根.(1)求C点的坐标；(2)以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E,求过(),A.B.E三点的抛物线的解析式,并画出此抛物线的草图；在抛物线上是否存在点P,使

13、4ABP与4ABC全等假设存在,求出符合条件的P点不一、的坐标者不存在,说明理由.参考答案1、解：(1)过点 C 作 CM,工轴于点 M,那么点 M 为 AB 的中点.CA=2,CM=,:.AM=JC0-CM.=1,于是,点 A 的坐标为(2)将(1,0),(3,0)代入歹上工 4 医+1 导,1,0),点 B 的坐标为(3,0)O=l+$xl+G0匚手+2+二解得3.所以,此二次函数的解析式为2、考点：二次函数综合题.解答：解：(1)如答图 1,连接 OB.BC=2,OC=1OB=一 I 一,、二B(0,)将 A(3,0),B(0,)代入二次函数的表达式F/9+%4 二=.得,解得:造 1

14、十逋工十出.33(2)存在.如答图 2,作线段 OB 的垂直平分线 1,与抛物线的交点即为点 P.-B(0,),O(0,0),y=直线 1 的表达式为2.代入抛物线的表达式,刀二一座工、拽工十小二虫犬二 1 土包得332；解得2,1 土埋立P(22).(3)如答图 3,作 MHLx 轴于点 H.设 M(9居！),111那么&MAB=S 梯形MBOH+SMHA&OAB=(MH+OB)OH+2HAMHOAOB；帝+W)Q-一3)炉不一;乂3工小二 J 乙乙4、解：(1)把点(b-2,2b25b1)代入解析式,得2b25b1=(b-2)2+b(b-2)3b+3,1解得 b=2.:抛物

15、线的解析式为 y=x2+2x3.2(2)由 x2+2x3=0,得 x=3 或 x=1.A(3,0)、B(1,0)、C(0,3).抛物线的对称轴是直线 x=-1,圆心 M 在直线 x=-1 上.3设 M(1,n),作 MGLx 轴于 G,MH,y 轴于 H,连接 MC、MB.MH=1,BG=2.4,.MB=MC,-BG2+MG2=MH2+CH2,即 4+n2=1+(3+n)2,解得 n=1,点 M(1,1)5(3)如图,由 M(1,1),得 MG=MH.MA=MD,RtAAMGRtDMH,/1=/2.由旋转可知/3=/4.AMEADMF.假设 ADMF 为等腰三角形,那么 4AME 为等腰三角形

16、.6设 E(x,0),AME 为等腰三角形,分三种情况：AE=AM=,那么 x=-3,E(3,0);M 在 AB 的垂直平分线上,.MA=ME=MB,E(1,0)7,点 E 在 AM 的垂直平分线上,那么 AE=ME.AE=x+3,ME2=MG2+EG2=1+(1x)2,(x+3)2=1+(1-x)2,解得 x=,.E(,0)所求点 E 的坐标为(一 3,0),(1,0),(,0)85、解：原题：ABXMN,CDMN,./ABO=/ODC=90/BAO+/AOB=90/AOC=90.DOC+/AOB=90./BAO=/DOC 又;OA=OC.AAOBAODC(AAS)OD=AB=3,OB=CD

17、=4,.BD=OB+OD=7尝试探究：ABXMN,CDMN,/ABE=/CDE=90a=rb=c=03、(1)4(2)设 P(x,y),OP 的半径 r=J化简得:r=+42/4,:点P在运动过程中,OP 始终与 K 轴相交;(3)设P(4),PA=T-d16+4,作 PHXMN 于 H,WPM=PN=丁+4,16,又 PH=r,那么MH=NH=MN=4,M(,0),N(,0),又 A(0,2),AM=J.-21+4 当 AM=AN 时,解得=0,当 AM=MN时,Jg-2y+4=4,解得:也=223当 AN=MN 时,Jg+十4=4,解得：口=一2土 2出,那么综上所述,P的纵坐标为 0 或

