2016-2017届浙江省杭州高级中学高三（下）第一次月考数学试卷 （解析版）

1、2016-2017学年浙江省杭州高级中学高三（下）第一次月考数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1（4分）设集合A=y|y=sinx，xR，集合B=x|y=lgx，则（RA）B（）A（，1）U（1，+）B1，1C（1，+）D1，+）2（4分）已知方程x2+（4+i）x+4+ai=0（aR）有实根b，且z=a+bi，则复数z的共轭复数等于（）A22iB2+2iC2+2iD22i3（4分）若条件p：|x+1|2，条件q：xa且p是q的充分不必要条件，则a取值范围是（）Aa1Ba1Ca3Da34（4分）已知函数f（x）=sin（x+）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x

2、轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则（+）（）的值为（）A1BCD25（4分）抛一枚均匀硬币，正，反面出现的概率都是，反复投掷，数列an定义：，若，则事件S40的概率为（）ABCD6（4分）已知函数f（x）=x3+2f（2）x，n=f（2），则二项式展开式中常数项是（）A第7项B第8项C第9项D第10项7（4分）双曲线=1（a0，b0）的左右焦点分别为F1，F2渐近线分别为l1，l2，位于第一象限的点P在l1上，若l2PF1，l2PF2，则双曲线的离心率是（）ABC2D8（4分）若向量、满足|=|2+|=2，则在方向上投影的最大值是（）ABCD9（4分）已知ab，二次三项式ax2+

3、2x+b0对于一切实数x恒成立，又x0R，使ax02+2x0+b=0成立，则的最小值为（）A1BC2D210（4分）已知方程ln|x|ax2+=0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）ABCD二、填空题：（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11（6分）若xlog34=1，则x=； 4x+4x=12（6分）抛物线x=ay2（a0）的焦点坐标是；双曲线的顶点到渐近线的距离为13（6分）设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.30.3若离散型随机变量Y满足Y=2X+1，则E（Y）=；D（Y）=14（6分）已知，且，（1）若 ，则tan=；（2）t

4、an的最大值为15（4分）已知等差数列an满足，数列bn的前n项和为Sn，则S100的值为16（4分）已知平面区域：夹在两条斜率为的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为m，若点P（x，y），且mxy的最小值为p，的最大值为q，则pq等于17（4分）设a0，（3x2+a）（2x+b）0在（a，b）上恒成立，则ba的最大值为三、解答题：（本大题共5小题，共74分）18（14分）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（2ac）cosB=bcosC，=3（I）求ABC的面积；（II）若sinA：sinC=3：2，求AC边上的中线BD的长19（15分）在平面直角坐标系xoy中，已知点

5、F（0，1），直线l：y=1，P为平面上的动点，且过点P作直线l的垂线，垂足为Q，满足：（）求动点P的轨迹C的方程；（）在轨迹C上求一点M，使得M到直线y=x3的距离最短，并求出最短距离20（15分）已知函数f（x）=（t+1）lnx+tx2+3t，tR（1）若t=0，求证：当x0时，f（x+1）xx2；（2）若f（x）4x对任意x1，+）恒成立，求t的取值范围21（15分）设椭圆C1：的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图若抛物线C2：y=x21与y轴的交点为B，且经过F1，F2点（）求椭圆C1的方程；（）设M（0，），N为抛物线C2上的一动点，过

6、点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求MPQ面积的最大值22（15分）数列an各项均为正数，且对任意nN*，满足an+1=an+can2（c0且为常数）（）若a1，2a2，3a3依次成等比数列，求a1的值（用常数c表示）；（）设bn=，Sn是数列bn的前n项和，（i）求证：； （ii）求证：SnSn+12016-2017学年浙江省杭州高级中学高三（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1（4分）（2016菏泽一模）设集合A=y|y=sinx，xR，集合B=x|y=lgx，则（RA）B（）A（，1）U（1，+）B1，1C（1，+）

