2018年高等数学二试题及完全解析(Word版)

1、超级狩猎者整理第1 1页共 15 页2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学二考研真题与全面解析（Word 版）一、选择题：1 18 8 小题，每小题 4 4 分，共 3232 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上1.1.若lim exax21bx疋1,则（）x 01(A A)a, b 1(B B)a】,b1(C C)a】,b 1( D D)a-,b 12222【答案】（B）【解析】由重要极限可得选（B B）. .【答案】（D）bb因此,moH XX(e(ebxbxbxbxxebxbxbxbxxlim x 0ax2bx2xxlimx

2、 02axbx(x2)lim0(1a)x2(1b)x(x2)1 ao,1 b或用“洛必达”：limxax2bx 12xlimx02x2ax b(b 1)xelimx 022a1 2a0，22.2.下列函数中在0处不可导的是(A)f (X)x sin(C)f (x) cos x(B(B)(D(D)f(x)f(x)cos xx sin超级狩猎者整理22第2 2页共 15 页【解析】根据导数定义,A.A.limxB.B.f(0)C.C.limf(x) f(0)x 0D.D.limx 0cos |x 1x3.3.设函数f(x)1,x01,x0f(x) f(0)xm0cos x 1lim1x 0limx

3、 0，g(x)x,(A(A)a 3,b 1(B)a3,bxim0 x sin x2x2lim02limx 0 x1x2xxgxlimx 0 x0, ,可导;0，可导;0，可导;,极限不存在。故选（D）. .【答案】（D）【解析】令F （x） f(x)g(x)则F( 1)1a, F (0)1ax,1b,(C)aax,1,b1,3,b，若b,F(0)因为函数连续，所以极限值等于函数值，即2,1故选 （D D）. .4 4设函数f（x）在0,1上二阶可导。且1f(x)dx0，则f（x）g（x）在R上连续，则（(D)a 3,b 22,F(0 0)1,3,b(A(A )当f (x)0时，fJ)2（B）

4、当f（X）0时,f(1)1(C)当f (x)0时，f()2（D） 当f（X）0时,1匹）0【答案】（D）【解析一】 有高于一阶导数的信息时,优先考虑“泰勒展开”。从选项中判断，展开点为x01将函数f（X）在x0处展开，有超级狩猎者整理22第3 3页共 15 页超级狩猎者整理第4 4页共 15 页f(x)1f（2）（x2)严y1，其中一2两边积分,11f(x)dxf(-)由于fg(x 1)2dx02! 2fG)1fa(x2!)2dx，2(x) 01f()(x2)2dx 02!，所以fG)0，应选（D D）. .【解析二】 排除法。(A)错误。f(x)1，易知210f(x)dx(x)0，但是f (

5、-1)(B)错误。f(x)x21，易知310f(x)dx0，f (x)但是f (-)2故选错误。f(x)1，易知2f (x)dx0，f (x)1但是(D)5 5设M2(1 x)2212dx，xdx，2(1. cosx)dx，则2(A)M（C）K M N（D）K【答案】 （【解析】 积分区间是对称区间， 先利用对称性化简, 能求出积分最好，不能求出积分则最简化积分。2 221 x2dx x21 %2绻t(1212x)dx，1 x1(12cosx)dx1gdx，2f(x)x, x(,)，则f2 2(x)ex1,当x(孑,0)时，f (x)x (0,)时，f (x)0，故对x2(,3)，有f (x)

6、 f (0)0，因而超级狩猎者整理第5 5页共 15 页超级狩猎者整理第6 6页共 15 页1 X1NX八e21 X2-d：2ex21gdx，故K M2N。应选（C）0 2x212 x26.6.dx(1xy)dy0dx(1xy)dy（）1X0X5577（A A）（B B）(C C) 一（D D） 3636【答案】（C）0d1D2 x212 x2xy)dyXX(1(1 xy)dyxy)dxdyDdx0 xdxdy(11(20 x2x)dx7，3故选（C C）。1 1 07.7.下列矩阵中阵,与矩阵011相似的是（）0 0 11 111 0111 11 0 1（A A）011(B B)011（ C

