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1、v基本要求基本要求 了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌握散度定理的内容，并能熟练运用。握散度定理的内容，并能熟练运用。 了解矢量场旋度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌了解矢量场旋度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。 了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义。了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义。 正确理解标量格林定理和矢量格林定理的内容，并学会应正确理解标量格林定理和矢量格林定理的内容，并学会应用。用。1 .2 通量与散度通量与散度

2、, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem1.2.1 矢量场的通量矢量场的通量矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述 矢量场的通量矢量场的通量 在电场电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量电通量；在在磁场磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量磁通量。 定义：定义：若若矢量场矢量场 分布于空间中，在空间中分布

3、于空间中，在空间中存在任意曲面存在任意曲面 ，则，则 若若 为闭合曲为闭合曲面面 为为矢量矢量 沿有向曲面沿有向曲面 的的通量通量。物理意义：物理意义：表示穿入和穿出闭合面表示穿入和穿出闭合面 的矢量通量的代数和。的矢量通量的代数和。 穿过穿过闭合曲面闭合曲面S的通量的通量面元在闭合曲面上面元在闭合曲面上: :面元的法面元的法向矢量由闭合曲向矢量由闭合曲面面内内指向指向外外; ; 面元在开曲面上：面元在开曲面上：( (由有向闭由有向闭合曲线合曲线C C围成的围成的) ) ：面元的法向面元的法向矢量与矢量与C C成成右手螺旋法则右手螺旋法则。面元的法向矢量：面元的法向矢量：neSdCSdne穿过

4、曲面穿过曲面S的通量的通量 对于流速场，通量代表每秒钟流出闭合曲面的流体的体积。对对于流速场，通量代表每秒钟流出闭合曲面的流体的体积。对于电磁场，通量代表穿出闭合曲面的力线的条数。于电磁场，通量代表穿出闭合曲面的力线的条数。1 .2 通量与散度通量与散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theoremSdne电场是发散场，电荷是电场电场是发散场，电荷是电场的发散源。正电荷为正的发散源。正电荷为正通量通量源源，负电荷为负，负电荷为负通量源通量源。qSdDS0SdBS磁场是非发散场，没有发散源。磁场是非发散场，没有

5、发散源。+-1 .2 通量与散度通量与散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem有净的矢量线从内有净的矢量线从内向外穿出向外穿出S S （发发散场）散场）；S S内有发内有发出矢量线的正通量出矢量线的正通量源。正电荷是电场源。正电荷是电场的正通量源。的正通量源。有净的矢量线从外有净的矢量线从外向内穿入向内穿入S S（汇聚汇聚场）场）, S, S内有汇聚内有汇聚矢量线的负通量源。矢量线的负通量源。负电荷是电场的负负电荷是电场的负通量源。通量源。进入与穿出闭合曲面进入与穿出闭合曲面的矢量线相等的矢量线相等

6、,S,S内源内源的代数和为的代数和为0.0.不能判不能判断场是否发散，除非断场是否发散，除非S是任意曲面。是任意曲面。 矢量场穿出矢量场穿出闭合面闭合面S的通量大小反映了场在的通量大小反映了场在S内的发散情内的发散情况，也反映了况，也反映了S内通量源的大小。内通量源的大小。0001 .2 通量与散度通量与散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem例例1：已知空间电场分布为：已知空间电场分布为 ，求电场强，求电场强度穿过以坐标原点为球心半径为度穿过以坐标原点为球心半径为a的闭合球面的通量。的闭合球面的通

7、量。)()(rEerErSdrES)()(42aEaS )(aEerdSerSdSaE)(OxyzrneSd1 .2 通量与散度通量与散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem1 .2 .2 散度散度 Divergence of a vector field2、散度的物理意义、散度的物理意义 1) 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性； 2) 2) 矢量场的散度是一个标量；矢量场的散度是一个标量； 3) 3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散

8、度是空间坐标的函数；1 .2 通量与散度通量与散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem1、定义：、定义：当闭合面当闭合面 向某点无限收缩时，矢量向某点无限收缩时，矢量 通过该闭合面通过该闭合面 的的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 在该在该 点的散度，以点的散度，以 div 表示，即表示，即散度描述了通量源的密度。散度描述了通量源的密度。P P点的散度点的散度0 0 ，P P点的场发散，点的场发散，P P点有发散源；点有发散源；P P点的散度