7、D1，+）【分析】求出y=sinx的值域确定出A，找出R中不属于A的部分求出A的补集，求出y=lgx的定义域确定出B，找出A补集与B的公共部分即可求出所求的集合【解答】解：由集合A中的函数y=sinx，xR，得到y1，1，A=1，1，RA=（，1）（1，+），由集合B中的函数y=lgx，得到x0，B=（0，+），则（RA）B=（1，+）故选C【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键2（4分）（2017春下城区校级月考）已知方程x2+（4+i）x+4+ai=0（aR）有实根b，且z=a+bi，则复数z的共轭复数等于（）A22iB2+2iC2+2iD22i

8、【分析】由复数相等的意义将方程x2+（4+i）x+4+ai=0（aR）转化为实系数方程，解方程求出两根【解答】解：方程x2+（4+i）x+4+ai=0（aR）可以变为x2+4x+4+i（x+a）=0， 由复数相等的意义得解得x=2，a=2， 方程x2+（4+i）x+4+ai=0（aR）有实根b，故b=2， 所以复数z=22i，所以复数z的共轭复数等于2+2i 故选：B【点评】本题考查复数相等的意义，两个复数相等，则它们的实部与实部相等，虚部与虚部相等3（4分）（2014南关区校级模拟）若条件p：|x+1|2，条件q：xa且p是q的充分不必要条件，则a取值范围是（）Aa1Ba1Ca3Da3【分析

9、】求出：|x+1|2，根据p是q的充分不必要条件，得出qp，再运用集合关系求解【解答】解：p：|x+1|2，p：x1或x3，p是q的充分不必要条件，q是p充分不必要条件，p定义为集合P，q定义为集合q，q：xa，p：x1或x3，a1故选：A【点评】本题综合考察了充分必要条件，与命题之间的关系，结合不等式求解，属于中档题4（4分）（2017春迎泽区校级月考）已知函数f（x）=sin（x+）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则（+）（）的值为（）A1BCD2【分析】可求出f（x）的周期为2，从而得出，根据正弦函数的对称性可知，点C为DE的中点，从

10、而，并且，代入进行数量积的运算即可【解答】解：f（x）=sin（x+）的周期为2；D，E关于点C对称；C是线段DE的中点；=2故选D【点评】考查三角函数周期的计算公式，正弦函数的对称中心，以及向量加法的平行四边形法则，向量加法的几何意义5（4分）（2012春祁县校级期末）抛一枚均匀硬币，正，反面出现的概率都是，反复投掷，数列an定义：，若，则事件S40的概率为（）ABCD【分析】事件S40表示反复抛掷4次硬币，其中出现正面的次数是三次或四次，利用n次独立重复试验恰好出现k次的概率公式能够求出事件S40的概率【解答】解：事件S40表示反复抛掷4次硬币，其中出现正面的次数是三次或四次，其概率p=+

11、=，故选：C【点评】本题考查概率的性质和应用，解题时要合理地运用n次独立重复试验恰好出现k次的概率公式，属于中档题6（4分）（2010温州模拟）已知函数f（x）=x3+2f（2）x，n=f（2），则二项式展开式中常数项是（）A第7项B第8项C第9项D第10项【分析】根据题意，对f（x）求导，有f（x）=3x2+2f（2），令x=2，有f（2）=12+2f（2），解可得n=f（2）=12，将n=12代入的二项展开式，则可得满足常数项的r的值，进而可得答案【解答】解：根据题意，f（x）=3x2+2f（2），令x=2，有f（2）=12+2f（2），进而有n=f（2）=12，则的二项展开式为Tr+1=

12、C12r（x）12r（）r=C12r（2r），令12r=0，解可得，r=8，此时为展开式的第9项，故选C【点评】本题考查二项式定理的应用，注意项数与公式中次数的关系7（4分）（2015柳州一模）双曲线=1（a0，b0）的左右焦点分别为F1，F2渐近线分别为l1，l2，位于第一象限的点P在l1上，若l2PF1，l2PF2，则双曲线的离心率是（）ABC2D【分析】由双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一 象限内且在l1上，知F1（c，0）F2（c，0）P（x，y），由渐近线l1的直线方程为y=x，渐近线l2的直线方程为y=x，l2PF2，知ay=b

