2018届河北省衡水金卷全国高三大联考理科数学试题解析版

1、2018届河北省衡水金卷全国高三大联考理科数学试题（解析版）第卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M=x|x25x+40，N=x|2x>4，则 ( )A. MN=x|2<x<4 B. MN=RC. MN=x|2<x4 D. MN=x|x>2【答案】C【解析】M=xx2-5x+40=x1x4,N=x|x>2.所以MN=x|2<x4,MN=x|x1.故选C.2. 记复数z的虚部为Im(z)，已知复数z=5i2i12i（为虚数单位），则Im(z) 为( )A. 2 B. -3 C.

2、3i D. 3【答案】B【解析】z=5i2i-1-2i=5i2i+12i-12i+1-2i=5-2+i-5-2i=2-3i.故z的虚部为-3，即Imz=-3.故选B.3. 已知曲线f(x)=23x3在点(1,f(1)处的切线的倾斜角为，则sin2cos22sincos+cos2=( )A. 12 B. 2 C. 35 D. 38【答案】C【解析】由f'x=2x2，得tan=f'1=2，故sin2-cos22sincos+cos2=tan2-12tan+1=35.故选C.4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是

3、一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )A. 7265mm2 B. 36310mm2 C. 3635mm2 D. 36320mm2【答案】B【解析】根据题意，可估计军旗的面积大约是S=30100××112=36310mm2.故选B.5. 已知双曲线C：x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线经过圆E：x2+y22x+4y=0的圆心，则双曲线C的离心率为( )A. 5 B. 52 C. 2 D. 2【答案】A【解析】圆E：x2+

4、y2-2x+4y=0的圆心为E(1,-2)，双曲线C的渐近线为y=±bax.依题意得ba=2.故其离心率为e=a2+b2a2=1+b2a2=1+4=5.故选A.6. 已知数列an为等比数列，且a2a3a4=a72=64，则tan(a4a63)=( )A. 3 B. 3 C. ±3 D. 33【答案】A【解析】依题意，得a2a3a4=a33=-64，所以a3=-4.由a72=64,得a7=-8，或a7=8（由于a7与a3同号，故舍去）.所以a4a6=a3a7=32.tana4a63=tan323=tan11-3=-tan3=-3.故选A.7. 执行如图的程序框图，若输出的S的

5、值为-10，则中应填( )A. n<19? B. n18? C. n19? D. n20?【答案】C【解析】由图，可知S=-1+2+-3+4+-17+18-19=9-19=-10.故中应填n19?.故选C.8. 已知函数f(x)为R内的奇函数，且当x0时，f(x)=e2+1+mcosx，记a=2f(2)，b=f(1)，c=3f(3)，则a，b，c间的大小关系是( )A. b<a<c B. a<c<b C. c<b<a D. c<a<b【答案】D【解析】根据题意得f0=m=0，令gx=xf(x).则gx=xf(x)为R内的偶函数，当x0时，g

6、'x=x-ex+1'=1-ex-xex=-x+1ex+1<0.所以gx在0,+)内单调递减.又=-2f-2=g(2)，b=-f-1=g(1)，c=3f3=g(3).故c<a<b，选D.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )A. 23+ B. 12+ C. 2+6 D. 2+3【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱与一个地面是等腰直角三角形的三棱锥构成的组合体，故其体积V=13×12×2×1×2+12×12×2=23+.故选A.点睛：思

7、考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10. 已知函数f(x)=2sin(x+)(<0,2,)的部分图象如图所示，其中|MN|=52.记命题p：f(x)=2sin(3x+56)，命题q：将f(x)的图象向右平移6个单位，得到函

8、数y=2sin(3x+23)的图象.则以下判断正确的是( )A. pq为真 B. pq为假 C. (¬p)q为真 D. p(¬q)为真【答案】D【解析】由|MN|=52，可得(2)2+22=52.解得=3.因为f0=1，所以fx=2sin(3x+56)，故p为真命题；将f(x)图象所有点向右平移6个单位，.所以pq为假，pq为真，(¬p)q为假，p(¬q)为真.故选D.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F，一

