单辉祖工力5空间力系ppt课件

1、空 间 任 意 力 系第 五 章1 1、回想力在直角坐标轴上的投影、回想力在直角坐标轴上的投影 X = F sin cosX = F sin cosY = F sin sinY = F sin sinZ = F cos Z = F cos X = F cos X = F cosY = F cosY = F cosZ = F cosZ = F cosx xy yz zX XZ ZY YF F X XZ ZY YF F x xy yz z 2. 2. 回想力对点的矩回想力对点的矩力力F F 对点对点O O的矩矢为定位矢量的矩矢为定位矢量MO(F)MO(F)ZYXzyxOkjiFrFM)(=(yZ=

2、(yZzY )i + (zX zY )i + (zX xZ)j + (xY xZ)j + (xY yX )k yX )k 大小为：大小为：|MO (F)|= Fh =2|MO (F)|= Fh =2OABOAB OABOAB为图中阴影部分的面积为图中阴影部分的面积 力对轴之矩是力对绕该定轴转力对轴之矩是力对绕该定轴转动的物体作用效果的度量动的物体作用效果的度量 门上作用一个力门上作用一个力 F F 假定门绕假定门绕 z z 轴旋转轴旋转 将力将力 F F 向向 z z 轴和轴和 xy xy 面面分解成两个分力分解成两个分力 Fz Fz 和和 FxyFxy。 分力分力 Fxy Fxy 使门绕使门

3、绕 z z 轴旋轴旋转。转。 FxyFxyFzFzz zx xy yO Oz z力对轴的矩之定义力对轴的矩之定义 正负可以按右手法那么确正负可以按右手法那么确定定 F FFxyFxyFzFzA AB Bh h 即即 M z ( F ) M z ( F ) = M O ( Fxy ) = M O ( Fxy ) = = Fxy h Fxy h = = 2 2OAB OAB 力对轴的矩等于零的情形：力对轴的矩等于零的情形： 力与轴相交力与轴相交( h = 0 )( h = 0 ) 力与轴平行力与轴平行( Fxy = 0 )( Fxy = 0 )一句话一句话: : 只需力与轴共面只需力与轴共面, ,

4、力力对轴的矩等于零。对轴的矩等于零。FxyFxyFxyFxyFzFzFxyFxyFxyFxyFzFzFxyFxy 力对轴的矩是一个代数力对轴的矩是一个代数量，其绝对值等于该力在垂量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对直于该轴的平面上的投影对于此平面与该轴的交点的矩于此平面与该轴的交点的矩的大小。顶着坐标轴看力使的大小。顶着坐标轴看力使物体绕轴逆时针旋转为正。物体绕轴逆时针旋转为正。力对轴的矩之解析表达式力对轴的矩之解析表达式设空间中有一个力设空间中有一个力 F Fy yx xy yx xO Oz zFxFxFyFyFxyFxyX XY YZ ZF FA(x, y, z)A(x, y,

5、 z)力作用点力作用点 A A的坐标为的坐标为x x，y y，z z 力力 F F 在三坐标轴的投影分别为在三坐标轴的投影分别为 X,Y ,Z X,Y ,Z A(x, y, z)A(x, y, z)A(x, y, z)A(x, y, z)根据合力矩定理，得根据合力矩定理，得M z ( F ) = M O ( Fxy )M z ( F ) = M O ( Fxy ) = M O ( Fy ) + M O (Fx ) = M O ( Fy ) + M O (Fx ) = x Y = x Y y X y X 按一样方法可求得的其他两式，合并写成：按一样方法可求得的其他两式，合并写成： M x ( F

6、 ) = y Z M x ( F ) = y Z z Y z Y M y ( F ) = z XM y ( F ) = z Xx Zx ZM z ( F ) = x Y M z ( F ) = x Y y Xy XX XY YZ ZX XY YZ Z 力对点的矩和力对轴的矩的关系力对点的矩和力对轴的矩的关系 力对点的矩矢量可以写成：力对点的矩矢量可以写成： 可得可得 M O ( F ) x = M x ( F ) M O ( F ) x = M x ( F ) M O ( F ) y = M y ( F ) M O ( F ) y = M y ( F ) M O ( F ) z = M z (

7、 F ) M O ( F ) z = M z ( F ) M O ( F ) M O ( F ) = M O ( F )x i + M O ( F )y j + M O ( F )z k= M O ( F )x i + M O ( F )y j + M O ( F )z k = ( yZ = ( yZ zY )i + ( zX zY )i + ( zX xZ )j + ( xY xZ )j + ( xY yX )k yX )k 而而 M x ( F ) = yZ M x ( F ) = yZ zY zY M y ( F ) = zX M y ( F ) = zX xZ xZ M z ( F )

