不等式恒成立问题的大全12.7

1、不等式恒成立问题“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结 合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命 题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、 “数形结合”、 “分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问 题的一般求解策略。一、判别式法综上可得实数 m 的取值范围为3,1)二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1f(x) a恒成立 a f (x)min2f(x)a恒成立 a f (x)max8

2、x216x k，g(x) 2x35x24x，其中k为实数.假设所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数2f(x) ax bx c(a1f(x)0对x R恒成立2f(x)0对x R恒成立例 1.已知函数 y lgx2(a 1)x解：由题设可将问题转化为不等式0,xR),有0；J000.a2的定义域为 R,求实数 a 的取值范围。2(a 1)24a20 解得a(a 1)x a20 对x R恒成立，即有1。3所以实数 a 的取值范围为(，1)(?假设二次不等式中 x 的取值范围有限制,例 2.设 f (x) x2取值范围设 F(x)4(m0时，2mx2，当x 则可利

3、用根的分布解决问题。1,)时，f(x) m恒成立，求实数 m 的解:当当o2x1)(m如图,2mx 22) 0 即F(x)则当x 1,)时，F(01) 02m2解得1.已知两个函数f(x)(1)假设对任意的 x3,，都有f(x) g(x)成立，求k的取值范围；假设对任意的各、X23,，都有 f (xjg(X2),求k的取值范围.(3)假设对于任意为 3,3，总存在 Xo3,3 使得 g(Xo)f (x )成立，求k的取值范围.(2)由题意可知当 x3,3 时，都有 f(x)maxg(X)min由 f (x)16x160 得x 1.- f( 3)24k,f( 1)8 k,f(3)120 kJ-f

4、(X)maxk120.由 g(x)6x210 x 40 得x1或X23,- g( 3)21,g(3) 111,g( 1)1,g(2)28327二 g(x)min21.则120 k21,解得k 141.问题转化为F(x) 0在 X3,3 上恒成立,即 F(X)min0 即可- F(x) 6x26x126(x2x 2),由 F(x)0,得x2或x1.- F( 3)k 45，F(3)k 9,F( 1)k 7,F(2) k20,-F(X)mink 45,由k 45o,解得k 45.【分析及解】(1)令 F(x)g(x) f (x) 2x33x212x k,(3)假设对于任意&3,3，总存在 X

5、o3,3 使得 g(Xo)f(xj 成立,等价于 f X 的值域是 g X 的值域的子集，由 可知， f(x) 8x216x k 在 3,3 的值域为 k 8, k 120，g(x) 2x35x24x 在 3,3 的值域为 21,111，21解析 此题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题，只要对于任意假设所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元别离于不等式两端，从而 问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最 值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：于是,k 8, k 12021,11，即满足2. 已知 恒成立， 解：设F(x) f(x) g(x) 则由题可知

6、 令F(x) 而F( 1)F (x)max2f (x) 7x 28x a,g(x) 求实数a 的取值范围。2x32x34x23x212xF(x) 0对任意x 3,3恒成立6x26x 120,得x7a, F (2)20 a, F( 3)45 a 0 a 45即实数 a 的取值范围为45,23.函数f(x)x-,x1,x求实数 a 的取值范围。解：假设对任意x 1,即对X 1,f (x)2f(x) 考虑到不等式的分母x而抛物线 g(x)a 31,x22x a 在x注：此题还可将4.已知f(x) x2k 8k 12040 x，当x1或x 245 a, F(3)9 a,)，假设对任意x 1,x)，只需

7、1,f (x)变形为f (x)ax 3 a，假设x解得9 k 13111.3,3时，f (x) g(x)f(x) 0恒成立,0恒成立，红芒0恒成立,2x a 0在x1,的最小值 gmin(x)时恒成立而得g(1)3 a 0 得2，讨论其单调性从而求出f (x)最小2,2, f(x) 2恒成立，求 a 的取值范围.x 2,2, f(x)min2.假设x 2,2, f (x)min2a22f (x)minf( 2)或2-222或-22f(x)minf( )3 a2乞24f (x)min5,2 2.2.值。三、别离变量法x 2,2, f(x) 2恒 成 立7 3a 2，即 a 的取值范围为f (2)