9、点的散度0 0 ，P P点的场汇聚，点的场汇聚，P P点有汇聚源；点有汇聚源；P P点的散度点的散度为为0 0，P P点没点没有发散源；有发散源；空间任意点散度空间任意点散度0，场非发散，无发散源；，场非发散，无发散源；1 .2 .2 散度散度 Divergence of a vector field1 .2 通量与散度通量与散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem3 3、直角坐标系中散度的表示、直角坐标系中散度的表示散度可用算符散度可用算符 哈密顿哈密顿 表示为表示为哈密顿哈密顿zzyyxx拉普拉

10、斯拉普拉斯222x22y22z21 .2 通量与散度通量与散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 穿出立方体的前侧面的净通量值为穿出立方体的前侧面的净通量值为 做一无限小立方体包围做一无限小立方体包围P（x0,y0,z0)点点-Ax(x0-Dx2,y0,z0)DyDzoxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzDxDyDPF),(000zyxAx(x0Dx2,y0,z0)DyDz穿出后侧面的净通量值为穿出后侧面的净通量值为穿出前、后两侧面的

11、净通量值为穿出前、后两侧面的净通量值为Ax(x0Dx2,y0,z0)-Ax(x0-Dx2,y0,z0)DyDzAxx(x0,y0,z0)DxDyDzAxx(x0,y0,z0)Ax(x0Dx2,y0,z0)-Ax(x0,y0,z0)Dx2Ax(x0,y0,z0)-Ax(x0-Dx2,y0,z0)Dx2穿出前、后两侧面的净通量值为穿出前、后两侧面的净通量值为AxxDxDyDzoxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzDxDyDPF),(000zyx穿出左、右两侧面的净通量值为穿出左、右两侧面的净通量值为AyyDxDyDz穿出上、下两侧面的净通量值为穿出上、下两侧面的净通量值为AzzDxDyDz

12、穿出包围立方体的闭合面的通量穿出包围立方体的闭合面的通量直角坐标系中的散度为直角坐标系中的散度为zeyexezyx(AxxAyyAzz)DxDyDz(AxxAyyAzz)DV(1.2-4)Ax沿沿x方向的变化率，场沿方向的变化率，场沿x方向发散，方向发散，产生穿出垂直于产生穿出垂直于x轴方向的面积的通量轴方向的面积的通量 oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzDxDyDPAxx单位体积内沿单位体积内沿x x方向发散源，方向发散源，x x方向发散源的强度方向发散源的强度 。Ayy单位体积内沿单位体积内沿y y方向发散源，方向发散源，y y方向发散源的方向发散源的强强度度 。Azz单位体积

13、内沿单位体积内沿z z方向发散源，方向发散源，z z方向发散源的方向发散源的强强度度 。 的散度是的散度是 的的三维分量沿各自方向的变化率三维分量沿各自方向的变化率之之和，和， 即取决于即取决于 各分量的各分量的纵向变化率纵向变化率。13比较上式与式比较上式与式(1.2-4) (1.2-4) 知知: zzyyxx 哈密顿算子哈密顿算子兼有矢量和微分运算双重功能兼有矢量和微分运算双重功能: : 先按矢量规则展开先按矢量规则展开, ,再做微分运算：再做微分运算：1 .2 .2 散度散度 Divergence of a vector field注意注意：散度的运算规则：散度的运算规则：zzyyxxz

14、zyyxx)(1 .2 通量与散度通量与散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem上式称为上式称为散度定理散度定理, 也称为也称为高斯公式高斯公式。1 .2 .3 散度定理散度定理 The divergence theorem既然矢量的散度代表的是其通量的体密度既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, , 因此直观地可因此直观地可知知, , 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量闭面的总通量, , 即即 v从从数学角度数学角度可以认为高斯

15、定理建立了面积分和体积分的关系。可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。v从从物理角度物理角度可以理解为高斯定理建立了区域可以理解为高斯定理建立了区域V中的场和包围区域中的场和包围区域 V的闭合面的闭合面S上的场之间的关系。上的场之间的关系。v如果已知区域如果已知区域V中的场，根据高斯定理即可求出边界中的场，根据高斯定理即可求出边界S上的场，上的场，反之亦然。反之亦然。散度定理散度定理：散度定理的物理意义：散度定理的物理意义：1 .2 通量与散度通量与散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem4.

