第3章+恒定电场

1、第三章 恒定电场基本物理量 J J 欧姆定律J J 的散度E E 的旋度 基本方程 电位 边界条件边值问题一般解法特殊解（静电比拟）电导与接地电阻恒定电场的知识结构框图基本概念： 通有直流电流的导电媒质中的恒定电场与电流场 通有直流电流的导电媒质周围电介质中的静态电场3.1 导电媒质中的电流导电媒质中的电流 静电场研究在绝缘介质中静止电荷产生的电场，主角是 E 和 D。（0 0） 恒定电流场恒定电流场 恒定电流场研究在导体中稳恒流动的电流，即直流恒定电流场研究在导体中稳恒流动的电流，即直流问题。主角是问题。主角是 J 和和 E 。 电流会产生磁场。但当电流分布不随时间变化时，电流会产生磁场。但

2、当电流分布不随时间变化时，电场和磁场可以分开研究，本章只研究电场。电场和磁场可以分开研究，本章只研究电场。 遵循同样的路线：基本方程位函数边值问题遵循同样的路线：基本方程位函数边值问题电路参数（电阻）。电路参数（电阻）。I I 是通量是通量, ,并不反映电流在每一点并不反映电流在每一点的流动情况。的流动情况。 3.1 3.1 电流强度电流强度 电流面密度矢量AdtdqI 单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。 本章只研究传导电流，更确切地说是导体中的恒定电流场。该电流依靠外加电源维持，但是我们不涉及电源的特性。恒定电流的形成 电源的作用在于源源

3、不断地向导体的两端提供正负电荷，以便补充被电流运走的电荷，维持导体内电场的恒定。因此导体内的电场仍然是电荷产生的；电荷在该电场的作用下定向运动形成电流。3.2 3.2 恒定电场的基本物理量恒定电场的基本物理量电流密度电流密度 电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒质中，它与电场电流密度是一个矢量，在各向同性线性导电媒质中，它与电场强度方向一致。强度方向一致。 1.1.电流面密度电流面密度000002( , )lim( , )lim lim( , )lim limSStSti r tSq r tt Sq r t dt S dA m 000J(r,t)r (r,t)r (r,t)rr (r,t)

4、rv亦称电流密度亦称电流密度分布的体电荷以速度分布的体电荷以速度v v 作匀速运动形成的电流。作匀速运动形成的电流。SJ dIS电流电流图2.1.2 电流面密度由欧姆定律由欧姆定律dddSlEl = JdSdId J S电流电流dl令令 两端电压为两端电压为dUdUdEl欧姆定律微观形式：欧姆定律微观形式：JE 欧姆定律欧姆定律图2.1.3 电流线密度及其通量2. 2. 电流线密度电流线密度 分布的面电荷在曲面上以速度分布的面电荷在曲面上以速度v v运动形成的电流。运动形成的电流。dlIln)(eK电流电流e e 是垂直于是垂直于dldl，且通过，且通过dldl与曲面相切的单位矢量与曲面相切的

5、单位矢量n分布的线电荷沿着导线以速度分布的线电荷沿着导线以速度 v v 运动形成的电流运动形成的电流I I =v v 3 3、线电流、线电流0( , )limli r tlA m 0K(r,t)r (r,t)v图2.1.6 J J与E E之关系4. 4. 电流密度的矢量线：电流密度的矢量线：在一坐标系中可以用一族曲线来形象描述电在一坐标系中可以用一族曲线来形象描述电流密度的分布，大小可以用稠密程度、方向流密度的分布，大小可以用稠密程度、方向可以用曲线的切线方向来确定。它们同样遵可以用曲线的切线方向来确定。它们同样遵循矢量线方程。循矢量线方程。元电流是指沿电流方向上一个微元段上的电流，元电流是指

