关于绝对值的几种题型与解题技巧

1、参考材料关于绝对值的几种题型及解题技巧所谓绝对值就是只有单纯的数值而没有负号。即 a|KO。但是，绝对值里面的数值可以是正数也可以是负数。怎么理解呢？绝对值符号就相当于一扇门，我们 在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服，但是，出门的时候一定要穿上衣服。所以，a-0，而 a 则有两种可能：ao 和 a0。如：a=5，贝 U 和 a = 5a =5。合并写成:a = 5。于是我们得到这样一个性质：aaA。0 0a =0aL_ -a ao很多同学无法理解，为什么 时，开出来的时候一定要添加一个负号”呢？aS-a。因为此时 a 0，也就是说 a 是一个负数，负数乘以符号就是正号了。如-(-2)=2。

2、因此，当判断绝对值里面的数是一个负数的时候 ，一定要在这个式 子的前面添加一个负号。例如：a b y o，贝 q a b = (a b)。绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。 我就绝对值的几种题型进行详 细讲解，希望能对你们有所帮助。绝对值的性质：(1)绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|0，这是绝对值非常重要的性 质；a (a 0)(2)|a|= 0(a=0)(代数意义)参考材料-a (av 0)(3)若|a|=a ,则 a0；若|a|=-a ,则 aO；(4)任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|a,且|a|-a ；(5)若|a|=|b| ,则 a=b

3、或 a=-b ;(几何意义)a回(6)|ab|=|a| |b|; |b|=|b|(bF；2 2 2(7)|a| =|a |=a ;(8)|a+b| |a|-|b|a|+|b| 耳 a+b| |a|+|b|a-b|一：比较大小典型题型：1】已知 a、b 为有理数，且 a 0, b 0 , a b，贝 U ()A：ab_b_a ；B：-bab_a ；C：一 a b_ba；D :一 b b_a a这类题型的关键是画出数轴，然后将点按照题目的条件进行标记参考材料因为是aYO , bY , a Ab 所以我们就在原点的左边标记。-a ab b 0 0- 如果你不知道谁在前面，你就自己找一个数字。如：a=

4、4 b=343,。，又因为它们都是负数，所以-4。-3当我们把条件都标记好了 ，并假设了一个数值带入其中，我们就能准确地判断它们的大小了 。二:判断点的位置或者原点的位置经典题型【I】不相等的有理数 a、b、c 在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果ab+bc=|ac，那么，点 B 在（）A:在 A、C 点的右边；B：在 A、C 点的左边；D:上述三种均可能 这个题目要求从已知条件入手，判断各自的大小关系。首先将题目进行变形：a-b + b-c =|a-c|a-b+b-c-a-c=O观察一下，三个式子最后的结果是“”，而三个式子中刚好是 2 个 a，2 个 b，2 个 c。只有它们相互抵消了才

5、可能为 0由此得到a-b0。b-c-0，aca_b +|b_c_a_c=a_b+b_c_a+c=O所以有:C:在 AC 点之间;参考材料画出数轴:参考材料由此可以得出 B B 点在 ACAC 之间。但是原点呢？a b c。A A 可以是正数也可以是负数 。因此原点可以在 a a 的左边也可以在右边。这 样原点可以在ABAB 之间，也可以在 CBCB 之间，还可以在 C C 的左边。三：已知点在数轴上的位置，简化或者计算。典型题型1】实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，那么，化简 a-b - a 的结果是：A: 2a-b ; B : b ； C： -b ； D:-2a+b从图中我们可以很准确地

6、知道 ：a 0，b 0，而且点 b b 到原点的距离比点 a a 到原点 的距离还长，所以我们可以判断出a-b - 0。如果你不知道自己是否判断对了 ，就采用数 值法。设a=2。b_-4。a-b=2-( -4) = 2 4 = 6 0a b a0直接开出来。于是，原式ab a= =ab a = b2 】已知a c;b，且bc ；化简 bc b + c+|ac a+c a +b虽然条件中没有给出各点所在的位置，但是我们可以通过画数轴来确定各自的位置关系。参考材料甚至你可以标记具体的数值帮助我们分析。如b = 2。c = -4，a = -5参考材料从数轴上可以看出，b-c-0。b c 0。a-c-

7、0,a c 0。a b 0。由绝对值的性质可以得到b c b + c +|a c a +c a + b=(b -c) - L (b c)丨(a -c) - I-(a c)丨-I - (a - b) 1二 bcbcacacab=3b 3aB】若 1 YaF,则 3-a a =这个题目给了 a 的取值范围，因此我们要对绝对值中的式子进行判断。W3，所以 3-al，而 10。如果你怕自己判断错误，不妨设一个数 值，a=2。记住一定是在 1 和 3 之间取数值。这样你就能知道自己是否判断正 确了。3_a +1_a =(3_a)+I-(1_a)=3_a_1+a=2如果没有给定区间，我们应该如何解答呢？4