16、 散度定理散度定理体积的剖分体积的剖分VSiSi+1Sie1ie),(iiizyx矢量散度的矢量散度的体积分体积分该矢量的封闭该矢量的封闭面积分面积分对于对于 vi1 .2 通量与散度通量与散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem散度定理的应用散度定理的应用qSdDS DdVdVDVV任意任意S,V成立成立0SdBS0 B0dVBV任意任意S,V成立成立1 .2 通量与散度通量与散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence

17、theorem点电荷点电荷q在离其在离其r处产生的电通量密度为处产生的电通量密度为 解解例例求任意点处电通量密度的散度求任意点处电通量密度的散度 ，并求穿出，并求穿出r为半径的球面为半径的球面的电通量的电通量e1 .2 通量与散度通量与散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem5222/522222/32222/322234)(3)(14)(4rxrqzyxxzyxqzyxxxqxDx-52252234,34rzrqzDryrqyDzy-1 .2 通量与散度通量与散度, , 散度定理散度定理Flux,

18、 divergence of a vector field, divergence theorem可见，除点电荷所在源点（可见，除点电荷所在源点（r=0）外，空间各点的电通量密度散）外，空间各点的电通量密度散度均为零。度均为零。这证明在此球面上所穿过的电通量这证明在此球面上所穿过的电通量 的源正是点电荷的源正是点电荷q。e1 .2 通量与散度通量与散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem20球面球面s上任意点的位置矢量为上任意点的位置矢量为 试利用散度定理计算试利用散度定理计算z zyyxxrSsd

19、r3rzzyyxx然后利用散度定理计算面积分：然后利用散度定理计算面积分：VVSrrvvs334343d3drdr解解 首先求出首先求出 的散度的散度：r例例21 .2 通量与散度通量与散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem为什么要定义通量？为什么要定义通量？通量的大小，由发散场的强度决定，由发散源的强度决定。通量的大小，由发散场的强度决定，由发散源的强度决定。比如静电场的通量由比如静电场的通量由S内的电荷分布决定。内的电荷分布决定。通量描述通量描述S内产生发散场的内产生发散场的发散源发散源的总量

20、。的总量。从通量判断发散场，发散源，确定源与场的关系从通量判断发散场，发散源，确定源与场的关系有散场，例如静电场有散场，例如静电场无散场，例如恒磁场无散场，例如恒磁场1 .2 通量与散度通量与散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem例例2.4.1 (V4) 半径为半径为a的球形区域内充满介电常数为的电介质的球形区域内充满介电常数为的电介质，球，球外为真空外为真空。若已知电场分布如下，求空间电荷体密度（。若已知电场分布如下，求空间电荷体密度（A、a为常为常数）。数）。-arrAaaearArreErr

21、24523)()(得根据高斯定理, E解：解：arEarE0ErErErrrErsin1)(sinsin1)(122)(122rErrr )(1452ArrrrE)45(1342ArrrArr452ar ar )(1452AaarrE0ararArr0)45(201 .3 环量与旋度环量与旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theorem1 .3 .1 环量环量 Curl of a vector field矢量矢量 沿某封闭曲线的线积分沿某封闭曲线的线积分, 定义为定义为 沿该曲线的环量沿该曲线的环量(或旋涡量或旋涡量), 记为记为 封

22、闭曲线的方向规定为使所包围面积在其左侧，封闭曲线的方向规定为使所包围面积在其左侧，如图如图1.3-1所示所示。sldsAl dPlSS图图1.3-1矢量场的环量矢量场的环量 图图1.3-2 电流电流I的磁通密度的磁通密度B1 .3 环量与旋度环量与旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theorem为反映给定点附近的环量情况为反映给定点附近的环量情况, 我们把封闭曲线收小我们把封闭曲线收小, 使它包围的使它包围的面积面积S趋近于零趋近于零, 取极限取极限 这个极限的意义就是这个极限的意义就是环量的面密度环量的面密度, 或称或称环量强度环量