8、 7 a 21f (x) g(a)(a 为参数)恒成立g(a)f (x)max2f (x) g(a)(a 为参数)恒成立g(a)f (x)max. 4xx2- ，贝 U a g(x)minx.4x x241 可知g(x)在(0,4上为减函数，故 x xg(x)ming(4)0 a 0即 a 的取值范围为(，0)。注：别离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。例 4 已知函数f(x) |x24x 5|，假设在区间1,5上,y kx 3k的图象位于函数 f(x)的上方，求k 的取值范围.解析 此题等价于一个不等式恒成立问题，即对于实际上，上题就可利用此法解决。)时恒成立，只要a x22x

9、在x 1,)时恒 x22x 在1,)上的最大值为3，所以a 3。略解：x22x a 0在x 1,成立。而易求得二次函数 h(x)a1、已知函数 f X lg x -x，假设对任意 x 2,恒有 f x 0，试确定a 的取值范围。解：根据题意得：x即:ax23x在 xa 2x2,1在 x 2,上恒成立,3x ，则 f x上恒成立,23x22时，f2、已知 xxmax,1 时,2 所以a 2不等式1 2xa解：令2xt，.x,1 t 0,22x、,a 40恒成立，求 a 的取值范围。所以原不等式可化为：a2a亍，要使上式在 t0,2 上恒成立，只须求出t 1T 在 t02 上的最小值即可。tmin

10、211243a -41t123.已知函数 f(x)围。ax,4x x2,x(0,4时f(x) 0恒成立，求实数 a 的取值范解：将问题转化为 a4x x对x (0,4恒成立。x令 g(x)由 g(x)x 1,5, kx 3kx24x 5恒成立，式子中有两个变量，可以通过变量别离化归为求函数的最值问题.对于X 1,5, kx 3kx24x 5恒成立k 竺卫对于x 3x 1,5恒成立，令科上4-5,x 1,5,设x 3 t,t 2,8,则x 316y (t10,t 2,8,当t4，即 x=1 时ymax2, k 的取值范围是 k2.变式假设此题中将ykx 3k改为y k(x 3)2，其余条件不变，

11、则也可以用变量别离法解.此题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去 一个变量，容易证明 f(x)是定义在-1,1上的增函数，故 f(x)在-1,1上的最大值为f(1)=1,则f(x) t22at 1对于所有的x 1,1, a 1,1恒成立1 t22at 1对于所有的a 1,1恒成立，即2ta t20对于所有的a 1,1恒成立，令g(a) 2ta t2，只要阳00，t2或t 2或t 0- 四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，假设能适时的把主元变量和参数变 量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例 1 已知对于任意的 a -1,1，函数 f(x)=ax2+(2a-

12、4)x+3-a0 恒成立，求 x 的取值范围.由题意得，对于x 1,5, k(x 3)2x24x5恒成立2X坐磐对于3)(xx 1,5恒2 .x 4x令y2(x 3)5一，x1,5,设t,t2,816 10 ,y厂1当4 5,即Xt 49,t 2,8，169(-)2t 4时，ymax, k 的取值范围是516k.164.m, n1,1, mf(x)是定义在-1,1上的奇函数 他 40，假设f(x) t22atf(1)=1，假于所有1,1, a 1,1恒成立，求实数 t 的取值范围.解析解析 此题按常规思路是分 a=0 时 f(x)是 情况讨论，不容易求 x 的取值范围。因此，次函数，aO寸是二

13、次函数两种我们不能总是把 x 看成是变量，把 a看成常参数，我们可以通过变量转换，把a 看成变量，x 看成常参数，这就转化次函数问题，问题就变得容易求解。令g( 1) 0g(1)g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3 在 a -1,1时,g(a)0 恒成立，则0，得3.133.13.例 2、假设不等式2x围。解：设f mx22x 1x21x211对满足 m，对满足 m2x 102x 102 的所有 m 都成立，求 x 的取值范0恒成立,x2(a 4)x 4 2a 0 恒成立，求 x 的取值范围 分析：题中的不等式是关于 x 的一元二次不等式，但假设把 a 看成主元，则 问题可转化为一次不等式

