等势面场强与电势的微分关系静电场中的导体

1、 静电场的保守性静电场的保守性 电势的叠加原理电势的叠加原理例例3: 两个绝缘的均匀带正电的薄球壳，半径分两个绝缘的均匀带正电的薄球壳，半径分别为别为RA ， RB ，所带总电量分别为，所带总电量分别为qA ， qB。以无穷远处为电势零点，求空间电势分布。以无穷远处为电势零点，求空间电势分布。RBRAP1P2qBqAP3Q0RrRQr04)(RrrQr04)(ReviewP1111BA101044rqrqBAP2BA22BBARqrq02044BA3BBAARqRq0044RBRAP1P2qBqAP3P3电场中电势相同的各点组成的曲面电场中电势相同的各点组成的曲面等势面等势面电场线电场线形象地

2、描绘形象地描绘电场强度电场强度的整体分布的整体分布等势面等势面形象地描绘形象地描绘电势电势的整体分布。画等势面的整体分布。画等势面时，通常使相邻等势面的电势差为常数时，通常使相邻等势面的电势差为常数等势面等势面+等势面等势面平行板电容器平行板电容器E E1. .等势面与电场线垂直等势面与电场线垂直证明：证明：在等势面上在等势面上abl dEUbaab0等等势势面面l dE路径路径 dl l 在等势面上，在等势面上，等势面E证毕证毕ba而路径而路径abab是任意的，所以只能处处有是任意的，所以只能处处有2. .在静电场中沿等势面移动电荷电场力不作功在静电场中沿等势面移动电荷电场力不作功l dEq

3、Aba0abUq003.电场线指向电势降低的方向电场线指向电势降低的方向4. 等势面密处，电场强度大等势面密处，电场强度大正电荷的电场)(a匀强电场)(b2121pprdEU不同路径导致相同的电势降落不同路径导致相同的电势降落最短路程沿电场方向最短路程沿电场方向drErdEdcosabddrEbacosE EVal ldn nddVVbcardb匀强电场)(bdrdEcosEdrdmax)(kjiEzyx梯度算符梯度算符gradgradkjizyx电场强度为电势梯度电场强度为电势梯度（方向（方向导数中的最大者）导数中的最大者）的负值。的负值。0nEngradE“”表示表示 E E 的方向为电势

4、降的方向的方向为电势降的方向lEdaagradE场强反映场点处的电势的场强反映场点处的电势的“变化变化率率”，E E 与与 V V 无直接的关系。无直接的关系。例例1 1：均匀带电圆盘半径为均匀带电圆盘半径为 R ，面电荷密度为面电荷密度为 ，求求轴线上一点的场强。轴线上一点的场强。解：解：由带电圆盘轴线上一点的电势公式由带电圆盘轴线上一点的电势公式)(2220 xRxoRxxE)1221(2220 xRx22012xRx静电感应静电感应在外电场的作在外电场的作用下，导体内自由电荷重新用下，导体内自由电荷重新分布的现象。感应电荷。分布的现象。感应电荷。1. .静电平衡状态静电平衡状态 导体内部

5、和表面电荷导体内部和表面电荷的的宏观运动都停止宏观运动都停止，电荷电荷分布重新达到分布重新达到平衡。平衡。0E EE EE E 外场外场0E E 感应场感应场E E导体内部的场导体内部的场E E0EEE 2. .静电平衡条件静电平衡条件导体内部的场导体内部的场0EEE静电平衡时静电平衡时0EE静电平衡条件：静电平衡条件：0EEE0 00内部E表面表面E0E EE EE E1)1)2)2)结论结论：静电平衡时导体为等势体，导体表面为等势面。静电平衡时导体为等势体，导体表面为等势面。证明：证明：在导体内任取两点，在导体内任取两点，电势差为：电势差为：baabUlEdbaab静电平衡时静电平衡时 E

6、 E = 0= 0, 0baba导体为等势体，导体表面为等势面。导体为等势体，导体表面为等势面。静电平衡状态下导体的性质静电平衡状态下导体的性质1. .结论结论1：静电平衡时导体内无静电平衡时导体内无净净电荷，所有电荷分布电荷，所有电荷分布于外表面。于外表面。证明：证明：导体内作高斯面导体内作高斯面0qdSSE静电平衡时静电平衡时E E = 0= 0， 0q 0高斯面任取高斯面任取证毕证毕带电只能在导体表面！带电只能在导体表面！高高斯斯面面面内电荷是否会等量异号？面内电荷是否会等量异号？ 缩小高斯面。缩小高斯面。2. .孤立导体的电荷分孤立导体的电荷分布布结论结论2 2：电荷面密度与导体电荷面

7、密度与导体表面的曲率半径成反比。表面的曲率半径成反比。( (孤立导体：孤立导体：导体周围无导体周围无其它带电体其它带电体) )1R2R球球 1 电势电势10114Rq211014 RqR球球 2 电势电势0222R21R112211RR 对对非孤立导体非孤立导体电荷分布还与周围存电荷分布还与周围存在的其它带电体有关系在的其它带电体有关系。结论结论1. .方向：方向：静电平衡时，场强方向与导体表静电平衡时，场强方向与导体表面垂直。面垂直。 由于静电平衡时导体表面为等势面，由由于静电平衡时导体表面为等势面，由等势面的性质，场强方向垂直于等势面，所以等势面的性质，场强方向垂直于等势面，所以场强垂直于

