2016-2017届黑龙江省牡丹江一高高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

1、2016-2017学年黑龙江省牡丹江一高高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，满分60分）1（5分）若集合B=x|x0，且AB=A，则集合A可能是（）A1，2Bx|x1C1，0，1DR2（5分）已知复数z满足，则z=（）A2+3iB23iC3+2iD32i3（5分）下列抛物线中，焦点到准线距离最小的是（）Ay2=xBy2=2xC2x2=yDx2=4y4（5分）在平面区域（x，y）|0x1，1y2内随机投入一点P，则点P的坐标（x，y）满足y2x的概率为（）ABCD5（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A7B9C10D116（5分）下列四个判断：

2、某校高三（1）班的人数和高三（2）班的人数分别是m和n，某次数学测试平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；从总体中抽取的样本（1，2.5），（2，3.1），（4，3.9），（5，4.4），则回归直线y=bx+a必过点（3，3.6）；在频率分布直方图中，众数左边和右边的所有直方图的面积相等其中正确的个数有（）A0个B1个C2个D3个7（5分）已知变量x，y满足：，则z=（）2x+y的最大值为（）AB2C2D48（5分）已知（0，），且sin（）=，则tan2=（）ABCD9（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）AB2+2CD2+10（5分）已知等差数列a的前n项和为S

3、n，公差为d，且a1=20，则“3d5”是“Sn的最小值仅为S6”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件11（5分）长方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，cosACE=，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直经为（）A4B6C4或D6或12（5分）已知F1，F2分别是双曲线C：=1（a0，b0）的左，右焦点，G是双曲线C上一点，且满足|GF1|7|GF2|=0，则C经过第一象限的渐近线的斜率的取值范围是（）A（0，B（0，C（，D（，二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上）13（5分）抛物线y=x

4、22x3与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为14（5分）在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=运用类比的思想，我们可以解决下面问题：在空间内直角坐标系内，点 P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=15（5分）数列an中，满足a1+a2+an=3n1，则+=16（5分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则ABC的外接圆的面积是三、解答题：17（12分）已知函数f（x）=sinx+cosx（0）的周期为4（）求f（x）的解析式；（）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g（x）

5、的图象，P、Q分别为函数g（x）图象的最高点和最低点（如图），求OQP的大小18（12分）某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：100，110），110，120），120，130），130，140），140，150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件

6、完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？P（K2k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828附：K2=19（12分）如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，DAB=60°，ADDC，ABBC，QD平面ABCD，PAQD，PA=1，AD=AB=QD=2（1）求证：平面PAB平面QBC；（2）求该组合体QPABCD的体积20（12分）已知椭圆的离心率为，过左焦点F且垂直于长轴的弦长为（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（m，0）为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l

7、交椭圆C于A、B两点，证明：|PA|2+|PB|2为定值21（12分）已知定义在正实数集上的函数f（x）=x2+4ax+1，g（x）=6a2lnx+2b+1，其中a0（）设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b，并求b的最大值；（）设h（x）=f（x）+g（x），证明：若，则对任意x1，x2（0，+），x1x2有选修4-4：坐标与参数方程22（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线l的参数方程为（t为参数，0，曲线C的极坐标方程为cos2=4sin（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直

8、线l与曲线C相交于A，B两点，当变化时，求|AB|的最小值选修4-5：不等式选讲23已知a，b为正实数（1）求证：+a+b；（2）利用（I）的结论求函数y=+（0x1）的最小值2016-2017学年黑龙江省牡丹江一高高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，满分60分）1（5分）（2017惠州模拟）若集合B=x|x0，且AB=A，则集合A可能是（）A1，2Bx|x1C1，0，1DR【分析】集合B=x|x0，且AB=A，则故AB，进而可得答案【解答】解：集合B=x|x0，且AB=A，故AB，故A答案中1，2满足要求，故选：A【点评】本题考查的知识点是集合的子集，集合

9、的交集运算，难度不大，属于基础题2（5分）（2016山东二模）已知复数z满足，则z=（）A2+3iB23iC3+2iD32i【分析】根据复数的运算法则计算即可【解答】解：，则=2+3i，z=23i，故选：B【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题3（5分）（2016秋东安区校级期末）下列抛物线中，焦点到准线距离最小的是（）Ay2=xBy2=2xC2x2=yDx2=4y【分析】求出选项抛物线的P的大小，半径即可【解答】解：y2=x的P=，y2=2x的p=1，2x2=y的P=，x2=4y的p=2可知，选项C正确故选：C【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力4（5分