7、 C）010( D D)0 1 00 010 0100 10 0 1xy关于X是 奇函数，所以【答案】（A）【解析】还原积分区域，如图所示:超级狩猎者整理第7 7页共 15 页【解析】记矩阵H 01，则秩r(H) 3，迹tr(H ) 3, ,特征值1(三重)。观察A, B,C,D四个选项，它们与矩阵H的秩相等、迹相等、行列式相等，特征值也相等，进一步分析可得：r(E H) 2, ,r( E A) 2，r( EB)r( E C) 1, ,r( ED) 1。 如果矩阵A与矩阵X相似，则必有kEA与kE X相似(k为任意常数)，从而r(kE A)r (kE X)，故选(A), ,8 8设A, B是n

8、阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩,(X,Y)表示分块矩阵,则(A)r(A, AB) r(A)(B)r(A, BA) r(A)(C)r(A, B) maxr(A), r(B)(D)r(A, B) r(AT,BT)【答案】(A)【解析】把矩阵A, AB按列分块，记A(1,2,Ln),AB(1,2,Ln)，则向量组1,2,Ln可以由向量组1,2,Ln线性表出，从而1,2,L1,2,Ln，1,2,Ln，等价，于是r(A, AB) r(A)，故选(A)。, ,二、填空题：9 9 1414 小题，每小题 4 4 分，共 2424 分，请将答案写在答题纸 指定位置上29.9.若lim x arctan(x 1

9、) arctanxx【答案】【解析】可知1.1.【方法一】 由拉格朗日中值定理可得2,arctan( 1) arctax -1其中xx 1,x0，12社，而1 (1 x) 11 x2xlim一x1(1 x)limx2x- 21，1 x根据夹逼定理可得，lim x2arctan(x 1) arctan xlimxx【方法二】g0型未定式的极限必须化成商式。超级狩猎者整理第8 8页共 15 页超级狩猎者整理第9 9页共 15 页11(1 x)1 21 Q2x3432x x2 2(1 x )1(1 x)21010曲线y x 2ln x在其拐点处的切线方程为2Jim x arctan(x1) arct

10、anx Jimarctan(x 1) arctanxlimx3 2 2x 1(1 x) (1 x )2 2(1 x )1(1 x)超级狩猎者整理第1010页共 15 页2o3【解析】有参数方程求导公式可知【答案】y 4x 3. .【解析】函数的定义域为（0,）,y2x -，yx令y0，解得x 1，而y （1）0，故点（1,1）是曲线唯一的拐点。曲线在该点处的斜率y(1)4，所以切线方程为y4x 3o11.11.dx5x24x 3-;【答案】iln2。2dy 3sin tcost2dx 3cos tsinttant,d2ydx2(tant)3cos21 s intsec213cos21 s in

11、t【解dxx24x3丄dxlnx 12 xln2。212.12.曲线3 .cos t.3，在tsin t对应处的曲率4【答案】超级狩猎者整理第1111页共 15 页故曲率K3(1 y2)22 .sec t3cos2tsi nt3(1 tan2t)213 costs int，代入t13.13.设函数z z(x, y)由方程In z ez 1xy确定，则1(2,2)【答案】1。4【解析】方程两边同时对x求导，得ez1zz xxy，将x 2,y1-代入原方程可得2z 1,整理可得 X(2,2)3为线性无关的向量组,A2223，A32【答案】2. .【解析】(A1,A2,A3)A(1,令P(1,2,3