6、沿电流方向上一个微元段上的电流，,dIJdVKdSIdl, , dqdVdSv dlvvv5. 5. 元电流的概念：元电流的概念：6 6 焦耳热效应焦耳热效应 电流流经导体，自由电子与导体物质发生碰撞、电流流经导体，自由电子与导体物质发生碰撞、摩擦，导体发热，叫做焦耳热效应。摩擦，导体发热，叫做焦耳热效应。ddddAttflE vE J 单位体积内，电荷在电场作用下移动 dl 距离，电场力做功在恒定电流场中，粒子动能不变，故电场做功全部转化为热能，热功率密度为2ddApEt E JEl JSUIPpl SVV E J同样考察一段长为同样考察一段长为 l 、横截面积为、横截面积为 S 的小导体，

7、的小导体，焦耳热功率密度为焦耳热功率密度为正是单位体积内消耗的功率，即功率密度。正是单位体积内消耗的功率，即功率密度。1.1.电荷守恒定律电荷守恒定律 电荷守恒是自然界中一条非常重要的守恒定律。电荷守恒是自然界中一条非常重要的守恒定律。3.3 基本方程基本方程dddSqSt J出去几个就少几个；没有出去的也就维持不增不减，守恒。dddddVVVVVVtt Jddt J物理意义：物理意义：穿出闭合面的电流等于单穿出闭合面的电流等于单位时间内该体积中电荷的减少量。位时间内该体积中电荷的减少量。2.2.恒定电流场恒定电流场 空间各点的电流密度分布不随时间而变化。也就空间各点的电流密度分布不随时间而变

8、化。也就是说由任一闭合曲面净流出的的传导电流为零，即该是说由任一闭合曲面净流出的的传导电流为零，即该闭合曲面内电荷的变化为零。闭合曲面内电荷的变化为零。dd0dSqSt J 导电媒质内部电荷密度为零，但导电媒质的交界导电媒质内部电荷密度为零，但导电媒质的交界面上面电荷密度不一定为零！面上面电荷密度不一定为零！3. 3. E E的旋度的旋度d0lEl 所取积分路径不经过电源，则所取积分路径不经过电源，则 得得0 E斯托克斯定理斯托克斯定理0E0ldElfSdqDS0E1t2tEE0SdJS2n1nDDfD1n2nJJ0J0 EDE0 EJE2f 200f4.4.电场基本方程与交界面连接边界条件电

9、场基本方程与交界面连接边界条件静电场静电场恒定电场恒定电场5.5.恒定电流场基本方程恒定电流场基本方程d0lEl0EEJd0SSJ0J 本构关系本构关系 特点：特点：在导体内部，恒定电流场无散无旋。在导体内部，恒定电流场无散无旋。折射定律为折射定律为2121tantan 电流线的折射电流线的折射分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件nntt2121JJEE 0dLlE 0dSSJ6.6.媒质交界面边条件媒质交界面边条件分界面衔接条件分界面衔接条件121212nn如果媒质1为良导体，媒质2为不良导体，即 1 远大于 2，则21211 0 0nnnEEJ2111/ 0tttEEJ材材 料料/Sm-1

10、材材 料料/Sm-1银银铜铜金金铝铝铁铁6.21075.81074.11073.51071.0107海水海水蒸馏水蒸馏水湿土湿土干土干土玻璃玻璃5321041021031051012（1 1）良导体与不良导体的交界面）良导体与不良导体的交界面如果媒质1为良导体，媒质2为不良导体，即 1 远大于 2，则21211 0 0nnnEEJ10tJ111/ 0ttEJ21 0nnJJ2111/ 0tttEEJ媒质媒质1为良导体中为良导体中媒质媒质2为不良导体中为不良导体中1.1.良导体表面内侧，良导体表面内侧，电流法向分量很小，电流法向分量很小，电流近似平行于良导电流近似平行于良导体表面流动。体表面流动

11、。2.2.良导体表面外侧，电场切向分量良导体表面外侧，电场切向分量很小，电场近似垂至于良导体表面。很小，电场近似垂至于良导体表面。3.3.恒定电场中，由于内部存在电场，导体不是等恒定电场中，由于内部存在电场，导体不是等势体。但是对于良导体，内部电场很小，在较小势体。但是对于良导体，内部电场很小，在较小的尺度范围内电位降落不大，其表面可以近似视的尺度范围内电位降落不大，其表面可以近似视为等位面。为等位面。1122tntnEEEE（2 2）良导体）良导体 与绝缘介质与绝缘介质1 1( ( 0 0) )2 2( ( = =0 0) ) 导体与理想介质分界面导体与理想介质分界面0 001222nnJJ