9、条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则ABM的周长为 ( )A. 7112+26 B. 9+26 C. 9+10 D. 8312+26【答案】B【解析】令y=1，得x=14，即A(14,1).由抛物线的光学性质可知AB经过焦点F，设直线AB的方程为y=k(x-1)，代入y2=4x.消去y，得k2x2-2k2+2x+k2=0.则xAxB=1，所以xB=1xA=4.AB=xA+xB+p=254.将x=4代入y2=4x得y=±4，故B(4,-4).故MB=(4-3)2+(-4-1)2=26.故ABM的周长为MA+MB+AB=3-14

10、+26+254=9+26.故选B.点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.12. 已知数列an与bn的前n项和分别为Sn，Tn，且an>0，6Sn=an2+3a,nN*，bn=2an(2an1)(2an+11)，若nN*,k>Tn恒成立，则k的最小值是( )A. 71 B. 149 C. 49 D. 8441【答案】B【解析】当n=1时，6a1=a12+3a1，解得a1=3或a1=0.由an>0得a1=3.由6Sn=an2+3an，得6Sn+1=an+12+3an+1.两式相减得6an+1=an+12-an2

11、+3an+1-3an.所以(an+1+an)(an+1-an-3)=0.因为an>0，所以an+1+an>0,an+1-an=3.即数列an是以3为首项，3为公差的等差数列，所以an=3+3n-1=3n.所以bn=2an(2an-1)(2an+1-1)=8n(8n-1)(8n+1-1)=17(18n-1-18n+1-1).所以Tn=1718-1-182-1+182-1-183-1+18n-1-18n+1-1=1717-18n+1-1<149.要使nN*,k>Tn恒成立，只需k149.故选B.点睛：由an和Sn求通项公式的一般方法为an=S1,n=1Sn-Sn-1,n2.

12、数列求和的常用方法有：公式法；分组求和；错位相减法；倒序相加法；裂项相消法；并项求和.第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13. 已知在ABC中，|BC|=|ABCB|，AB=(1,2)，若边AB的中点D的坐标为(3,1)，点C的坐标为(t,2)，则t=_【答案】1【解析】依题意，得BC=|AC|，故ABC是以AB为底边的等腰三角形，故CDAB，所以CDAB=3-t,-11,2=3-t-2=0.所以t=1.14. 已知(x12x)n(nN*)的展开式中所有项的二项式系数之和

13、、系数之和分别为p，q，则p+64q的最小值为_【答案】16【解析】显然p=2n.令x=1，得q=12n.所以p+64q=2n+642n22n642n=16.当且仅当2n=642n.即n=3时，取等号，此时p+64q的最小值为16.15. 已知x，y满足3x+yt,x6,y0,其中t>2，若sin(x+y)的最大值与最小值分别为1，12，则实数的取值范围为_【答案】56,76【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）设z=x+y，作出直线l:x+y=z，当直线过点B(6,0)时，z取得最小值6；当直线过点A(6,t-2)时，z取得最大值t-3.即6x+yt-3，当x+y=6或56时，

14、sinx+y=12.当x+y=2时，sinx+y=1.所以2t-356，解得56t76.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑MABC中，MA平面ABC，MA=AB=BC=2，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为_【答案】2482【解析】设MC的中点为O，如图，由AB=BC=2，且ABC为直角三角形

15、，得ABC=90°.由等体积法，知13SABC+SMAC+SMAB+SMBCr=13SABCMA.即13×122×2×2+2×22×2r=13×12×2×2×2，解得r=2-1.故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为4(R2+r2)=43+3-22=24-82.三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数f(x)=cos2x+3sin(x)cos(+x)12，xR.（）求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程；（）在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，

16、c，已知f(A)=1，a=3，bsinC=asinA，求ABC的面积.【答案】（1）最小正周期T=22=，对称轴方程为x=k2+3(kZ)；（2）934.【解析】试题分析：（1）化简函数得f(x)=-sin(2x-6)，其最小正周期T=22=，令2x-6=2+k(kZ)即可解得对称轴；（2）由f(A)=-1，解得A=3，由正弦定理及bsinC=asinA，得bc=a2=9，利用SABC=12bcsinA即可得解.试题解析：（1）原式可化为，f(x)=cos2x-3sinxcos-12，=1+cos2x2-32sin2x-12，=sin(6-2x)=-sin(2x-6)，故其最小正周期T=22=

