高中数学基本不等式的解法十例_第1页
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文档简介

1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学基本不等式问题求解十例一、基本不等式的基础形式1,其中,当且仅当时等号成立。2,其中,当且仅当时等号成立。3常考不等式:,其中,当且仅当时等号成立。二、常见问题及其处理办法问题1:基本不等式与最值解题思路:(1)积定和最小:若是定值,那么当且仅当时,。其中(2)和定积最大:若是定值,那么当且仅当时,其中。例题1:若实数满足,则的最大值是 解析:很明显,和为定,根据和定积最大法则可得:,当且仅当时取等号。变式:函数的图象恒过定点A,若点在直线上,则的最大值为_。解析:由题意可得函数图像恒过定点,将点代入直线方程中可得,明显,和为定,根据和定积最大法则可得:,当且

2、仅当时取等号。例题2:已知函数,则取最小值时对应的的值为_解析:很明显,积为定,根据积定和最小法则可得:,当且仅当时取等号。变式:已知,则的最小值为 。解析:由题意可得,明显,积为定,根据和定积最大法则可得:,当且仅当时取等号,此时可得。例题3:若对任意x>0,a恒成立,则a的取值范围是_解析:分式形式的不等式,可以考虑采用常数分离的方法。解法1:将化简可得,观察分母,很明显可以得到积为定值,根据积定和最小的法则可得:,当且仅当时取等号。故而可得分式的分母,因此可得:。解法2:将化简可得,令,这是一个对勾函数,故而可得。故而分母,代入分式函数取倒数可得因此可得:。问题2:“1”的代换解题

3、思路:根据,对所求内容进行乘除化简即可。例题4:若两个正实数x、y满足 ,且不等式有解,则实数m的取值范围是 。解析:由题意可得,左边乘以可得:,化简可得:,很明显中积为定值,根据积定和最小的法则可得:,当且仅当时取等号。故而可得。不等式有解,亦即,亦即,解得或者,故而可得。变式:若, ,且,则的最小值为_解析:由,化简题干条件可得乘以所求内容可得:,化简后可得:,很明显中二者积为定值,根据积定和最小法则可得,当且仅当,亦即时取等号。此时可得。问题3:方程中的基本不等式解题思路:将需要利用不等式的项移到方程的一边,利用基本不等式求解即可。例题5:(2015·湖南高考)若实数a,b满足

4、,则ab的最小值为_解析:由题意可知可以利用基本不等式,根据基本不等式可得:,当且仅当时取等号,化简后可得:,此时变式:若lg(3x)lgylg(xy1),则xy的最小值为_解析:将题干条件化简可得:,由题意需要求解,故而可知利用不等式,将条件化简可得:当且仅当时等号成立,化简上式可得,此时问题4:含参基本不等式问题解题思路:利用含参不等式的解法求解即可。例题6:已知对于任意的恒成立,则( )A的最小值为 B的最小值为C的最大值为2 D的最大值为4解析:由题意可知参数为,将自变量移项可得:,观察等式右侧,可知等式右侧经配凑可得积为定值,根据积定和最小可得:,当且仅当时取等号,此时可得。由对于任

5、意的恒成立可得:,化简可得,解得。变式6:已知a>0,b>0,若不等式恒成立,则m的取值范围是 。解析:由题意可知参数为m,将双自变量、移项可得:恒成立,故而可得,将不等式右侧化简可得,很明显积为定值,根据积定和最小法则可得:,当且仅当时取等号。故而,代入不等式中可得化简为解不等式可得。问题5:不等式与其他问题结合(向量与不等式)例题7:已知,且三点在同一条直线上,则的最小值为_解析:由三点共线可得,观察形式采用“1”的代换,故而,等式右侧积为定值,故而利用积定和最小法则可得:,当且仅当时取等号。故而可得。(不等式与解析几何)例题8:若直线(, )被圆截得的弦长为4,则的最小值为

6、。解析:将圆化为标准方程可得,根据弦长为4可得直线经过圆心。将圆心代入直线方程可得。观察求解形式可得采用“1”的代换方法,即,化简可得很明显积为定,根据积定和最小法则可得:,当且仅当时取等号,故而可得。(基本不等式与线性规划)例题9:设满足条件,若目标函数()的最大值为12,则的最小值为 。解析:作出可行域如图所示:故而可得在点取最大值,即 ,由题意可得采用“1”的代换求解。即,观察分子可得分子积为定值,根据积定和最小法则可得:,当且仅当时取等号,故而可得。(不等式与解三角形)例题7:ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0.(1)求角A的大小;(2)若a=3,求SABC的最大值.(3)求周长的最值。.解析:(1)由题意与余弦定理可得,解得,故而(2

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