12、J 1 1 导体表面是一条电流线。导体表面是一条电流线。 nnnnnEDDJE2212222 0111nnJE 2 2 导体与理想介质分界面上必有恒定（动态导体与理想介质分界面上必有恒定（动态平衡下的）面电荷分布。平衡下的）面电荷分布。 ttEE21 3 3 电场切向分量不为零，导体非等位体，导电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等位面。体表面非等位面。 若若 （理想导体），导体内部电场为零，（理想导体），导体内部电场为零，电流分布在导体表面，导体不损耗能量。电流分布在导体表面，导体不损耗能量。1 1 ynxtEEeeE222导体周围介质中的电场导体周围介质中的电场载流导体表面的电场（

13、3 3）不良电介质分界面）不良电介质分界面媒质参数：媒质参数：1212 212121fnnJJf2n1nDD21221()fnJ21210当当0f有有例1 一平行板电容器填充两种媒质，电导率和电容率分别为1、1和 2、2，两板之间的电压为U。求媒质交界面上积聚的电荷密度。解：设媒质1、2中的电场为E1、E2，则1212222ddUEEUEEd交界面上121122nnJJEE求得21122UEd12122UEd2112212211122()fnnUDDEEd 1212122UJJd 122112121222UUDDdd 121012021201210212()2()pnnPPDEDEUd 静电场

14、静电场201122()xUdEe102122()xUdEe2211EE02211UdEdE12012122()UDDd 0f 12101202201002100121212222()()()()()pnnPPDEDEUUUddd 例例2 设平行双输电线间距设平行双输电线间距d=50cm，电压，电压U=100V，电流电流 I=300A，导体截面，导体截面S=150mm2，求导线内部，求导线内部及表面场强。及表面场强。7108 . 5分析：分析：110.035(V m)tJEE1JE210.035(V m)ttEE由边界条件由边界条件由电轴法，沿由电轴法，沿AB)11(202rdrEn2E0rda

15、ABnE21E两导体之间电压两导体之间电压00lnABdUa有：有：211()1700(V m)2lnnUEdaadaatnEE22结论：结论：导体内部电流平行于导体流动；导体内部电流平行于导体流动；导线表面分布有不随时间变化的面电荷；导线表面分布有不随时间变化的面电荷；( (如何产生如何产生的？的？) )导体表面外侧，电力线近似垂直于导体表面；导体表面外侧，电力线近似垂直于导体表面；如果不计漏电流，忽如果不计漏电流，忽略导体中的电压降，略导体中的电压降，导体外电场可以作为导体外电场可以作为静电场分析。静电场分析。如果如果 很大，很大， U U，一段小的导体可以看作是等，一段小的导体可以看作是

16、等势体。势体。102JUEllUUU UU0UJ J R例例3 一导电弧片由二块不同电导率的薄片构成，电导一导电弧片由二块不同电导率的薄片构成，电导率已知，电极间电压率已知，电极间电压U 已知，已知，求：求：（1 1）弧片内的电位分布；）弧片内的电位分布；（2 2）总电流）总电流 I 和弧片电阻和弧片电阻 R ；（3 3）分界面上电荷密度。）分界面上电荷密度。解：列边值问题解：列边值问题022)40 (012)24(1r rU20r r414242241112020在圆柱坐标系中在圆柱坐标系中22222211()rrrrrz导电片很薄，可忽略导电片很薄，可忽略z方向的变化：方向的变化：220z

17、由边界条件知：由边界条件知：220故：故：21()0rrrr解之得：解之得：12lncrc1r rU20r r由边界条件由边界条件 ： , 确定常数确定常数c1, c2。 E1= E2= J1= J2= I1= I2= I=I1+I2= R=U/I=作业：作业：4.4, 4. 53.5 静电比拟静电比拟（1）恒定电场与静电场的相似性）恒定电场与静电场的相似性 静电场（静电场（ ） 恒定电流场恒定电流场 对应量对应量00E0EEE EE0 J0 DDJEJED0212nnJJ12nnDDttEE21ttEE210212121212nn1212nn基本基本方程方程电位电位函数函数衔接衔接条件条件d