23、强度。 由于面元是有方向的由于面元是有方向的, 它与封闭曲线它与封闭曲线 l 的绕行方向成右手螺旋关的绕行方向成右手螺旋关系系, 因此在给定点处因此在给定点处, 上述极限值对于不同的面元是不同的。上述极限值对于不同的面元是不同的。 为为此此, 引入引入旋度旋度(curl或或rotation): 1 .3 .2 旋度的定义和运算旋度的定义和运算1、定义：、定义：1 .3 环量与旋度环量与旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theorem2 2、旋度的物理意义、旋度的物理意义矢量矢量 的旋度是一个矢量的旋度是一个矢量, 其大小是矢量其大小是

24、矢量 在给定点处的最大在给定点处的最大环量面密度环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时, 该面元矢量的方向该面元矢量的方向 。 它描述它描述 在该点处的在该点处的旋涡源强度旋涡源强度。 若某区域中各点若某区域中各点curl =0, 称称 为为无旋场或保守场无旋场或保守场。 n 1 .3 环量与旋度环量与旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theorem27b)b)分量表示式分量表示式C) 运算运算故故由由教材教材p.13p.131414的推导得的推导得 的三个坐标分量都取决于其另两

25、个坐标分量在与各自正交的的三个坐标分量都取决于其另两个坐标分量在与各自正交的方向上的变化率。简言之，方向上的变化率。简言之， 的旋度取决于各分量的横向变化率的旋度取决于各分量的横向变化率。利用哈密顿算子，有利用哈密顿算子，有1 .3 环量与旋度环量与旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theorem4、旋度运算规则旋度运算规则: 在直角坐标系中有在直角坐标系中有 （拉普拉斯算子）（拉普拉斯算子）（旋无散）（旋无散）1 .3 环量与旋度环量与旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess th

26、eorem29证证 0A )（例例：证明：证明：zyxAAAzyxzyxA)（0)()()()( )( )( 222222-zyAzxAyzAyxAxzAxyAyAxAzzAxAyzAyAxzzyyxxxyxzyzxyxzyz1 .3 环量与旋度环量与旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theoremv任何旋度场一定是无散场。任何旋度场一定是无散场。v任一矢量场任一矢量场 的旋度的散度一定等于零。的旋度的散度一定等于零。v任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度。任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度。1 .3 环量与旋度环量与旋度, 斯托克

27、斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theoremv 一个矢量场的旋度是一个矢量函数，而一个矢量场的散度是一个一个矢量场的旋度是一个矢量函数，而一个矢量场的散度是一个标量函数；标量函数；v 旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度描述旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系；的是矢量场中各点的场量与通量源的关系；v 如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这种场中如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这种场中不可能存在旋涡源，因而称之为不可能存在旋涡源，因而称之为无旋场

28、无旋场（或保守场）；如果矢量（或保守场）；如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这种场中不可能存场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为在通量源，因而称之为无源场无源场（或管形场）；（或管形场）；v 在旋度公式中，矢量场的场分量在旋度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对与其垂直分别只对与其垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方向上的变化规律；与其垂直的方向上的变化规律；v 在散度公式中，矢量场的场分量在散度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只

29、对分别只对x、y、z求求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。化规律。 4旋度与散度的区别旋度与散度的区别：因为旋度代表单位面积的环量因为旋度代表单位面积的环量, 因此矢量场在闭曲线因此矢量场在闭曲线l上的环量上的环量就等于就等于l所包围的曲面所包围的曲面S上的旋度之总和上的旋度之总和, 即即 此式称为此式称为斯托克斯斯托克斯(Stokes)定理或定理或斯托克斯公式斯托克斯公式。 它可将矢量旋度的面积分变换为该矢量的线积分它可将矢量旋度的面积分变换为该矢量的线积分, 或反之。或反之。1 .3 .3 斯托克斯定理斯