8、导体表面。场强垂直于导体表面。如果场强不垂直于表面，如果场强不垂直于表面，场强的与表面平行分量驱场强的与表面平行分量驱动电荷沿表面移动，不满动电荷沿表面移动，不满足静电平衡条件。足静电平衡条件。证明：证明：SEE/E结论结论2. .大小：大小：静电平衡时，导体表面附近的场强静电平衡时，导体表面附近的场强 大小为大小为0E证明：作证明：作高斯柱面如图，高斯柱面如图，SSEdScos,0q内底侧外底SEES00Sq00E注：注：E E不是面积不是面积S S产生的，产生的，是整个导体产生的。是整个导体产生的。导体表面尖锐处导体表面尖锐处 R小，小， 大，表面大，表面E E也大；也大；RE1导体表面平

9、滑处导体表面平滑处 R大，大， 小，表面小，表面E E也小；也小；如尖端放电、电风，避雷针。如尖端放电、电风，避雷针。播放播放 CDCD3 尖端放电尖端放电0qdSSE,0 0E E导体内导体内 0q面内电荷是否会等量异号？面内电荷是否会等量异号？ 若是，腔内必有电力线，若是，腔内必有电力线，则导体不是等势体，与静电则导体不是等势体，与静电平衡条件矛盾。平衡条件矛盾。结论结论1：内表面无电荷，电荷全部分布于外表面。内表面无电荷，电荷全部分布于外表面。证明：证明：在导体内作高斯面在导体内作高斯面证毕证毕结论结论2：空腔内场强空腔内场强 E E = 0= 0。 证明：证明：如果如果空腔空腔内内 E

10、 E 不为不为 0 0，则导体不是等势体，则导体不是等势体不管外电场如何变化，由于导体表面电荷的重不管外电场如何变化，由于导体表面电荷的重新分布，总要使内部场强为新分布，总要使内部场强为 0 0。例如：高压带电作业人员穿的导电纤维编织例如：高压带电作业人员穿的导电纤维编织的工作服。的工作服。空腔导体具有静电屏蔽作用。空腔导体具有静电屏蔽作用。 空腔原带有电荷空腔原带有电荷 Q ，将将 q 电荷放入空腔内。电荷放入空腔内。Qqqq结论：结论：内表面带有内表面带有 q 电荷。电荷。外表面带有外表面带有 Q+ +q 电荷。电荷。证明：证明：在导体内作高斯面，在导体内作高斯面， 0q腔内表面必有腔内表

11、面必有 q 电荷电荷, ,由电荷守恒定律：外表面上的电荷为：由电荷守恒定律：外表面上的电荷为：qQ证毕证毕腔内电荷腔内电荷电量变化电量变化: : 会引起腔外电场的变化。会引起腔外电场的变化。Q0q接地可屏蔽内部电场变化对接地可屏蔽内部电场变化对外部的电场影响。外部的电场影响。0q0q例如：例如：如家电的接地保护；如家电的接地保护； 收音机里的中频变压器的金属收音机里的中频变压器的金属外壳接地（接电源正极）。外壳接地（接电源正极）。腔内电荷腔内电荷位置变化位置变化:不不会引起腔外电场的变化。会引起腔外电场的变化。解：解：1)1)取如图高斯面取如图高斯面3124AQBQAB2)2)在导体极板内，取

12、一点在导体极板内，取一点A，则：则：040302012222AE0例例1：两块面积均为两块面积均为S S的平行放置的大导体板分的平行放置的大导体板分别带电别带电 Q QA A、Q QB B。求各表面的电荷面密度。求各表面的电荷面密度。00qe3241SQA)(21SQB)(43又又因为因为SQ/SQ/有有041SQ32讨论：讨论：BAQQ41SQQBA232SQQBA20BQ4132SQA2SQA20BQ,B接地041SQ32IIIIIIQ23例例2: 半径为半径为R1的导体球的导体球 A和一个内径为和一个内径为 R2 外径外径为为R3 的导体球壳的导体球壳B同心放置，带电后同心放置，带电后A

13、 和和B的的电势分别为电势分别为 A 和和 B. 1) 分析系统的电荷和电场分布分析系统的电荷和电场分布情况情况.2) 如果如果 A和和 B 用一根导线连用一根导线连接接,电荷和电场分布情况又电荷和电场分布情况又如何如何?ABq1q3q2电荷应该均匀分布在导体的三个表面上，分别设电荷应该均匀分布在导体的三个表面上，分别设为为q1 ,q2 ,q3.由电势叠加原理：由电势叠加原理：303202101444RqRqRqA303214RqqqB由于电荷分布的球对称性，所以由于电荷分布的球对称性，所以电场的分布是球对称的。电场的分布是球对称的。对红色高斯面，由高斯定律对红色高斯面，由高斯定律q1 + q2 = 0解三个方程解三个方程得：1221014RRRRqBA1221024RRRRqAB3034RqB等值异号等值异号ABq1q3q2ABq1q3q2r R1 : E = 0R1 r R2 :21221rRRRREBAR2 r