18、4+2g或4-2g；a+4-163=2oH/BAE+/AEB=90/AEC=90/DEC+ZAEB=90BAE=/DEC.ABEEDCCDDECD6=一.BEABAB=3,BD=8,BE:DE=1:3,.BE=2,DE=6.13.CD=4类比延伸：如图 3(a)CD=AB+BD;如图 3(b)AB=CD+BD2 分拓展迁移：作 3cJ_X 轴于 C 点,心 i 汗轴于D点,二工,B 点坐标分别为僧,BC=1,0ct=一%=播、=又AQB=90./BCQ=/QDA=90,/QBC=/AQD.CEOsZWH:CSCOBO1=,=一二1-p二加理二一6.DAOAm6.2 分由得,A=mB,又二IU,

19、2即 OBDA=Ji.1.mBCP=20,又.-一.,一一坐标为2,6,B 坐标为3,1,代入得抛物线解析式为6、解：1对称轴为直线 x=12A-1,0,B3,0,M1,0所以圆 M 的半径为 21d飘CjMJ亚丁1,/COW=川叱：.ACOM=(3)顶点坐标为 D(1,-1)：.PE 二 OC 二七21P 点坐标为点D1,-1关于 x 轴的对称点 D(1,1)1那么直线 CD为 V=斗工+1-31那么 CD与 X 轴的交点即为所求的7、解：1连结 A、BAQB=90AB 是.P 的直径OP 的半径是 5.4 分2分ABJFZ=AAFTF=IO2 刀 AB 一解得解得解法二：如答图 2-2,过

20、 M 作 MN,y 轴于点 N.设 M(m,4m22m4),(2)作 CHXOB,垂直为 H,CB=CO.H 是 OB 的中点 CH 过圆心 PPH=JF2=小.一3=4C 的坐标是(9,3)7 分641a十泌=012 分(3)D(-1,3)占把 A、C 坐标分别代入方=存工+5X 得:r1=38 分解得 13 抛物线的解析式是./ACB=90,:AB 为圆的直径.C、D 关于直径AB 对称,D(0,4).8k+b=0AC2+BC2=AB2=100,由垂径定理可知,点(2)解法一：设直线 BD 的解析式为y=kx+b,-B(8,0),D(0,4),由勾股定理得：AC=,BC 三设 M(x,如答

21、图 2-1,过点 M 作 ME/y 轴,4x22x4)=4x2+x+8.1.SABDM=&MED+&MEB=2ME(xE-XD)+ME(xBME=(2x+4)(12交 BD 于点 E,那么 E(x,2x+4).直线 BD 解析式为：y=2x+4.1XD)=2ME(XBXD)=4ME,2,0),BSABDM=4(-4x2+x+8)=x2+4x+32=(x-2)2+36.当 x=2 时,BDM 的面积有最大值为 36;抛物线的解析式为：y=ix22x4;.OA=2,OB=8,OC=4,AB=10.如答图 1,连接 AC、BC.(8,0),C(0,8、解：(1);抛物线y=ax2+b

22、x+c 过点 A(4a-2b+e=064a+8b+c=0SAMND=4/INDN=上 m4-(4m2-2m-4)=2m-Zm(4m2OD=SAOBD=20BOD=2=16,1S 样形OBMN=2(MN+OB)ON=2(m+8)(43m22m4)=-2m(4m22m4)4(4m2-2m4),SABDM=SOBD+SWOBMN-SAMND=164)2-2m-4)4(4m2-2m4)2m(4m2-2=16-4(4m22m4)2m=-m2+4m+32=(m2)2当 m=2 时,BDM 的面积有最大值为 36.(3)如答图 3,连接 AD、BC.由圆周角定理得：/ADO=ZCBO,ZDAO=ZBCO,A