10、）（2016广州一模）在平面区域（x，y）|0x1，1y2内随机投入一点P，则点P的坐标（x，y）满足y2x的概率为（）ABCD【分析】作出不等式组对应的区域，利用几何概型的概率公式，即可得到结论【解答】解：不等式组表示的平面区域为D的面积为1，不等式y2x对应的区域为三角形ABC，则三角形ABC的面积S=，则在区域D内任取一点P（x，y），则点P满足y2x的概率为，故选：A【点评】本题主要考查二元一次不等式表示平面区域以及几何概型的概率计算，利用条件求出对应区域的面积是解决本题的关键5（5分）（2016秋东安区校级期末）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A7B9C

11、10D11【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S1时，终止循环；再根据S的值求出终止循环时的i值即可【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=0S=lg3，不满足条件1S，执行循环体，i=3，S=lg3+lg=lg5，不满足条件1S，执行循环体，i=5，S=lg5+lg=lg7，不满足条件1S，执行循环体，i=7，S=lg5+lg=lg9，不满足条件1S，执行循环体，i=9，S=lg9+lg=lg11，满足条件1S，跳出循环，输出i的值为9故选：B【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题6（5分）（2016秋东安区校级期末）下

12、列四个判断：某校高三（1）班的人数和高三（2）班的人数分别是m和n，某次数学测试平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；从总体中抽取的样本（1，2.5），（2，3.1），（4，3.9），（5，4.4），则回归直线y=bx+a必过点（3，3.6）；在频率分布直方图中，众数左边和右边的所有直方图的面积相等其中正确的个数有（）A0个B1个C2个D3个【分析】求出两个班的数学平均分判断；由线性回归直线方程恒过样本中心点判断；由频率分布直方图中，中位数左边和右边的所有直方图的面积相等判断【解答】解：某校高三（1）班的人数和高三（2）班的人数分别是m和n，某次数学测试平均分分别是a，b，则这两个班的

13、数学平均分为，故错误；从总体中抽取的样本（1，2.5），（2，3.1），（4，3.9），（5，4.4），则样本中心点为（3，3.475），回归直线y=bx+a必过点（3，3.475），故错误；在频率分布直方图中，中位数左边和右边的所有直方图的面积相等，故错误正确命题的个数是0个故选：A【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了统计中基础知识的掌握，属基础题7（5分）（2015德州二模）已知变量x，y满足：，则z=（）2x+y的最大值为（）AB2C2D4【分析】作出不等式组对应的平面区域，设m=2x+y，利用线性规划的知识求出m的最大值即可求出z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如

14、图：（阴影部分）设m=2x+y得y=2x+m，平移直线y=2x+m，由图象可知当直线y=2x+m经过点A时，直线y=2x+m的截距最大，此时m最大由，解得，即A（1，2），代入目标函数m=2x+y得z=2×1+2=4即目标函数z=（）2x+y的最大值为z=（）4=4故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，数形结合的数学思想是解决此类问题的基本思想8（5分）（2015贵州校级模拟）已知（0，），且sin（）=，则tan2=（）ABCD【分析】由（0，），可得，又sin（）=，可得，因此=于是cos=，可得，利用即可得出【解答】解：（0，），又sin（）=，=

15、cos=+=，（0，），=tan2=故选：C【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（5分）（2016秋东安区校级期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）AB2+2CD2+【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以左视图为底面的半圆锥，代入锥体表面积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以左视图为底面的半圆锥，底面半径r=1，母线长l=3，故h=2，故其表面积：+×2r×h=2+2，故选：B【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的直观图，难度中档10（5分）（20

16、16秋东安区校级期末）已知等差数列a的前n项和为Sn，公差为d，且a1=20，则“3d5”是“Sn的最小值仅为S6”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】利用Sn的最小值仅为S6，可得a60，a70，求出d4，根据集合的包含关系判断即可【解答】解：Sn的最小值仅为S6，a60，a70，d4，3d5”是d4的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查等差数列前n项和的最值，考查集合的包含关系考以及生分析解决问题的能力11（5分）（2016秋东安区校级期末）长方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，cosACE=，且四

