数学必修四三角与向量复习

1、必修4三角与向量复习三角函数复习要抓住的两条主线三角函数复习要抓住的两条主线1 1、三角三角函数概念学习及公式变换函数概念学习及公式变换2 2、函数图象、变换及性质应用、函数图象、变换及性质应用角的概念推广角的概念推广u任意角任意角：正角、零角、负角正角、零角、负角 角是一个由顶点和两射线组成的几何图形；终边相角是一个由顶点和两射线组成的几何图形；终边相对于始边的旋转方向产生了角的正负对于始边的旋转方向产生了角的正负u终边相同的角终边相同的角：将角放入平面直角坐标系将角放入平面直角坐标系 角的始边与角的始边与x x轴非负半轴重合时终边也重合的角轴非负半轴重合时终边也重合的角 所有与角所有与角终

2、边相同的角记为终边相同的角记为2k+2k+（kZkZ）u象限角、轴线角象限角、轴线角: 各象限角及终边落在坐标轴上的角的集合表示各象限角及终边落在坐标轴上的角的集合表示弧度制与角度制弧度制与角度制u一弧度的角一弧度的角：1rad 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫一弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫一弧度的角u弧度制与角度制的互化弧度制与角度制的互化： 360360=2=2弧度；弧度； 弧度弧度=180=180； 1 1= = ； 1 1弧度弧度= =u弧度制下扇形的弧长及面积公式弧度制下扇形的弧长及面积公式: 弧长弧长 ；面积；面积S= 211|22lrr|lr180rad180已知一个

3、扇形的周长是已知一个扇形的周长是4 4cmcm, ,面积为面积为1 1cmcm2 2，则这个扇形的圆心角的弧度数为则这个扇形的圆心角的弧度数为_练习练习任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义 三角函数的基本关系式三角函数的基本关系式（注意变形应用）（注意变形应用）P(x,y)yxO11以单位圆圆心为平面直角坐标系原点建系，设角的终边交单位圆于点P(x,y), 则sin,cos,yxtanyx22sincos1;sintancos2sin3costan3sin4cos ( (1 1) )已已知知求求221tan3sincos ( (2 2) )已已知知求求22tan3sin3cos ( (3

4、3) )已已知知求求2 2练习练习单位圆中的三角函数线单位圆中的三角函数线xO11PyMTAsinyMPtanyATxcosxOM注注:借助单位圆中的三角函数线借助单位圆中的三角函数线我们可以实现描点作图，同时还我们可以实现描点作图，同时还能得出许多重要的三角函数性质能得出许多重要的三角函数性质三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式公式一：2k+（kZ）公式二： +公式三： -公式四： -公式五： -公式六： +22口诀：奇变偶不变，符号看象限口诀：奇变偶不变，符号看象限公式作用：公式作用：化任意角三角化任意角三角函数求值为锐函数求值为锐角三角函数求角三角函数求值值利用诱导公式把任意角的三角函数

5、转化为利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数锐角三角函数,一般按下面步骤进行一般按下面步骤进行:任意负角的任意负角的三角函数三角函数任意正角的任意正角的三角函数三角函数02的角的角的三角函数的三角函数锐角的三角锐角的三角函数函数用公式一用公式一或公式三或公式三用公式一用公式一用公式二或用公式二或四或五或六四或五或六可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了” 基本三角函数的图象与性质基本三角函数的图象与性质u正弦函数正弦函数y=sinx的图象与性质的图象与性质 五点法作图五点法作图（思考怎样列表描点）（思考怎样列表描点）u余弦函数余弦函数y=cosx的图象与性质的图象与性质 五点法作

6、图五点法作图u正切函数正切函数y=tanx的图象与性质的图象与性质 思考该函数图象与正、余弦函数图象的区别思考该函数图象与正、余弦函数图象的区别所有的点所有的点向左向左( 0)或或向右向右( 1)或或伸长伸长(0 1)或或缩短缩短(0 A1 (伸长伸长0 1 (缩短缩短0A0 (向右向右 1 (伸长伸长0 1 (缩短缩短0A0 (向右向右 0)平移平移| |/ 个单位个单位)sin()(sinxxy总结总结: minmax21xfxfAsin().yAxb minmax21xfxfb利用利用 ，求得，求得2T三角函数图象与性质解题应用三角函数图象与性质解题应用u求定义域、值域、最值及相应的角求

7、定义域、值域、最值及相应的角u求周期求周期u求单调区间、由单调性比较函数值大小求单调区间、由单调性比较函数值大小u知角求值知角求值(用定义用定义)、知值求值、知值求值u解三角方程解三角方程(知值求特殊角知值求特殊角) 、三角不等式、三角不等式u三角函数的图象三角函数的图象(五点法五点法)及图像变换及图像变换u和、差、倍角公式及三角恒等变换和、差、倍角公式及三角恒等变换u三角函数综合应用三角函数综合应用三角恒等变换公式三角恒等变换公式余弦两角和差公式： cos()=coscos sinsin正弦两角和差公式： sin()=sincos cossin正切两角和差公式： tan()= tantan1