14、(x 2)a解：令 f (a) (x 2)a x a 1,10当x 2时，可得f(a)当x 2时，应有f(1)f( 1) 0故 x 的取值范围为(,1)(3,)。注：一般地，一次函数f(x) kx b(k 0)在,上恒有f(x) 0的充要条件为f( )00f( ) 0四、数形结合法 数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明 了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知 道，函数图象和不等式有着密切的联系：函数f (x)图象恒在函数g(x)图象上方； 函数f (x)图象恒在函数g(x)图象下上方。10,-内恒成立，求实数 a 的取值范围。3例3.

15、对任意a 1,1，不等式1f(x) g(x)2f(x) g(x)x24x 40 在a 1,1上恒成立的问题。4x 4，则原问题转化为f (a)0恒成立0，不合题意。0解之得x 1或x 3。例 1、假设不等式 3x2logax 0 在x解：由题意知：3x2logax 在x10,3内恒成立,在同一坐标系内，分别作出函数y 3x2和 y logax观察两函数图象，当1031函数 y logax 的图象显然在函数 y 3x2图象的下方，所以不成立；1 1logax 的图象必须过点 -,-或在这个点的上方,3 3数 a 的取值范围.假设a1时，由图可知,则，log1a3综上得:27丄27127例 2.设

16、 f (x)x24x ,g(x)4、一、x 1 a,假设恒有f (x) g(x)成立,3求实数 a 的取值范围.分析：在同一直角坐标系中作出如下图，f(x)的图象是半圆(xg(x)的图象是平行的直线系 要使f (x) g(x)恒成立， 则圆心(2,0)到直线4x 3yI8 3 3a|24x3y3a0的距离厂 44满足 d5解得a5或a53舍去)例 3 .设函数f(x): 2a x 4x,g(x)ax a,假设恒有f (x) g(x)成立,试求实题意得f (x) g(x)x24x ax 2a,令-23 3a 0。f (x)及g(x)的图象2)2y24( y 0)y1、x24x,y2ax2a.可化

17、为(x 2)2y24(0 x 4y 0),它表示以(2,0)为圆心，2 为半径的上半圆；表示经过定点(-2,0)，以 a 为斜率的直线，要使f(x) g(x)恒成立，只需 所表示的半圆在 所表示的直线下方就可以了(如下图).当直线与半圆相切时就有|2a 2a|a子，由图可知，要使f(x) g(x)恒成立，实数的取值范围是a彳2，五.分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边， 则可利用分类讨论的思想来解决。例 1、假设 x 2,2 时，不等式X2ax 3 a恒成立，求 a 的取值范围。 解：设 f x x2ax 3 a，则问题转化为当 x 2,2 时，f x 的最

18、小值非负。a7(1)当a2即：a 4时，f x.f 27 3a 0a-又a 4所2丿min3以 a 不存在；2(2)当2 -22即：4a 4时，fXminf|3 a046 a 2又4a44 a 2(3)当a22即：a4时，f xminf 27 a 0a7又a47a 4综上所得：7 a21 .解关于 x 的不等式 x24mx 4m2m 32 .设a R，函数 f (x) x2ax 2a2.假设f (x) 0的解集为 A， B x|1 x 3 ,APlB，求实数 a 的取值范围点评：二次函数与二次不等式和集合知识有很多联系，不等式的解集、函 数的值域成为集合运算的载体，对于含参数问题要确定好分类的标准，做到不 重不漏。3.已知 a 是实数，函数 f(x) 2ax22x 3 a，如果函数y f (x)在区间1,1解：原泉不等式等价于|x2m | m 3当m30即m3时，x 2m m3 或 x 2mx3m3或x m 3当m30即m3时，|x 6| 0 x6当m30即m3时，x R3)(m上有零点，求 a 的取值范围.解析：由函数f(x)的