13、cbx，由ay=bx，知P（，），由此能求出离心率【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一 象限内且在l1上，F1（c，0）F2（c，0）P（x，y），渐近线l1的直线方程为y=x，渐近线l2的直线方程为y=x，l2PF2，即ay=bcbx，点P在l1上即ay=bx，bx=bcbx即x=，P（，），l2PF1，即3a2=b2，a2+b2=c2，4a2=c2，即c=2a，离心率e=2故选C【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线和双曲线位置关系的灵活运用8（4分）（2016秋赣州期中）若向量、满足|=

14、|2+|=2，则在方向上投影的最大值是（）ABCD【分析】对条件式子两边平方，用|表示出的夹角的余弦值，代入投影公式，利用基本不等式得出投影的最大值【解答】解：|2|=2，|=2，|2+4+16=4，设的夹角为，则|2+8|cos+12=0cos=在方向上投影为|cos=（+）+2=|cos故选：B【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，投影公式，基本不等式的应用，属于中档题9（4分）（2012秋武昌区期末）已知ab，二次三项式ax2+2x+b0对于一切实数x恒成立，又x0R，使ax02+2x0+b=0成立，则的最小值为（）A1BC2D2【分析】由条件求得a1，ab=1，由此把要求的式子化为化

15、简为，令 =t2，则=（t2）+4+，利用基本不等式求得的最小值为8，可得的最小值【解答】解：已知ab，二次三项式ax2+2x+b0对于一切实数x恒成立，a0，且=44ab0，ab1再由x0R，使+2x0+b=0成立，可得=0，ab=1，a1=0=令 =t2，则 =（t2）+4+4+4=8，故的最小值为8，故 的最小值为 =2，故选D【点评】本题主要考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的难点和关键，属于中档题10（4分）（2017郴州二模）已知方程ln|x|ax2+=0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）ABCD【分析】根据函数与方程的关系，利用参数分离式进行转化，构造函数，求出函数

16、的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由ln|x|ax2+=0得ax2=ln|x|+，x0，方程等价为a=，设f（x）=，则函数f（x）是偶函数，当x0时，f（x）=，则f（x）=，由f（x）0得2x（1+lnx）0，得1+lnx0，即lnx1，得0x，此时函数单调递增，由f（x）0得2x（1+lnx）0，得1+lnx0，即lnx1，得x，此时函数单调递减，即当x0时，x=时，函数f（x）取得极大值f（）=（1+）e2=e2，作出函数f（x）的图象如图：要使a=，有4个不同的交点，则满足0ae2，故选：A【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，构造函

17、数，研究函数的单调性和极值，借助数形结合是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度二、填空题：（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11（6分）（2017春下城区校级月考）若xlog34=1，则x=log43； 4x+4x=【分析】利用对数与指数的运算性质即可得出【解答】解：xlog34=1，x=log434x=3，4x+4x=3+=故答案为：log43，【点评】本题考查了对数与指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12（6分）（2017春下城区校级月考）抛物线x=ay2（a0）的焦点坐标是（，0）；双曲线的顶点到渐近线的距离为【分析】利用抛物线的方程求解焦点

18、坐标，双曲线方程求解渐近线方程，然后求解顶点到渐近线的距离【解答】解：抛物线x=ay2（a0），即y2=x，它的焦点坐标是（，0）；双曲线的一条渐近线方程为：x+3y=0，它的顶点到渐近线的距离为：=故答案为：（，0）；【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力13（6分）（2017春下城区校级月考）设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.30.3若离散型随机变量Y满足Y=2X+1，则E（Y）=5.8；D（Y）=23.2【分析】利用数学期望计算公式、方差的性质即可得出【解答】解：E（X）=0+1×0.1+2×0.1+3×