8、tantan倍角公式：sin2=2sinsin; 2222cos2cossin12sin2cos1 xysinxycosxytan2522320 xy21- -12522320 xy1- -123223xyOxR 1,1y xR 1,1y Zkkxx,2Ry22xk时，时，1maxy22xk时，时，1miny2xk时，时，1maxy2xk 时，时，1m iny 无最大值无最小值-2,222xkk32,222xkk2,2xkk 2,2xkk Zkkk),2,2(无奇函数奇函数偶函数偶函数T=2T=2奇函数奇函数T=2T=2T=T=,2xkkZ(,0) kkZ,xkkZ(,0)2 kkZZkk),

9、0,2(无例例13 作出函数作出函数 的图象的图象, 并分别写出函数的周期、单调区间、并分别写出函数的周期、单调区间、 最值及取最值时的角。最值及取最值时的角。3sin(2)6yx五点法列表：五点法列表：y26Xxx？的图像如何变化得到的以及它的图像是由的最值、单调区间求函数xyxysin)631sin(2练习练习三角函数常规求值域问三角函数常规求值域问题题的值域求函数1cossin32sin2. 22xxxy的值域求函数3sin2sin. 3xxy的值域求函数3cos2sin. 4xxy的值域求函数23sin22cos21)(. 1xxxfsincos5.cossin1xxyxx求 函 数的

10、 值 域(2)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且kxAxf)sin()(.,220 其中Rx已知函数 , 函数在一个周期内的图象如图所示,(1)求函数解析式;baC,3213,)(求 abcCf平面向量知识复习注意要点平面向量知识复习注意要点1 1、平面向量的物理背景及含义、平面向量的物理背景及含义3 3、平面向量运算的几何意义、平面向量运算的几何意义4 4、向量运算的代数符号体系、向量运算的代数符号体系2 2、向量的运算及运算性质、向量的运算及运算性质5 5、向量的坐标运算、向量的坐标运算平面向量的基本概念平面向量的基本概念u向量向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的

11、量 向量的模向量的模( (向量的大小向量的大小); ); 向量的方向向量的方向u特殊向量特殊向量：零向量 、单位向量 u向量间的关系向量间的关系: 平行向量(共线向量)：判断方法判断方法 相等向量：定义及判断方法定义及判断方法0e|0| 0;| | 1e平面向量的表示平面向量的表示u几何表示法几何表示法: (用有向线段表示，与线段位置没有关系用有向线段表示，与线段位置没有关系) 等长且同向的有向线段表示的都是同一向量等长且同向的有向线段表示的都是同一向量u代数表示法代数表示法: (分符号表示或坐标表示两种分符号表示或坐标表示两种) (1) 向量向量 (2) 若若O(0, 0)、A(x1, y1

12、)、 B(x2, y2) 则则 =(x1, y1); =(x2-x1, y2 -y1).AB ABa 或OA 平面向量的线性运算平面向量的线性运算u向量加法向量加法: (1)三角形法则三角形法则(首尾相连首尾相连,头起尾终头起尾终); (2)平行四边形法则平行四边形法则(起点重合起点重合,头同尾异头同尾异).u向量减法：向量减法： 向量加法的逆运算向量加法的逆运算(注意三角形法则与加法的区别注意三角形法则与加法的区别)u实数与向量的积实数与向量的积：u线性运算的运算律线性运算的运算律：u线性运算的坐标表示：线性运算的坐标表示：u非零向量非零向量 与向量与向量 共线共线 (存在且唯一存在且唯一)

13、ABBCAC aba()aRa向量与 共线bABACCB 平面向量的数量积平面向量的数量积u数量积：数量积： 向量的夹角向量的夹角u数量积的几何意义：数量积的几何意义： 一个向量的长度一个向量的长度(模模)与另一个向量在其上投与另一个向量在其上投影影(模模夹角余弦夹角余弦)的乘积的乘积u向量数量积的运算律：向量数量积的运算律：u数量积的坐标运算：数量积的坐标运算：u数量积运算的重要性质数量积运算的重要性质: |cosa ba b (0)平面向量的解题应用平面向量的解题应用u平面向量解决平面几何问题：平面向量解决平面几何问题： 解题方法：解题方法：平面向量基本定理、向量坐标运算平面向量基本定理、

14、向量坐标运算u平面向量在物理中的应用：平面向量在物理中的应用： 各种物理矢量的研究各种物理矢量的研究(如力的分解如力的分解;速度合成速度合成)u平面向量与相关数学知识的综合应用：平面向量与相关数学知识的综合应用： (1) 求角度求角度; (2) 求距离求距离; (3) 证垂直证垂直; (4) 证共线证共线(或平行或平行); (5) 构建函数等构建函数等. /,/ab bcac 题例1:以下各种判断中正确的是 (1)长度为0的向量都是零向量; (2)零向量的方向都是相同的; (3)单位向量的长度都相等; (4)单位向量的方向都是相同的; (5)任意向量与零向量都共线; (6)平行向量的方向都是相同的; (7)共线向量一定要在同一直线上作出; (8)模相等的两向量是相等向量; (9)向量的模是实数，模大的向量也大; (10)(1)(3)(5)题例2:已知向量 不共线， 求证：A、B、C三点共线。 12,ee 12ABee 121228,3()BCeeCDee 题例题例3:已知已知 ，若，若 与与 平行平行,则则 (1, 2) ,( ,1)abx2ab2ab_.x 题例4: 已知 ， 与 的夹角 为30o,求| 3,| 2abab, (2),|.a babba