高数(上)复习解读

1、高等数学（上）期末复习高等数学（上）期末复习 1. 两个极限存在准则两个极限存在准则2. 两个重要极限两个重要极限第二章第二章 极限与连续极限与连续夹逼准则，单调有界数列必有极限夹逼准则，单调有界数列必有极限,1sinlim0 xxxexxx )11(limexxx 10)1(lim或或3. 无穷小的比较无穷小的比较, 无穷小的等价替换无穷小的等价替换,0时时x,tanxx,sinxx11 nxxn1,)1ln(xx xex1 ,21cos12xx xx arcsin4. 函数在一点的连续性函数在一点的连续性(分段函数的分段点分段函数的分段点)，5. 零点定理零点定理,会用零点定理判别方程根的

2、存在性会用零点定理判别方程根的存在性间断点及分类间断点及分类第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点：第二类间断点： 左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个不存在 ,)(,baCxf 且且0)()( bfaf至少有一点至少有一点, ),(ba 使使.0)( f选择题选择题:1、A、B、C、D、不存在、不存在102 xxxcos1lim0,0时时x,21cos12xx 221cos1xx 2021limxxx原极限原极限=xxx0lim2 xxx0lim2,2 xxx0lim22左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等, ,原

3、极限不存在原极限不存在.求极限：求极限：xxxx3)12(lim2 、 )111(limxx1 x3e 13 xx30sintanlim. 3xxxx 30)cos1(tanlimxxxx 32021limxxxx 21 4. 0limxtextd1cos2 2x)00(0limxx2 xe2cos )sin(x e21 )2211(lim. 5222nnnnnn 夹逼准则夹逼准则21.,)(4)1(limccxcxx求求为常数为常数若若 xxxc)1(lim)1ln(limxcxxe )1ln(limxcxxe xcxxe limce 4 4ln c6.7、210)sin(limxxxx解解

4、: 原式原式3sinsin0)sin1(limxxxxxxxxxx 型型 130sinlimxxxxe 2031coslimxxxe 61 e连续与间断：连续与间断：, )()(lim00 xfxfxx 的连续点的连续点为为)(0 xfx ,函数无定义点函数无定义点间断点间断点)(可能间断点可能间断点分段点分段点分类：分类：)(lim0 xfxx必须求必须求)(lim)(lim00 xfxfxxxx 及及或或的的是函数是函数、11)(18 xexfxA、无穷间断点、无穷间断点B、可去间断点、可去间断点C、跳跃间断点、跳跃间断点D、震荡间断点、震荡间断点 )(lim1xfx9、的的则则设函数设函

5、数)(,)2)(1()1sin()(xfxxxxf 1 x.可去间断点为可去间断点为1)2)(1()1sin(lim1 xxxx第三章第三章 导数与微分导数与微分 2. 初等函数、复合函数、隐函数、参数方程的求导初等函数、复合函数、隐函数、参数方程的求导 1. 导数的定义及几何意义导数的定义及几何意义3. 高阶导数，莱布尼茨公式高阶导数，莱布尼茨公式会用对数求导法求幂指函数的导数会用对数求导法求幂指函数的导数4. 求微分求微分导数定义：导数定义：00)()(lim)(00 xxxfxfxfxx 一一定定要要用用定定义义求求分分段段函函数数分分段段点点的的导导数数xxfyxfyd)(d, )(

6、1.则则存存在在设设,)(0 xf .)()(lim000 xxxfxfxx)(200 xfx 00)()(lim0 xxxfxfxx)(0 xx 00)()(lim0 xxxfxfxx 0,00,1sin02xxxxyx处的连续性与可导性：处的连续性与可导性：讨论函数在讨论函数在)0()(lim0fxfx 即考虑是否有即考虑是否有 )(lim0 xfx解解.0)(处连续处连续在在 xxf xfxffx)0()(lim)0(0和和分析：分析：xxx1sinlim200 )0(f 2.xfxffx)0()(lim)0(0 xxxx01sinlim20 xxx1sinlim0 0 )01sinli

7、m,11sin,0lim(00 xxxxxx.0)(处可导处可导在在 xxftxtyxydddddd ttcos1sin taatacossin 1dd2 txy处处的的切切线线方方程程在在求求摆摆线线2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即解解: 3.求导数：求导数：)0(. 4 aaxyxxxxxae ln)ln(ln xxeyxxaaxln )ln1(xxx aaxln 基本求导公式基本求导公式四则运算求导法则四则运算求导法则复合函数求导法则复合函数求导法则,0ln)(所确定所确定由

8、方程由方程设设 yxeyxyyye ,0 xyxe 0 1 y解解 方程两边对方程两边对x求导求导, , 得得.d0ddyxxy及及求求 5、xydd exxy 0ddxydd y11dd yyxyeyexyxxyeyeyyyd1d 6、求由参数方程、求由参数方程22ddxy解解:,ddttx 1dd tyt1 22ddxy)1(ddtt xtdd 21t t1 31t tytx1212txtyxydddddd 所确定的函数的二阶导数所确定的函数的二阶导数第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用1. 利用中值定理利用中值定理(罗尔定理、拉格朗日中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理)