19、0.3+4×0.3=2.4E（Y）=2E（X）+1=5.8；D（Y）=22E（X）=23.2故答案为：5.8，23.2【点评】本题考查了数学期望计算公式、方差的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14（6分）（2017春下城区校级月考）已知，且，（1）若 ，则tan=；（2）tan的最大值为【分析】（1）将 ，带入计算即可（2）根据化简可得tan=看成是圆心为（0，0），半径r=1的圆与点（3，0）的斜率问题，可得结论【解答】解：由，化简可得：sin（1+sin2）=sin2cos，则tan=（1）若 ，则tan=tan=，看成是圆心为（0，0），半径r=1的圆与点（3，0）的

20、斜率问题，直线过（3，0），设方程为y=k（x3），d=r=1，即1=，解得k=tan的最大值为故答案为：，【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式和最值的转化思想，斜率的应用，圆心到直线的距离共识，属于中档题15（4分）（2017春下城区校级月考）已知等差数列an满足，数列bn的前n项和为Sn，则S100的值为【分析】利用等差数列的通项公式与“裂项求和”方法即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a3=7，a5+a7=26，a1+2d=7，2a1+10d=26，解得a1=3，d=2an=3+2（n1）=2n+1bn=S100=+=故答案为：【点评】本题考查了等差数列的通项公式与“裂项求

21、和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（4分）（2017春下城区校级月考）已知平面区域：夹在两条斜率为的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为m，若点P（x，y），且mxy的最小值为p，的最大值为q，则pq等于【分析】由约束条件作出可行域，结合题意求出m，利用线性规划知识求得p，再由两点求斜率求出q，则答案可求【解答】解：由约束条件作出可行域如图，平面区域夹在两条斜率为的平行直线之间，且两条平行直线间的最短距离为m，则m=令z=mxy=xy，则y=xz，由图可知，当直线y=xz过B（2，3）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为p=，=的几何意义为可行域内的动点与定点D（，

22、0）连线的斜率，其最大值q=pq=故答案为：【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题17（4分）（2017春下城区校级月考）设a0，（3x2+a）（2x+b）0在（a，b）上恒成立，则ba的最大值为【分析】若（3x2+a）（2x+b）0在（a，b）上恒成立，则3x2+a0，2x+b0或3x2+a0，2x+b0，结合一次函数和二次函数的图象和性质，可得a，b的范围，进而得到答案【解答】解：（3x2+a）（2x+b）0在（a，b）上恒成立，3x2+a0，2x+b0或3x2+a0，2x+b0，若2x+b0在（a，b）上恒成立，则2a+b0，即b2a0，

23、此时当x=0时，3x2+a=a0不成立，若2x+b0在（a，b）上恒成立，则2b+b0，即b0，若3x2+a0在（a，b）上恒成立，则3a2+a0，即a0，故ba的最大值为，故答案为：【点评】本题考查的知识点是恒成立问题，二次函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档三、解答题：（本大题共5小题，共74分）18（14分）（2017黔东南州一模）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（2ac）cosB=bcosC，=3（I）求ABC的面积；（II）若sinA：sinC=3：2，求AC边上的中线BD的长【分析】（I）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变

24、形，根据sinA不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数，利用平面向量数量积的运算可求ac的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解（II）由正弦定理化简可得a=，结合ac=6，可求a，c的值，由于=（+），平方后利用平面向量的运算即可解得AC边上的中线BD的长【解答】（本题满分为12分）解：（I）已知等式（2ac）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinAsinC）cosB=sinBcosC，整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，sinA0，cosB=，则B=60°又=3accos（B）=3，解得ac=6，SABC=

25、acsinB=×=6分（II）由sinA：sinC=3：2，可得：a：c=3：2，解得：a=，又由（I）可得：ac=6，解得：a=3，c=2，又=（+），42=2+2+2=c2+a22=22+322×（3）=19，|=，即AC边上的中线BD的长为12分【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式变形，平面向量数量积的运算，三角形面积公式，平面向量的运算在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题19（15分）（2017春下城区校级月考）在平面直角坐标系xoy中，已知点F（0，1），直线l：y=1，P为平面上的动点，且过点P作直线l的

