15 电路方程的矩阵形式和系统编写

1、n15-0 基本概念n15-1 关联矩阵关联矩阵n15-2 回路矩阵回路矩阵n15-3 割集矩阵割集矩阵n15-4 矩阵之间的关系n15-5 矩阵在KCL、KVL中的体现15-115-4一、网络的图一、网络的图R1 R21 2skIskUk - + kZ + kU -kR1 R2 skIskUk - + kZ + kU - 当图当图G 中的任意两个节点之间中的任意两个节点之间至少存在一条路径时，称为至少存在一条路径时，称为连通图连通图。 有向图是指各个支路规定了参有向图是指各个支路规定了参考方向的图，反之，称为无向图。考方向的图，反之，称为无向图。 1 5 2 5 + 10V 2 3 1 3

2、- 7 1b 1n 2n 5b 6b 4b 8b 7b 2b 3n 3b 4n 一个连通图一个连通图G的树的树T是指是指G的一个的一个连连通通子图，它包含子图，它包含G的的全部节点全部节点，但，但不含不含任何回路任何回路。构成树的支路称为。构成树的支路称为“树支树支”，图图G中不属于中不属于T 的其他支路称为的其他支路称为“连连支支”，其集合称为，其集合称为“树余树余”。 1 a c2 b 3 d e 4 f 1 a c2 b 3 d e 4 f 1 a c2 b 3 d e 4 f 1 a c2 b 3 d e 4 f 1 a c2 b 3 d e 4 f 1 a c2 b 3 d e 4

3、f 1 a c2 b 3 d e 4 f 只含一条树支的割集称为单树支割只含一条树支的割集称为单树支割集，它们的总和称为集，它们的总和称为“基本割集基本割集”。 1 a c2 b 3 d e 4 f 1 a c2 b 3 d e 4 f 1 a c2 b 3 d e 4 f 1 a c2 b 3 d e 4 f三个矩阵研究的对象三个矩阵研究的对象结点结点支路支路关联矩阵关联矩阵Aa A回路回路支路支路回路矩阵回路矩阵B Bf 割集割集支路支路割集矩阵割集矩阵Q Qf11100000001100100011001000110011001 543217654321nnnnnbbbbbbbaA 4n

4、 4b 3b 5b 5n 7b1n 3n 1b 6b 2b 2n分析：有分析：有5 5个结点，个结点，7 7条支路，所以条支路，所以应该应该是是5X75X7的矩阵。的矩阵。5X7矩阵中任一行可以从其他矩阵中任一行可以从其他n-1n-1行中导出，行中导出，即只有即只有n-1行是独立的。行是独立的。A=(n-1) b支路支路b结点（结点（n-1）每一列只有两个非零元素，一个是每一列只有两个非零元素，一个是+1+1，一，一个是个是-1-1， A Aa a的每一列元素之和为零。的每一列元素之和为零。 2 3 4 1 6 3 2 5 4 1 11001001100110110000011143216 5

5、 4 3 2 1aA 0110011011000001113216 5 4 3 2 1A 15-2 回路矩阵回路矩阵B定义定义：行对应图的回路，列对应图的各个：行对应图的回路，列对应图的各个支路。支路。B=bjk中：中：u当支路当支路k不在回路不在回路j内，内， bjk=0;u当支路当支路k在回路在回路j内，且支路方向与回路方内，且支路方向与回路方向相同，向相同，bjk=+1;u当支路当支路k在回路在回路j内，方向不同，内，方向不同， bik=-1。取网孔为独立回路，顺时针方向取网孔为独立回路，顺时针方向1231 1123B =1 2 3 4 5 6 支支回回0 1 1 1 0 00 0 -1

6、 0 -1 11 -1 0 0 0 -1 给定给定B可以画出有向图。可以画出有向图。列写规则：列写规则：1. 先先选选择一棵择一棵树树T;2. 列写时，矩阵的列写时，矩阵的列列按按先连支后树支先连支后树支且连支与树支要分开排列的方式且连支与树支要分开排列的方式;3. 由于基本回路为单连支回路，就选由于基本回路为单连支回路，就选连连支方向为回路方向支方向为回路方向;4. 连支连支和对应的和对应的回路回路要为要为相同的行相同的行和和列列号号;5. 特点：特点：Bf的的左半边为左半边为E单位矩阵。单位矩阵。列写规则：列写规则：1234567l1l2l3101110011000100111001fB4

7、 5 7 1 2 3 6l1l2l315-3 割集矩阵割集矩阵 Q定义：行对应基本割集，列对应图的各个定义：行对应基本割集，列对应图的各个支路。支路。Q=qjk中：中：u当支路当支路k不在割集不在割集j内，内， qjk=0;u当支路当支路k在割集在割集j内，且支路方向与割集方内，且支路方向与割集方向相同，向相同， qjk=+1;u当支路当支路k在割集在割集j内，且支路方向与割集方内，且支路方向与割集方向不同，向不同， qjk=-1。111000100101001011321QQQQQ1Q2Q2156423Qf定义定义：如果选定一组单树支割集为一组独立割：如果选定一组单树支割集为一组独立割集，称

8、为基本割集矩阵。集，称为基本割集矩阵。列写规则：列写规则：1. 先选择一棵先选择一棵树树T;2. 列写时，将矩阵的列按列写时，将矩阵的列按先树支后连支先树支后连支且分且分开排列开排列;3. 由于基本割集为单树支割集，所以就选由于基本割集为单树支割集，所以就选树树支方向为割集方向支方向为割集方向;4. 树支树支和对应的和对应的割集割集要为要为相同的行列号相同的行列号;5. Qf的的左半边为左半边为E单位矩阵。单位矩阵。选选 4、5、6支路为树，写支路为树，写Qf1 1Q1:1,2,4 Q2:1,2,3,5 Q3:2,3,6Q=4 5 6 1 2 3 支支割集割集Q1Q2Q31 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1 0 0 1 0 -1 1QlQt1 l lQ Q 15-4 矩阵之间的关系A、Bf、Qf之间的关系ABT=0BAT=0QBT=0BQT=015-5 矩阵在KCL、KVL中的体现0AI bmIBITalIBIT0bQI000064374221531iiiiiiiiiii001011001001010000001100101017654321iiiiiii35147261、KCL定律：定律：375615534513322211nnnnnnnnnnnuuuuuuuuuuuuuuuuuunTUAU 0UBbf0BU btTUQU