23、AODACOB,设 A(xi,0);抛物线9y=x2+bx+c(c2=c,0D32m-4),无论 b,c 取何值,点D 均为定点,该定点坐标 D(0,1).9、解：(1)联结 AC,过点 c 作 CH-LAB,垂直为H,-AB由垂径定理得：AH=2=2,那么 OH=1.由勾股定理得：CH=4.又点 C 在 x 轴的上方,.,点 C 的坐标为.(2)设二次函数的解析式为 y=ax+6+心.)0=ab+cr=一+3将直线 AC 向上平移 2 个单位与直线 BP 重合.那么直线 BP 的函数关系式为=一方+5_45y=-j：+3丁点P在直线,一一工十上,又在22X,x+5,x,x+3上；设点P为,2

24、25=x-x-1-3j22解得看=-L/=4综上所述,存在两点 Pi0,3,P2-1,6.4 分/OAE=ZOAF=45,而/OEF=/OAF=45,P24,1舍ZOFE=ZOAE=45,./OEF=Z0FE=4 引,OE=OF,ZE0F=9f,点 E 在线段 AC 上,.设E武一五+可:.豆=_2/一6H+92333f,万)3X 二一.当2时,取最小值,r33x+3+3=此时13、提示：设 P 点的横坐标XP=a,那么 P 点的纵坐标 yp=a2-a1.那么 PM=|a2-a-1|,BM=|a-1|.由于ADB 为等腰直角三角形,所以欲使PMBAADB,只要使 PM=BM.即|a2-a-1|

25、Ia-1|.不难得 ai=0.P 点坐标分别为PI(0,-1).P2(2,1).人&,1-近)Y(-叵1+614、(1)b=2,c=3(2)存在.理由如下：设 P 点(兀-,-2元+药.)、2.SBPC=丁9=-I227+827A=-x-2J：+3=2时,15,点 P 坐标为2时,.最大=石I3OB=OC=3.,.ZOBC=/OCB=45O,而/OEF=/OBF=45O,/OFE=/OBE=45O,丁/OEF=ZOFE=45O,OE=OF,/EOF=90(6 分)即=GF2=OE2.当 OE 最小时,OEF 面积取得最小值,点 E 在线段 BC 上,.,.当 OELBC 时,OE 最小

26、此时点 E 是 BC 中点33E(22)y=J34e15、1),二次函数上的图像经过点 A(2,0)2十十白=IJ解得：b=-2c=1 二次函数的解析式为(2)设点 D 的坐标为OD=mAD=2-m(m,0)(0m16由于 SABD=2.点 P 在 BC 上不能满足要求.即点 P 只能在 AB 或 OC 上才能满足要求,点 P 在 AB 上,设 P(x,y)7一二)16:48图9-1F口E又过 D 作 DHLAB 于 H,AD=6t=3 时,DH=20-xjlPxD/f=-x：x/SAPD=-一33J满足要求.PQ=CQ=kAL=Ik-2I,PL=|-k-1|可彳导AAPD=16.y=3-y=

27、SAAPD=-“IP与满足要求.18、解：图 1 设正方形的边长为出_10_1002-a_a由CGFisCAB 得一图 2 设正方形的边长为bA(-1,0)B(4,0)C(0,2).,热十方=5+20=25二 3,./ACB=90AB 是圆 M 的直径BMXOM,OM=-(3)解：连接 BM,OB 是圆直径,lBC=4,OC=8.1.OB=在 RtABMO 中/BOQ=45由(2)可知：/OAB=45,AB=/BOQ=45/BOA=/BOQ+ZAON=45+/AON又 BNO=45+/AON/BNO=/BOA又 BON=/BAO=45.BONABAOONQBW4 行.13瓦即12 蚯ON=MN=ON-OM=17、i1m 电月(LD 玛(LD.此时 t=AB+BC+CP=过 M 作 MNXG2F2 由垂径定理得解得理=+即必力呼?琦玛小图 3 设正方形的边长为匕尸二由 A(-1,0)B(4,0