26、垂线，垂足为Q，满足：（）求动点P的轨迹C的方程；（）在轨迹C上求一点M，使得M到直线y=x3的距离最短，并求出最短距离【分析】（）设P（x，y），则Q（x，1），F（0，1），由根据向量数量积的坐标运算，即可求得动点P的轨迹C的方程；（）法一：设，利用点到直线的距离公式，由二次函数的性质可知：，求得M（2，1）；法二：当与直线y=x3平行，且与曲线相切时的切点与与直线y=x3的距离最短将直线方程代入抛物线方程，则=0，即可求得m和x值，即可取得M到直线y=x3的距离最短；当与直线y=x3平行，且与曲线相切时的切点与与直线y=x3的距离最短设切点为，求导，求得切线斜率为，即可求得，M点坐标，根

27、据点到直线的距离公式即可求得，M到直线y=x3的距离最短【解答】解：（）设P（x，y），则Q（x，1），F（0，1），（4分）2（y+1）=x22（y1），化简得：x2=4y，所求轨迹为：x2=4y（6分）（）法一：设，则M到直线y=x3的距离为，此时M（2，1）为所求（12分）法二：当与直线y=x3平行，且与曲线相切时的切点与与直线y=x3的距离最短设该直线方程为y=x+m，（7分），解得：m=1，x=2，M（2，1）到直线y=x3的距离最短，最短距离为（12分）法三：当与直线y=x3平行，且与曲线相切时的切点与与直线y=x3的距离最短设切点为，轨迹方程可化为：，切线斜率为，x0=2，则M到

28、直线y=x3的距离为=，则M到直线y=x3的距离的最小值为，此时M（2，1）【点评】本题考查抛物线的轨迹方程，直线与抛物线的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，导数的几何性质，考查计算能力，属于中档题20（15分）（2017春下城区校级月考）已知函数f（x）=（t+1）lnx+tx2+3t，tR（1）若t=0，求证：当x0时，f（x+1）xx2；（2）若f（x）4x对任意x1，+）恒成立，求t的取值范围【分析】（1）求出函数f（x）的解析式，问题转化为证明ln（x+1）xx2；令g（x）=ln（x+1）x+x2，（x0）；根据函数的单调性证明即可；（2）问题转化为（t+1）lnx+tx2+3

29、t4x0，令（x）=（t+1）lnx+tx2+3t4x，根据函数的单调性求出t的范围即可【解答】解：（1）证明：t=0时，f（x）=lnx，f（x+1）=ln（x+1），即证ln（x+1）xx2；令g（x）=ln（x+1）x+x2，（x0）；则g（x）=0，g（x）在（0，+）递增，g（x）g（0）=0，即l（x+1）xx2；（2）由f（x）4x（t+1）lnx+tx2+3t4x0，令（x）=（t+1）lnx+tx2+3t4x，首先由（1）0t1，此时（x）=，令h（x）=2tx24x+t+1，t1，=168t（t+1）0，h（x）0恒成立，即（x）0，（x）在1，+）递增，故（x）（1）=4

30、t40，综上，t1【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题21（15分）（2012湘潭四模）设椭圆C1：的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图若抛物线C2：y=x21与y轴的交点为B，且经过F1，F2点（）求椭圆C1的方程；（）设M（0，），N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求MPQ面积的最大值【分析】（）抛物线C2：y=x21与y轴的交点为B，且经过F1，F2点求出B，F1，F2点的坐标，即可求出椭圆的半长轴与半焦距，再求出a写出椭圆方程（）设N（t，t21），表示出过点N的抛物线的切线方程，与椭圆的方程联立，利用弦长公式表示出线段PQ的长度，再求出点M到直线PQ的距离为d，表示出MPQ面积，由于其是参数t的函数，利用函数的知识求出其最值即可得到，MPQ的面积的最大值【解答】解：（）由题意可知B（0，1），则A（0，2），故b=2令y=0得x21=0即x=±1，则F1（1，0），F2（1，0），