9、证明中值等式证明中值等式2. 洛必达法则求极限洛必达法则求极限法则条件，与其它求极限方法结合使用法则条件，与其它求极限方法结合使用阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式的的、nxexsin. 3（佩亚诺型余项）（佩亚诺型余项）4. 单调、凹凸的判别，极值、最值、拐点的求法，单调、凹凸的判别，极值、最值、拐点的求法，函数取得极值的充分与必要条件函数取得极值的充分与必要条件的边际函数：的边际函数：)(xf ExEy)()(xfxfx 6.边际与弹性边际与弹性)(xf 的弹性函数：的弹性函数：)(xfy 5. 不等式的证明不等式的证明xxxcotarc)11ln(lim. 1 xxxcotarc1lim )0

10、0(22111limxxx 221limxxx 1 2、解解: 原式原式0lim x220lim32xxx 32 0limx)11(d202 xxxtext221xx xtext d02)00(1 0limx223x2xe xxx1)1ln(1lim0)1ln()1ln(lim0 xxxxx 20)1ln(limxxxx xxx2111lim0 )1(2lim0 xxxx )1(21lim0 xx 21 解解: 原式原式)00(型型 3.),91的单调增加的单调增加函数函数)0(d)13()(1 xttxFx区间为区间为xxF13)( 0 4.试问试问 为何值时为何值时,axxaxf3sin3

11、1sin)( 3 x在在时取得极值时取得极值 ,解解: )(xf由题意应有由题意应有 )3( f2 a又又 )(xf)3( f )(xf取得极大值为取得极大值为3)3( f,3coscosxxa )3(3cos)3cos( a0 ,3sin3sin2xx 0 求出该极值求出该极值,并指出它是极大还是极小并指出它是极大还是极小.5.xxxx2tansin,20 时时当当 xxxxf2tansin)( 设设2seccos)(2 xxxf则则xxx223cos1cos2cos xxxx22cos)1cos)(cos1(cos 0 单调增加单调增加时时当当)(,20 xfx )0()(fxf xxx2

12、tansin 即即证证0 6.),(, 11 xxex7、证明：、证明：证证1)(1 xxexf设设xexxf 1)1()(则则, 0)( xf令令1 x得得xy y10)1 ,(), 1( 极大值极大值,1)(取得极大值取得极大值在在 xxf也是最大值也是最大值)1()(, ),(fxfx 0 ),(,11 xxex即即 .),21( )1,21(21 e曲线曲线21xey 的凹区间是的凹区间是凸区间是凸区间是拐点为拐点为)21(222xeyx )21,21( )21,( 及及 ; ;yOx)1,(2121 e)1,(2121 e8.+ . 0)()(), 0(:, 0)(,), 0( ,

13、0)( ffaafaaxf使使存在存在求证求证且且内可导内可导上连续上连续在在设设)()(xfxx 令令, 0)0( 且且)()(aafa )( 使使 . 0)( xxxf即证即证 ,), 0( , 0)(,内可导内可导上连续上连续在在由条件知由条件知aax :,可知可知由罗尔定理由罗尔定理)0(a， )()()(xfxxfx 则则分析分析:证证0 )()( ff 0 9.10、某单位每天生产某单位每天生产x件产品的总成本为件产品的总成本为,5042)(2 xxxC如果每件产品的销售价格如果每件产品的销售价格则每天生产则每天生产74件产品的边际利润为件产品的边际利润为 .0为为300元元,xx

14、R300)( 利润利润收收益益)()()(xCxRxL 5022962 xx边际利润边际利润xxL4296)( 0)74( L2. 换元积分法，分部积分法换元积分法，分部积分法第五章第五章 不定积分不定积分 1. 原函数、不定积分的概念原函数、不定积分的概念)()(xfxF xxfd)(CxF )(1) (1) 常用的凑微分形式常用的凑微分形式),(d1dbaxax ),(d21)(d21d22baxabxxx ,lnddxxx )(d1ddbaeaexexxx ,cosddsinxxx ),1(dd2xxx ( (2) )常用代换常用代换: :nbaxt ( (3) ) 常见分部积分形式常见

15、分部积分形式xexaxnd xaxxndcos dxaxxn sinxxxndln xxxndarctan 三角代换三角代换3. 简单的有理函数的积分简单的有理函数的积分的的一一个个原原函函数数是是，则则若若、)(4sin)(1xfxxf x4cosA 、x4cos41C 、x4cos41D、x4cosB、Cxxx 4cos41d4sin)()(xfxF xxfd)(CxF )(的的或或称为称为)d)()()(xxfxfxF.原函数原函数)(xf设设2、是可导函数是可导函数, ,则则 ttfxad)(2A、B、C、D、)(22xfx)()(2afxf )(22xfx )()(2afxf )(t