18、sIJsdsqDsqI qCUIGUCG其它其它1.恒定电场与静电场的相似性恒定电场与静电场的相似性 表征两种场的方程具有相同形式；表征两种场的方程具有相同形式； 相同的数学形式揭示了相同的物理规律；相同的数学形式揭示了相同的物理规律； 两种场各物理量所满足的方程一样，若边界两种场各物理量所满足的方程一样，若边界条件也相同，那么，通过对一个场的求解或条件也相同，那么，通过对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可得到另一个实验研究，利用对应量关系便可得到另一个场的解。这种方法称为场的解。这种方法称为静电比拟法静电比拟法。2.2.静电比拟的条件静电比拟的条件 两种场电极形状、尺寸与相对位置相同

19、（相拟）；两种场电极形状、尺寸与相对位置相同（相拟）； 相应电极的电压相同；相应电极的电压相同； 若两种场中媒质分布片均匀，只要分界面具有相若两种场中媒质分布片均匀，只要分界面具有相似的几何形状，且满足条件似的几何形状，且满足条件 时，则时，则这两种场在分界面处折射情况仍然一样，相拟关这两种场在分界面处折射情况仍然一样，相拟关系仍成立。系仍成立。1212/静电比拟：静电比拟：右图右图静电场与恒定电静电场与恒定电场有完全相似的场有完全相似的结构和形式完全结构和形式完全相同的解答。相同的解答。3.3.静电比拟的应用静电比拟的应用静电场便于计算静电场便于计算 通过静电比拟计算恒定电场通过静电比拟计算

20、恒定电场恒定电场便于实验恒定电场便于实验某些静电场问题可用恒定电某些静电场问题可用恒定电流场实验模拟流场实验模拟实验模拟方法：固体模拟 （媒质为固体，如平行板静电场造型）液体模拟 （媒质为液体，如电解槽模拟）3.6 电导与电阻电导与电阻1 1 电导与电阻电导与电阻恒定电流场的电路参数恒定电流场的电路参数 电阻定义为两个电极之间的电压与电流之比。电阻定义为两个电极之间的电压与电流之比。电极电极是这样的一段导体，它的电导率比起场域中其它部分大得多（良导体），可以看作是一个等势体。电极通常跟电源相联，因此其电位已知，可作为求解电场的边界条件。URI2 2 漏电导与绝缘电阻漏电导与绝缘电阻 工程中，电

21、极之间需填充不导电的材料作电绝缘，而实际中，这些材料，因此当电极间加直流电压时，总会有电流从正电极经绝缘材料流到负电极，这种电流称为漏电流，极间电压U与漏电流I之比为漏电阻（绝缘电阻）。漏电导定义为绝缘电阻的倒数。0URIIGUUEUICCR电路中电路中理想理想模型与模型与实际实际模型模型3 电导的计算 直接用电流场计算直接用电流场计算设设UIGdUI lEJEJUIGdI)(U SJEJE或设设 静电比拟法静电比拟法 当恒定电场与静电场边界条件相同时，用静电比拟法，由电容计算电导。ddddddSLSSLSCQ UGI UDSElESJSElES例4 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外半径分别为R1、R2，长度为 l ,中间媒质的电导率为 ，介电常数为 。求绝缘电阻。解法一 直接计算电流场设22IJIIJEll 电导电导212ln/IlGURR绝缘电阻绝缘电阻2111ln2RRGlR2121ddln22RRRIIUllR El同轴电缆横截面解法二解法二 静电比拟法静电比拟法由静电场解得由静电场解得212,ln/lCRR则根据GC关系式得关系式得212,ln/lGRR同轴电缆电导211ln2RRlR绝缘电阻3.7 接地电阻接地电阻1 1 接地接地 接地就是将电气设备的某一部分和大地相联接，其作用是： 保护人员的安全； 保护设备免受电磁干扰（电磁屏蔽与电磁兼容）； 大