8、】化简 3x+1 +|2x-1这个题型，首先要在数轴上找出它们的零值点，也就是绝对值里面的式子必须值点为分界线，数轴右边为正，左边为负。这样数轴就被分割成了三个部分1-an从小到大排列，x 取最中间两个数值之间 的数(包括最中间的数)时，该式子的值最小。五：求值 经典题型1】已知 x =3 ； y=4，且 xy，贝卩 x + y = 解:x=3所以：。y=4，所以y=4 x y，所以八4x y =4 3=7解得:这类题目注意条件。x y。只要 y 比 x 大就可以，这里 y 只能取 4.而 x 可 以取 3 和-3.因此就会有两个答案。, 小2a 3b 4c2】已知abW，若吩閒囚则解：因为a

9、bc：z，故此存在四种可能：同为正，同为负，二正一负，二负 一正(1)同为正，则m 1=24+仁 25参考材料(6)a 为负，b 为正、c 为负数(2)同为负,则m“ 二-24+1=-23(3) 二正一负,则mT 二-24+1=-23(4) 二负一正， 则m“ =24+仁 25 综合：m仁 25 或者m仁-23,-2a丄3b丄4cB】已知abc , 若mabc则这个(1)同为正数2a 3b 4caC=2+3+4=9.所以,m 1=10(2)同为负数2a丄3b丄4crm - - -|a| |b|Id =-2-3-4=-9所以,m T -8(3)a 为正，b、c 为负数2a 3b=2 -3-4 =

10、 -5所以,(4) a 为正，b 为正、c 为负数2a 3b 4c二同耐耐3一4，所以,m 1 =2(5) a 为正，b 为负、c 为正数2a 3b二2 _3 4=3所以,参考材料m=字+竺+竺=2+34 = 3所以a b c所以,(7)a 为负，b 为正、c 为正数m=咨+告+ = 2 + 3十4=5所以a b c所以,(8)a 为负，b 为负、c 为正数这类题目一定要分别讨论。最好的办法就是逐一排除4】已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，x 的绝对值等于 1，求2x (a b)x -cd解.a、b 互为相反数，所以：a+b=0.c、d 互为倒数所以：cd=1x 的绝对值等于 1,所

11、以x2=12x (a b)x - cd =1 0 -1 = 0六：0+0型0+0 型有集中很典型的题型第一类：绝对值+绝对值：若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0；因为绝对值出来的数都是非负数，而两个非负数相加要等于 0.唯有绝对值里面 的数等于 0.m=a4：所以,参考材料1】已知 x4 + y+2=0,求匸丄=x + y解.x-4+y+2_0,所以有：x-4=0.解得：x=4 ; y+2=0 解得：y=-2xy一2-43则：2】若 x-y+3 与 x + y-1999 互为相反数，求-yx_ y解：互为相反数的两个数之和等于 0.因此有：x y 3+x y 1999=0

12、解得：x-y=-3 ;x+y=1999 2若|x-a|+(x-b)=0,则 x-a=0 且 x-b=0 ；第二类：绝对值+平方因为绝对值出来的数都是非负数，而平方数也是一个非负数，两个非负数相加 等于 0，则各自为 0.解：x+3=0,所以：x=-3 ；y-1=0。所以：y=1(4y _ xn4nn)=()=(T)1 + 3讨论：()=()十1) =1y_x1+3当 n 为 鸟数时：2 】若|x+3|+(y-1)的值x y 1999x _ y -3-66613-4()n2=0，求 y x-4)n(1)n-1参考材料当 n 为奇数时，参考材料第三类：平方+平方 2 2若(x-a) +(x-b)=

13、0,则 x-a=0 且 x-b=O ;2 23 】已知(x2)(y 4)=,求xy-(xy)解：x-2=0。所以 x=2 ; y+4=0 ,所以：y=-4xy -(x y) = 2 ( -4) -(2 -4) - -8 2 - -6七：分数求和1】已知 ab-2 与 b-1 互为相反数,求代数式1 1 1+-+-+ab (a 1)(b 1) (a 2)(b 2)解：ab2+b_I=0 解得：ab=2,b=1.a=21 1 1 1-+- +- + +-ab (a 1)(b 1) (a 2)(b 2)(a 1999) (b 1999)+.2000 2001=22334丄2000 20011-丄20

14、002001=2001(a 1999) (b 1999)111200420032003+.1 _ 1100310022】 化简12002参考材料1111+11200420032003200210031002分式求和常用解法就是裂项裂项、裂项，就是将一个因式分裂成两个部分，它的原理是根据异分母相1 1加减，必须通分来分裂的。如：2_3 因为分母不同，所以要通分。分子分母 同时扩大相同的倍数，其值是不变的。一般来说，最简单的通分方法就是分母 互相扩大倍数。2”要扩大 3”倍，而 3”要扩大 2”倍。这样一来该题就可以变成：11323 -21 - =-23=2 32 3=2 32 3。例题分析11+11+1 1200320042002200310021003111111_+一-+- 一-+200320042002200320012002113007十1002 1003200410032004 1003参考材料11II12 33 44 5199 100II 1=2100由此，我们得到一个结论：如果因式分母之间的差为 1 ”的时候，裂项成两 个分式之间相减，其分子也是 1 ”.最后得到第一项减去最后一项。通项