8、 = xY M z ( F ) = xY yX yX 力对点O的矩的大小为222)()()()(FFFFMzyxOMMM)()(cosFMFOxM)()(cosFMFOyM)()(cosFMFOzM 力对点O的矩的方向余弦为图中力F的大小为10kN，求的力 F 在 x、y、z三坐标轴的投影，以及对三坐标轴的矩和对O点的矩。(长度单位为m)Oxyz例 5-1i ij jk k解：1、先求F的三个方向余弦2545434),cos(222iF215435),cos(222jF2535433),cos(222kFA(4,9,5)534F F F F F F)kN(2410254),cos(iFFX)k

9、N(251021),cos(jFFY)kN(2310253),cos(kFFZ2、求力的投影3、求力对轴的矩Oxyzi ij jk kA(4,9,5)534F F F FF Fm)(kN252)25(5239)(zYyZMxFm)(kN232234)24(5)(xZzXMyFm)(kN216)24(9)25(4)(yXxYMzF已算得：(kN)24X(kN)25Y(kN)23Z求力对轴的矩也可以先将力 F 分解为三个分力，再由合力矩定理分别求出力对轴的矩4、求力F对O点的矩由 MO (F ) = M x i + M y j + M z k 得：kjiFM216232252)(O即)(26.89

10、)(222mkNMMMMzyxOF82. 0)()(,cos(FMFMiOxOM51. 0)()(,cos(FMFMjOyOM25. 0)()(,cos(FMFMkOzOM手柄手柄 ABCE ABCE 在平面在平面 Axy Axy内，在内，在D D 处作处作用一个力用一个力F F，它垂直，它垂直y y轴，偏离铅垂线的角度为轴，偏离铅垂线的角度为 ，假，假设设CD = aCD = a，BCxBCx轴，轴，CE yCE y轴，轴，AB = BC = lAB = BC = l。求力。求力F F对对x x、y y和和z z三轴的矩。三轴的矩。例 5-2CDEAxzyF FB显然，显然， Fx = Fs

11、in Fx = Fsin Fz = Fcos Fz = Fcos由合力矩定理可得：由合力矩定理可得：C CD DE EA Ax xz zy y B B解法解法1 1将力将力F F沿坐标轴分解沿坐标轴分解为为Fx Fx 和和FzFz。FxFxFzFzM x ( F ) = M x ( Fz ) = -F z (AB+CD) = - F ( l + a )cosM x ( F ) = M x ( Fz ) = -F z (AB+CD) = - F ( l + a )cosM y ( F ) = M y ( Fz ) = - F z (BC) = - Fl cosM y ( F ) = M y (

12、Fz ) = - F z (BC) = - Fl cosM z ( F ) = M z ( Fx) = -F x (AB+CD) = -F ( l + a )sinM z ( F ) = M z ( Fx) = -F x (AB+CD) = -F ( l + a )sinFxFxFzFzFxFxFzFz解法解法2 2直接套用力对轴直接套用力对轴之矩的解析表达式：之矩的解析表达式：力在力在 x x、y y、z z轴轴的投影为的投影为X = F sin X = F sin Y = 0Y = 0Z = - F cos Z = - F cos C CD DE EA Ax xz zy y B BFxFx

13、FzFzM x( F )=yZM x( F )=yZzY =(l + a)(- Fcos) - 0 =-F( l + a )coszY =(l + a)(- Fcos) - 0 =-F( l + a )cosM y ( F ) =zX M y ( F ) =zX xZ = 0 - ( -l ) (- Fcos) = - Flcos xZ = 0 - ( -l ) (- Fcos) = - FlcosM z ( F ) = xYM z ( F ) = xYyX =0-(l + a )(Fsin)= -F( l + a )sinyX =0-(l + a )(Fsin)= -F( l + a )si

14、nnii1FRniiOO1)(FMMOF3 F1 F2 OF1 , M1F2 , M2F3 , M3 OR , Mo O : O : 简化中心简化中心R = F1 + F2 + F3; M o= M1 + M2 + M3 ; R = F1 + F2 + F3; M o= M1 + M2 + M3 ; 结论 空间恣意力系向一点简化，可得一力和一个力偶。这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线经过简化中心O；这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。 主矢与简化中心无关；主矩与简化中心的位置有关。222)()()(ZYXRRZRYRX/),cos(;/),cos(;/),cos(kRjRiR22

15、2)()()(FFFzyxOMMMMOzOOyOOxOMMMMFkMMFjMMFiM/ )(),cos(;/ )(),cos(;/ )(),cos(1 1、空间力系简化为一个合力偶、空间力系简化为一个合力偶 主矢主矢R R = 0 = 0；主矩；主矩MO 0MO 0 主矩与简化中心无关。主矩与简化中心无关。2 2、空间力系简化为一个合力、空间力系简化为一个合力 主矢主矢R R 0 0；主矩；主矩MO = 0MO = 0 合力的作用线经过简化中心。合力的作用线经过简化中心。 主矢主矢R R 0 0；主矩；主矩MO 0 MO 0 且且 MO R MO R 取 d= |MO| / ROOO合力矩定理