12、),14.14.设A为 3 3 阶矩阵,V2 PC, ,P可逆，故A相似于C，3，则A的实特征值为_2002,3)(1,2,3) 111，121200C 1115121A于C有相同的特征值。则AP2 0 0111(2)(223) 01 2 1解得矩阵的实特征值为2。超级狩猎者整理第1212页共 15 页1严)11TT4P(C)4 p(c)442 2三、解答题：15152323 小题，共 9494 分请将解答写在答题纸 指定位置上解答应写出文字说明、程或演算步骤15.15.(本题满分 1010 分)求不定积分e2xarctandx. .【解析】e2xarctan ex1dx1arctan ex1

13、de2x22孑眦时厂e2xd arctan i ex1】e2xarctan i ex12】e2xarctan、ex12】e2xarctan、ex12】e2xarctan、ex121212xe d2xd e g1 (ex1)d、ex1 - d、ex121；ex1 C2x 3e 1)16.16.(本题满分 1010 分)已知连续函数f(X)满足0(I(I)求f (x)； ( IIII)若f (x)在区间0,1上的平均值为xf (t)dt0tf(x t)dt2ax求a的值。【解析】令u x t，则du dt,从而x0tf(x原方程化为xt)dt0(xx0f(t)dtxu)f(u)du xxx0f (

14、u)dux0f(u)dux0uf(u)dux0uf (u)du，2ax，等式两边对x求导，得f (x)of (u)du 2ax，且f (0)0,x由于f(x)连续，可知o f (u)du可导，进而有f(x)可导。上式再求导可得f (x) f (x) 2a。由一阶线性微分方程的通解公式可得证明过超级狩猎者整理第1313页共 15 页超级狩猎者整理第1414页共 15 页f(x) ex(2aexC)，将f(0)0代入，解得(IIII )根据题意可知2a，于是f(x)2a(1 ex)。1f (x)dx，将f (x)02a(1xe )代入，可得17.17.(本题满分x1010 分)设平面区域D由曲线y

15、sintcost,(0t与x围成，计算重积分(xD【解析】画积分区域的草图，化二重积分为二次积分2y)d。(xDsint, y 12y)dyx t20(xy(x)y2(x)dx，利用边界曲线方程cost,(02 )换元,(xD2y)d(tsin t)(1cost)(1cost)2d(tsint)其中(t220(1sin t)(12cost) dt20(1cost)3dt，sin t)(1 cost)2dt2(t t cos tcost)3dt2t cost2(10sintcos3tsin tcos212sin 2t)dt 3,23cost 3cos t)dt 5，(xD2y)d已知常数k ln

16、2 1，证明：(x 1)(x ln2x 2klnx 1)0。【分析】该题的本质是：证明“大于号左边式子构成的函数的最小值为0 0”。由于左边式子是两个1818. .(本题满分1010 分)超级狩猎者整理第1515页共 15 页超级狩猎者整理第1616页共 15 页三个图形的面积之和为S(x, y, z).32z,4则问题转化为“在条件2 x 4y 3z 2,x0,y0,z0下，求三元函数因式的乘积且(X 1)较为简单，因此只需要以(x 1)的正负来论证另一个因式的各种变化即可。2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。【证明】当0

17、x 1(In x的定义域是x0)时，仅需证xIn x 2klnx 10；当X 1时，仅需证X2ln x 2klnx令F(x)ln2xln x2klnx 1，则F (x) 1 2 x2kx 2ln x 2k令G(x)2ln x2k，则G (x)1 -。x(1 1 )当0 x 1时，G (x)0,G(x)单调递减，G(x) G(1) 2ln 2 10,从而F (x)0,F (x)单调递增，于是有F (x)F(1)0，命题成立。(2 2)当1x 2时，G (x)12门0；当xx22时，G (x)10。x故G(x)x 2ln x 2k在1,内的最小值在x 2取得，而G(2)0,因此，当x(1,)时，G