17、，令2x-6=2+k(kZ)，解得x=k2+3(kZ)，即函数f(x)图象的对称轴方程为，x=k2+3(kZ).（2）由（1），知f(x)=-sin(2x-6)，因为0<A<2，所以-6<2A-6<56.又f(A)=-sin(2A-6)=-1，故得2A-6=2，解得A=3.由正弦定理及bsinC=asinA，得bc=a2=9.故SABC=12bcsinA=934.18. 如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中CD/AB,BCAB，侧面ABE平面ABCD，且AB=AE=BE=2BC=2CD=2，动点F在棱AE上，且EF=FA.（1）试探究的值，使CE/平

18、面BDF，并给予证明；（2）当=1时，求直线CE与平面BDF所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）15.【解析】试题分析：（1）连接AC交BD于点G，连接GF，通过证得GF/CE，即可证得CE/平面BDF；（2）取AB的中点O,连接EO，可得OA,OD,OE两两垂直，建立空间直角坐标系，设CE与平面BDF所成的角为，则sin=|cos<CEn>|，n为平面BDF的一个法向量.试题解析：（1）当=12时，CE/平面BDF.证明如下：连接AC交BD于点G，连接GF.CD/AB,AB=2CD，CGGA=CDAB=12.EF=12FA，EFFA=CGGA=12.GF/CE.又CE平

19、面BDF，GF平面BDF，CE/平面BDF.（2）取AB的中点O,连接EO.则EOAB.平面ABE平面ABCD，平面ABE平面ABCD=AB，且EOAB，EO平面ABCD.BO/CD，且BO=CD=1，四边形BODC为平行四边形，BC/DO.又BCAB，AB/DO.由OA,OD,OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(0,-1,0)，D(1,0,0)，C(1,-1,0)，E(0,0,3).当=1时，有EF=FA，可得F(0,12,32).BD=(1,1,0)，CE=(-1,1,3)，BF=(1,32,32).设平面BDF的一个法向量为n=(

20、x,y,z)，则有nBD=0,nBF=0,即x+y=0,32y+32z=0,令z=3，得y=-1，x=1.即n=(1,-1,3).设CE与平面BDF所成的角为，则sin=|cos<CEn>|= |-1-1+3|5×5=15.当=1时，直线CE与平面BDF所成的角的正弦值为15.点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 如今我们的

21、互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在A市的普及情况，A市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用网络外卖的情况与性别有关？（）现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率将频率视为概率，从A市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X，求X的数学期望

22、和方差.参考公式：K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.参考数据：【答案】（1）见解析；（2）710，见解析.【解析】试题分析：（1）计算K2的值，进而可查表下结论；（2）由分层抽样的抽样比计算即可；由2×2列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为110200=1120，将频率视为概率，即从A市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为1120，由题意得XB(10,1120).试题解析：（1）由列联表可知K2的观测值，k=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) =200(50×40-

23、50×60)2110×90×100×1002.020<2.072.所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用网络外卖情况与性别有关.（2）依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有5×60100=3（人），偶尔或不用网络外卖的有5×40100=2（人）.则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为P=C32C21C53+C33C53=710.由2×2列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为110200=1120，将频率视为概率，即从A市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市

24、民的概率为1120.由题意得XB(10,1120)，所以E(X)=10×1120=112；D(X)=10×1120×920=9940.20. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为点F1，F2，其离心率为12，短轴长为23.（）求椭圆C的标准方程；（）过点F1的直线l1与椭圆C交于M，N两点，过点F2的直线l2与椭圆C交于P，Q两点，且l1/l2，证明：四边形MNPQ不可能是菱形.【答案】（1）x24+y23=1；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由ca=12，b=3及c2=a2-b2，可得方程；（2）易知直线MN不能平