16、fa2x xdd xxfd)( xd)(xF )(xF, )(xf C ttfxad)(2)()(2afxf )(d)(ddxattfx )()(xxf 2d)(ddxattfxxxf2)(2 3、,)(d)( CxFxxf xxfxd)1(32则则 )1(d)1(3133xxf31xu uufd)(31CuF )(31A、B、C、D、CxF )1(3CxF )1(313CxF )1(313CxF )1(3 xxfxd)1(32CxF )1(313求不定积分：求不定积分：基本积分表必须熟记！基本积分表必须熟记！xxxd21. 42 )21(d)21(412212xx Cx 232)21(324

17、1Cx 232)21(61315. xxxdsin32 33dsinxxCx 3cos31 xx d23d31x xxd)(d212bxaa xxdcos2 xxd22cos1 xd21xx2d42cos x21 Cx 2sin416. 7.xxxxd3222 xxxd322 3)22(21 x 32)32d(2122xxxx32ln212 xx 22)2()1()1d(3xxCx 21arctan23解解xexd11. 8 xet 1令令, 12 tex,d12d2tttx xexd11 ttd122 Ctt 11lnCeexx 1111ln),1ln(2 tx xxexd2 xex2d21

18、)d(2122xexexx Cexexx 2241219.第六章第六章 定积分定积分 1. 定积分的性质：比较、估值、中值定理定积分的性质：比较、估值、中值定理2. 积分上限函数的导数、求极限、单调性、极值积分上限函数的导数、求极限、单调性、极值3. 牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式4. 换元、分部计算定积分换元、分部计算定积分5. 反常积分反常积分 baxxfd)()(tx f)(t )(t td 6. 积分等式的证明积分等式的证明7. 求平面图形面积、旋转体的体积、求平面图形面积、旋转体的体积、定积分的经济应用定积分的经济应用.;计计算算定定积积分分积积分分上上限限的的函函数数的的导导数数

19、ttfxxad)(dd )(xf )(d)(ddxattfx )()(xxf baxxfd)()(xF ab)()(aFbF 重要结论：重要结论：Cxf )(xxfaad)()1( 时时)()(xfxf ,d)(20 xxfa 时时)()(xfxf ,0 20dsin)2( xxInn 20dcos xxn n 为正偶数为正偶数,22143231 nnnn n 为为大于大于1的正的正奇数奇数,3254231 nnnn?d)(02有极值有极值 xtttexI,为何值时为何值时当当x2)(xxexI 0)( xI令令0 xx)0,(), 0( 0y y 0极小值极小值,0)(处有极小值处有极小值在

20、在 xxI)0(I极小值为极小值为0 1.2、证证 , )()(1xfexxFx 令令 )1()1(fF 5101d)(5xxfexx5 )(cF ,d)(5)1(5101 xxfxefx且满足且满足).()11()()1 , 0(: ff 使得使得存在存在求证求证 ,)1 , 0(,1 , 0)(内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数xf由定积分中值定理，由定积分中值定理，存在存在51,0 c使得使得51)(1 cfecc,由由罗罗尔尔定定理理 ,1 ,)()(1上上连连续续在在 cxfexxFx ,)1 ,(内可导内可导在在 c)1()(FcF )1 ,(c 存在存在0)( F使得使

21、得)1 , 0( 由于由于)()()()()(111xfxexfexxfexFxxx 0, 01 e).()11()()1 , 0( ff 使得使得存在存在即即计算定积分：计算定积分： 411d. 3xx2tx tx 12ttd2t 1ttd)122(21 )1ln(22tt 1232ln22 换元换元必必换限换限 205dsincos. 4 xxx 205cosdcos xx)cos61(6x 02 61 凑微凑微不不换限换限5、 20d2sin xxx 202cosd21 xx2cos21xx 02 20d2cos21 xx4 4 x2sin41 02 200dsin2dsin: xxxx

22、nn证明证明 2200dsindsindsinxxxxxxnnn 2dsinxxntx 02)d)(sin ttn 02)d(sin ttn 20dsin ttn 20dsin xxn 200dsin2dsin xxxxnn6.证证)( 为正实数为正实数n证证ttftttfxxFxxd)(2d )()(00 xxttftttfxxF00d )(2d )()(ut uufuuufxxxd )(2d )(00 uufuuufxxxd )(2d )(00 )(xF xttftxxFxf0d )()2()(,)(. 7处处连续处处连续设设求证：求证：.)(,)(也是偶函数也是偶函数则则是偶函数是偶函数

23、若若xFxf.lnd21 xxx8. 计算反常积分计算反常积分解解:,ln1)(xxxf , 0lnlim1 xxx是瑕点是瑕点1 x 21lndxxx 21)ln(ln x )2ln(ln )ln(lnlim1xx 故原反常积分发散故原反常积分发散. .9、.d02 xex212xe 0 xxe221lim21 21 xex02d2110、的法线的法线及其在点及其在点求由抛物线求由抛物线)1 ,21(22xy 所求面积所求面积解解:的法线为的法线为在点在点抛物线抛物线)1 ,21(22xy 23 xy)1 ,21( , )3,29( 与法线交点为与法线交点为抛物线抛物线所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积. 13Ayyyd)2