30、托克斯定理 The Stokess theorem1 .3 环量与旋度环量与旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theorem自由空间中的点电荷自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为所产生的电场强度为 例：例：求任意点处求任意点处(r0)电场强度的旋度电场强度的旋度 。 1 .3 环量与旋度环量与旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theorem解解：1 .3 环量与旋度环量与旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theor

31、em可见可见, 向分量为零向分量为零; 同样同样, 向和向和 向分量也都为零。向分量也都为零。 故故 x y z 这说明这说明点电荷产生的电场是无旋场点电荷产生的电场是无旋场。 因因535333ryzryzryzrzy-1 .3 环量与旋度环量与旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theorem证明下述矢量斯托克斯定理：证明下述矢量斯托克斯定理： 两边同时进行体积分两边同时进行体积分有有（1-37）例例1 .4式中式中S为包围体积为包围体积V的封闭面。的封闭面。 证证 设设 为一任意常矢，则为一任意常矢，则1 .3 环量与旋度环量与旋度

32、, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theorem根据散度定理，上式左边等于根据散度定理，上式左边等于于是得于是得由于上式中常矢由于上式中常矢 是任意的，故式（是任意的，故式（1-37）必成立。）必成立。1 .3 环量与旋度环量与旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theoremcoscoscoszyxlcoscoscoszyxlzzlyylxxl1 .4 方向导数与梯度方向导数与梯度, , 格林定理格林定理标量场标量场(x, y, z)在某点沿在某点沿l方向的变化率称为方向的变化率

33、称为沿该方向的方向导数沿该方向的方向导数 。它的值与所选取的方向。它的值与所选取的方向 有关有关, 设设 l /l方向导数方向导数一、方向导数与梯度一、方向导数与梯度39矢量矢量 在在 上的投影等于上的投影等于 在该方向上的方向导数。在该方向上的方向导数。 l),cos(|lll则方向导数则方向导数引入引入 算子算子 z y x z y x z y x z y x ）（1 .4 方向导数与梯度方向导数与梯度, , 格林定理格林定理40二、梯度二、梯度 的模是的模是 在给定点上的最大方向导数在给定点上的最大方向导数其方向就是具有该最大方向导数的方向，也就是其方向就是具有该最大方向导数的方向，也就

34、是 的变化的变化率最大的方向。率最大的方向。 1),cos(l|maxl则则若若zzyyxxgrad梯度梯度:1 .4 方向导数与梯度方向导数与梯度, , 格林定理格林定理),cos(|lllgradxyzxyzxyzxyz 梯度梯度 gradient是一个矢量是一个矢量的模就是的模就是在给定点的最大方向导数在给定点的最大方向导数方向就是该具有最大方向导数的方向方向就是该具有最大方向导数的方向, 亦即亦即的变的变化率最大的方向。化率最大的方向。1 .4 方向导数与梯度方向导数与梯度, , 格林定理格林定理42三、等值面三、等值面const),zyx（0cl对等值面上的任意方向对等值面上的任意方

35、向 ，cl0cl即即结论：梯度的方向就是等值面的法线方向：结论：梯度的方向就是等值面的法线方向： cn m20 xyPclm0m10ll 0 1 .4 方向导数与梯度方向导数与梯度, , 格林定理格林定理22222220)( )(zyxff)(1)()(2-梯度运算规则梯度运算规则: 1 .4 方向导数与梯度方向导数与梯度, , 格林定理格林定理44试证明运算规则试证明运算规则 )()(ff证证zfzyfyxfxfzzyyxxf)()()()()(）（所以等式成立所以等式成立 )( )( )( zfzyfyxfx)(zzyyxxddf)()(fddf例例1 .4 方向导数与梯度方向导数与梯度,

36、 , 格林定理格林定理2 2、梯度的物理意义、梯度的物理意义1)1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；2)2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。v任一标量场任一标量场 的梯度的旋度一定等于零的梯度的旋度一定等于零。v任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度v任何梯度场一定是无旋场任何梯度场一定是无旋场。梯度的重要性质梯度的重要性质0u 1 .4 方向导数与梯度方向导数与梯度, , 格林定理格林定理将散度定理中矢量将散