16、 R =Fi ，d= |MO| / R力偶R，R的矩MO等于R 对O点的矩，即 MO = MO(R) ，而又有 MO = MO(F)得关系式 MO( R ) = MO(F )即：空间恣意力系的合力对于恣意一点的矩等于各分力对同一点的矩的矢量和。将上式向恣意轴投影如 z 轴得： Mz ( R ) = M z( F )OOO3 3、空间力系简化为力螺旋的情形、空间力系简化为力螺旋的情形 主矢R 0；主矩MO 0且MO RR RR R , ,R RR RMMO OMMO OMMO OMMO O右螺旋左螺旋 力螺旋就是由一个力和一个力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶作用面 力螺旋的力作用线称为力螺旋的

17、中心轴 力螺旋由两个力学根本要素组成，不能进一步合成当主矩MO与主矢R即不平行也不正交时 MO = MO sin；MO = MO cos MO和R组成力螺旋，其中心轴距O点的间隔为：OOOMMO OMMO OMMO OMMO ORMRdOO sinM4 4、空间力系简化为平衡的情形、空间力系简化为平衡的情形 主矢R = 0；主矩M O = 0 空间力系平衡的充分必要条件： 一切力在三个坐标轴中的每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也为零。 除了上述的根本方程，还有所谓的 4 力矩、5力矩和 6 力矩式。0)()()(222ZYXR0)()()(222FFFzy

18、xOMMMM由：0)(; 0)(; 0)(0; 0; 0FFFzyxMMMZYX得：几种特殊情形平衡规律几种特殊情形平衡规律 汇交力系汇交力系有三个平衡方程：有三个平衡方程： X = 0 X = 0，Y= 0Y= 0，Z = 0Z = 0平行力系假定力的作用线平行平行力系假定力的作用线平行 z z 轴轴 X0 X0，Y0 Y0 ，Mz 0Mz 0 平行力系有三个平衡方程：平行力系有三个平衡方程： Z = 0 Z = 0，M x = 0 M x = 0 ，M y = 0M y = 0平面普通力系假定力的作用面为平面普通力系假定力的作用面为OxyOxy面面 Z0 Z0 ，Mx 0 Mx 0 ，My

19、 0My 0 平面普通力系有三个平衡方程：平面普通力系有三个平衡方程： X = 0 X = 0，Y= 0Y= 0，M z = 0M z = 0例 5-3 均质长方形薄板重 W = 200N，用球形铰链A和蝶形铰链 B 固定在墙上，并用二力杆 EC 将板维持程度。求 EC 杆的拉力和铰链的反力。WW解：受力分析如图解：受力分析如图CADBabyxzE3060 X = 0 X = 0，XA + XBXA + XBT cos30 sin30 = T cos30 sin30 = 0 0 Y = 0 Y = 0，YA YA T cos30 cos30 = 0 T cos30 cos30 = 0 Z =

20、0 Z = 0，ZA + ZB ZA + ZB W + T sin30 = 0W + T sin30 = 0WWZBZBXBXBZAZAYAYAXAXAT TC CA AD DB Ba ab bE E30306060ZAZAYAYAXAXAZAZAYAYAXAXAZAZAYAYAXAXAZBZBXBXBT TZBZBXBXBT TZBZBXBXBT TMz ( F ) = 0Mz ( F ) = 0， X B a = 0 X B a = 0M x ( F ) = 0M x ( F ) = 0，Z B a +T sin30Z B a +T sin30 a a W a / 2 = 0 W a /

21、2 = 0M y ( F ) = 0M y ( F ) = 0，W b / 2 W b / 2 T sin30 T sin30 b = 0 b = 0 解之得：解之得：XA = 86.6NXA = 86.6N，YA = 150NYA = 150N， ZA = 100N ZA = 100N X B = 0 X B = 0， Z B = 0 Z B = 0 ， T = 200N T = 200NW = 200NW = 200N在图中，皮带的拉力 F2 = 2F1，曲柄上作用有铅垂力 F = 2000N。 知皮带轮的直径D = 400mm，曲柄长R = 300mm，= 30 ，=60 。求皮带拉力和轴承反力。例 5-4200mm200mm200mmDRF FF2F2F1F1AB解: 选坐标轴如图 (= 30 ，=60 )X = 0，F1sin30 + F2sin60 + XA + XB = 0Y = 0，0 = 0Z = 0，ZA + ZB - F - F1cos30 - F2cos60 = 0z yxzxF FRDF2F2F