25、行于x轴，所以令直线MN的方程为x=my-1与椭圆联立得(3m2+4)y2-6my-9=0，令直线PQ的方程为x=my+1，可得|MN|=|PQ|，进而由MNPQ是菱形，则OMON，即OMON=0，于是有x1x2+y1y2=0由韦达定理代入知无解.试题解析：（1）由已知，得ca=12，b=3，又c2=a2-b2，故解得a2=4,b2=3，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.（2）由（1），知F1(-1,0)，如图，易知直线MN不能平行于x轴.所以令直线MN的方程为x=my-1，M(x1,y1)，N(x2,y2).联立方程3x2+4y2-12=0,x=my-1,，得(3m2+4)y2-6m

26、y-9=0，所以y1+y2=6m3m2+4，y1y2=-93m2+4.此时MN=(1+m2)(y1+y2)2-y1y2，同理，令直线PQ的方程为x=my+1，P(x3,y3)，Q(x4,y4)，此时y3+y4=-6m3m2+4，y3y4=-93m2+4，此时PQ=(1+m2)(y3+y4)2-4y3y4.故|MN|=|PQ|.所以四边形MNPQ是平行四边形.若MNPQ是菱形，则OMON，即OMON=0，于是有x1x2+y1y2=0.又x1x2=(my1-1)(my2-1)，=m2y1y2-m(y1+y2)+1，所以有(m2+1)y1y2-m(y1+y2)+1=0，整理得到-12m2-53m2+

27、4=0，即12m2+5=0，上述关于m的方程显然没有实数解，故四边形MNPQ不可能是菱形.21. 已知函数，f(x)=ex(1+a)xb(a,bR)其中e为自然对数的底数.（）讨论函数f(x)的单调性及极值；（）若不等式f(x)0在xR内恒成立，求证：b(a+1)2<34.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）函数求导得f'(x)=ex-(1+a)，讨论1+a0和1+a>0演技单调性及极值即可；（2）当a-1时，f(x)在R内单调递增，可知f(x)0在xR内不恒成立，当a>-1时，f(x)min=f(ln(1+a)= a+1-b-(a+1)ln(

28、a+1)0，即a+1-(a+1)ln(a+1)b，所以(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).令g(x)=x2-x2lnx(x>0)，进而通过求导即可得最值.试题解析：（1）由题意得f'(x)=ex-(1+a).当1+a0，即a-1时，f'(x)>0，f(x)在R内单调递增，没有极值.当1+a>0，即a>-1，令f'(x)=0，得x=ln(a+1)，当x<ln(a+1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>ln(a+1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，故当x=ln(a+1)时，f(

29、x)取得最小值f(ln(a+1)=a+1-b-(1+a)ln(a+1)，无极大值.综上所述，当a-1时，f(x)在R内单调递增，没有极值；当a>-1时，f(x)在区间(-,ln(1+a)内单调递减，在区间(ln(1+a),+)内单调递增，f(x)的极小值为a+1-b-(1+a)ln(a+1)，无极大值.（2）由（1），知当a-1时，f(x)在R内单调递增，当a=-1时，b(a+1)2=0<34成立.当a<-1时，令c为-1和1-b1+a中较小的数，所以c-1，且c1-b1+a.则exe-1，-(1+a)c-(-b+1).所以f(c)=ex-(1+a)c-be-1-(1-b)-

30、b<0，与f(x)0恒成立矛盾，应舍去.当a>-1时，f(x)min=f(ln(1+a)= a+1-b-(a+1)ln(a+1)0，即a+1-(a+1)ln(a+1)b，所以(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).令g(x)=x2-x2lnx(x>0)，则g'(x)=x(1-2lnx).令g'(x)>0，得0<x<e，令g'(x)<0，得x>e，故g(x)在区间(0,e)内单调递增，在区间(e,+)内单调递减.故g(x)max=g(e)=e-elne=e2，即当a+1=ea=e-1时，g(x)max=e2.所

31、以(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1)e2.所以b(a+1)2e4.而e<3，所以b(a+1)2<34.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若f(x)>0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f(x)min>0 ，若f(x)<0恒成立f(x)max<0；（3）若f(x)>g(x) 恒成立，可转化为f(x)min>g(x)max请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为x=tcos,y=sin（t>0，为参数）.以坐标原点O为极点，x轴