18、(x)0，从而F (x)0,且仅在x 2处可能x有F (x)0。于是，当x (1,)时，F (x)单调递增，F (x) F (1)0,也即x2ln x 2klnx 10。)，均有(x 1)(x In2x 2kln x(0,综上所述，对任意的x1) 0。19.19.(本题满分 1010 分)将长为【答案】面积之和存在最小值，Sn14 3巾。【解析】设圆的半径为x，正方形的边长为y， 三角形的边超级狩猎者整理21第1717页共 15 页421111 分)已知曲线L : y -x2(x 0)，点0(0,0), ,点A(0,1)。设P是L上9的动点，S直线0A与直线AP及曲线L所围图形的面积。若P运动

19、到点(3,4)时沿x轴方向的速度是4，求此时S关于时间t的变化率。【解析】画草图，可以看出所求面积等于一个梯形面积减去一个曲边三角形(空白部分)面积。设t时刻，动点P的坐标为-JQ所求变化率为dtx,9x 4x2 9dS dx2S1dx dt42，则面积du2x3x27210。3S(x, y, z)z2的最小值”。43z2(2 x 4y 3z 2)Lx2 x20Ly2y40解方程组LzV3z3，得到唯一驻点02L2 x4y3z 2 024 332J34 3门Smin14 3320.20.(本题满分4xyz由实际问题可知，最小值一定存在，且在该驻点处取得最小值。最小面积和超级狩猎者整理21第18

20、18页共 15 页超级狩猎者整理第1919页共 15 页21.21.（本题满分 1010 分）设数列Xn满足x10,xneXn 1eXn1(n123丄）。证明Xn收敛，并求lim xn。nxi【证明一】因为片0，所以xe11eX2X1根据拉格朗日中值定理, 存在（0必） ，使得eX11x2，即ee，因此XiX2x,。完全类似，假设0Xn 1Xn，故数列Xn设limnXnxn2eXn 11ene (0Xn 1)，即Xn 1XnXn 1,单调减少且有下界，从而数列A,在等式xneXn 1eXn故lim xn0。n&收敛。1两边取极限,AeA1，解方程得唯一【证明二】首先证明数列xn有下界，

21、即证明Xn1时,X10。根据题设X2ineU，由eX1X1可知假设当n k时,XkX1X2ln10；则当nk 1时,xk 1lne 1XkXk其中ekXk，可知& & 1 1ln1根据数学归纳法，对任意的n，Xn0。再证明数列Xn的单调性:eXn1Xn 1XnlnXnXnXnlneXnJXn，Xne（离散函数连续化）设f（X）1 xeX(X0），则当X0时，f (x)XXef（X）单调递减，f（x） f(0)0，即Xxe。超级狩猎者整理第2020页共 15 页超级狩猎者整理第2121页共 15 页e11从而xn1xnIn-ln1 0，故Xn1Xn，即数列x,的单调递减。xne综

22、上，数列xn的单调递减且有下界。由单调有界收敛原理可知xn收敛。设lim Xna,在等式xneXn 1eXn1两边同时令n，得aeaea1,解n方程得 唯一解a 0，故lim Xn0。n22.22.（本题满分 1111 分）设二次型f（X1,X2,X3） （X1X2X3）2（X2X3）2（片aX；3）2，其中a是参数。(i(i)求f(X1,X2,X3)0的解;（IIII）求f (X1，X2，X3)的规范型。【解析】 （1 1）由f（X!，X2,X3）0可得-1X2-30-2-30-1ax30对上述齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换得1111111 1 1A 0110110 1 110a01a 100 a 2a 2时,f(X1,X2，-3)0只有零解：X(0,0,0)To1 0 2当a 2时，A 011,0 0 0f（X1,X2,X3）0有非零解：X k（ 2, 1,1,k为任意常数。（IIII ）当a 2时，若X1,X2,X3不全为 0 0，则二次型f（X!，X2,X3）恒大于 0 0,即二次型仁人兀压）为正定二次型，其规范型为f（yy2,y3）y；y；y3。