17、边形ABB1A1为正方形，则球O的直经为（）A4B6C4或D6或【分析】设AB=2x，则AE=x，BC=，由余弦定理可得x2=9+3x2+92×3××，求出x，即可求出球O的直径【解答】解：设AB=2x，则AE=x，BC=，AC=由余弦定理可得x2=9+3x2+92×3××，x=1或，AB=2，BC=2，球O的直径为=4，或AB=2，BC=，球O的直径为=故选C【点评】本题考查球O的直径，考查余弦定理，考查学生的计算能力，正确求出AB是关键12（5分）（2016秋东安区校级期末）已知F1，F2分别是双曲线C：=1（a0，b0）的左，右

18、焦点，G是双曲线C上一点，且满足|GF1|7|GF2|=0，则C经过第一象限的渐近线的斜率的取值范围是（）A（0，B（0，C（，D（，【分析】设G点的横坐标为x0，注意到x0a由双曲线第二定义得：|GF1|=a+ex0，|GF2|=ex0a，利用|GF1|7|GF2|=0，可得a+ex0=7（ex0a），x0=a，由此即可得出结论【解答】解：设G点的横坐标为x0，注意到x0a由双曲线第二定义得：|GF1|=a+ex0，|GF2|=ex0a，|GF1|7|GF2|=0，a+ex0=7（ex0a），x0=a，1e，0，C经过第一象限的渐近线的斜率的取值范围是（0，故选A【点评】本题主要考查了双曲线

19、的应用考查了学生综合运用所学知识解决问题能力二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上）13（5分）（2016秋东安区校级期末）抛物线y=x22x3与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（x1）2+（y+1）2=5【分析】由已知抛物线方程求出圆心横坐标，设出圆心纵坐标，由圆心到圆上两点的距离等于圆的半径列式求解【解答】解：抛物线y=x22x3的图象关于x=1对称，与坐标轴的交点为A（1，0），B（3，0），C（0，3），令圆心坐标M（1，b），可得|MA|2=|MC|2=r2，即4+b2=1+（b+3）2=r2，解得b=1，r=圆的轨迹方程为（x1）2+（y+1）2=

20、5故答案为：（x1）2+（y+1）2=5【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查数学转化思想方法，是中档题14（5分）（2016秋东安区校级期末）在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=运用类比的思想，我们可以解决下面问题：在空间内直角坐标系内，点 P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2【分析】类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，d=2【解答】解：类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2故答案为：2【点评】类比推理

21、的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）15（5分）（2016秋东安区校级期末）数列an中，满足a1+a2+an=3n1，则+=【分析】判断数列是等比数列，然后利用等比数列求和公式求解即可【解答】解：数列an中，满足a1+a2+an=3n1，可得a1+a2+an1=3n11，可得an=23n1，由a1=2，满足题意，所以数列an是等比数列，首项为2，公比为3，则也是等比数列，首项为：，等比为：，所以：+=故答案为：【点评】本题考查数列求和，等比数列的判断，考查转化思想以及计算能力16（5分）（2016秋东安区

22、校级期末）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则ABC的外接圆的面积是【分析】由已知可得2acosC+c=2b，由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简可得sinC=2cosAsinC，结合sinC0，可求cosA，结合A（0，），可得sinA，利用正弦定理可求ABC的外接圆半径R，由圆的面积公式即可计算得解【解答】解：a=1，2cosC+c=2b，2acosC+c=2b，由正弦定理可得：2sinAcosC+sinC=2sinB，2sinAcosC+sinC=2sinAcosC+2cosAsinC，可得：sinC=2cosAsinC，

23、C为三角形内角，sinC0，cosA=，结合A（0，），可得：sinA=，ABC的外接圆半径R=，可得：ABC的外接圆的面积S=R2=故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，圆的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题三、解答题：17（12分）（2015漳州二模）已知函数f（x）=sinx+cosx（0）的周期为4（）求f（x）的解析式；（）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g（x）的图象，P、Q分别为函数g（x）图象的最高点和最低点（如图），求OQP的大小【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f（x）

24、=sin（x+），根据函数的周期为4=，求得 的值，可得f（x）的解析式（2）由条件根据y=Asin（x+）的图象变换规律，可得函数g（x）=sinx，求出P、Q的坐标，利用余弦定理求得cos 的值，可得的值【解答】解：（1）f（x）=sinx+cosx（0）=（sinx+cosx）=sin（x+），由于函数的周期为4=，得=，故f（x）=sin（x+）（2）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g（x）=sinx因为P、Q分别为该图象的最高点和最低点，P（1，）、Q （3，）所以OP=2，PQ=4，OQ=，cos=，=【点评】本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图象周期、对称、平

25、移等基本性质，考查运用有关勾股定理、余弦定理求解三角形的能力，属于中档题18（12分）（2016长沙二模）某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：100，110），110，120），120，130），130，140），140，150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，

26、请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？P（K2k0）0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828附：K2=【分析】（1）根据分层抽样原理计算抽取的男、女生人数，利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值；（2）由频率分布直方图计算对应的数据，填写列联表，计算K2值，对照数表即可得出概率结论【解答】解：（1）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，分数小于等于110分的学生中，男生人有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3；女生有40×0.05=2（人

27、），记为B1，B2；（2分）从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）；（4分）故所求的概率为P=（6分）（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生 60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）；（7分）据此可得2×

28、2列联表如下：数学尖子生非数学尖子生合计男生154560女生152540合计3070100（9分）所以得K2=1.79；（11分）因为1.792.706，所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”（12分）【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样原理以及独立性检验的应用问题，是基础题目19（12分）（2016秋东安区校级期末）如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，DAB=60°，ADDC，ABBC，QD平面ABCD，PAQD，PA=1，AD=AB=QD=2（1）求证：平面PAB平面QBC；（2）求该组合体QPABCD的体积【分析】（1

29、）推导出PABC，BCAB，从而BC平面PAB，由此能证明平面PAB平面QBC（2）连接BD，过B作BOAD于O，该组合体的体积V=VBPADQ+VQBCD由此能求出结果【解答】证明：（1）OD平面ABCD，PAQD，PA平面ABCD，又BC平面ABCD，PABC，又BCAB，PA平面PAB，AB平面PAB，PAAB=A，BC平面PAB，又BC平面QBC，平面PAB平面QBC解：（2）连接BD，过B作BOAD于O，PA平面ABCD，BO平面ABCD，PABO，又BOAD，AD平面PADQ，PA平面PADQ，PAAD=A，BO平面PADQ，AD=AB=2，DAB=60°，ABD是等邊三

30、角形，ADC=ABC=90°，CBD=CDB=30°，又BD=AB=2，QD平面ABCD，该组合体的体积【点评】本题考查面面垂直的证明，考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20（12分）（2016秋东安区校级期末）已知椭圆的离心率为，过左焦点F且垂直于长轴的弦长为（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（m，0）为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，证明：|PA|2+|PB|2为定值【分析】（1）根据离心率及通径构造方程组，求得a，b（2）直线与椭圆联立，根据韦达定理，弦长公式，采用设而不求法，证明|PA|

31、2+|PB|2为定值【解答】解：（1）由题意可得方程组解得故椭圆标准方程为（4分）（2）设l的方程为，代入并整理得：25y2+20my+8（m225）=0（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，又=，同理（8分）则=41所以|PA|2+|PB|2是定值（12分）【点评】考查了椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，圆锥曲线中定点定值问题考查了巧设方程，方程思想，设而不求法属于中档题21（12分）（2010沈阳模拟）已知定义在正实数集上的函数f（x）=x2+4ax+1，g（x）=6a2lnx+2b+1，其中a0（）设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b，

32、并求b的最大值；（）设h（x）=f（x）+g（x），证明：若，则对任意x1，x2（0，+），x1x2有【分析】（I）先求在公共点处的切线方程，只须分别求出其斜率的值，利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率利用两个斜率相等得到等式，从而用a表示b最后再利用导数的方法求b的最大值即可，研究函数的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值（II）不妨设x1，x2（0，+），x1x2，变形得h（x2）8x2h（x1）8x1令T（x）=h（x）8x，接下来利用导数研究它的单调性即可证x1x2命题成立【解答】解：（）设f（x）与g（x）交于点P（x0，y0），则有f（x0）=g（x0），即x02+4ax0+1=6a2lnx0+2b+1（1）又由题意知f'（x0）=g'（x0），即（2）（2分）由（2）解得x0=a或x0=3a（舍去）将x0=a代入（1）整理得（4分）令，则h'（a）=2a（13lna）时，h（a）递增，时h