高考数学一轮复习 第二章 函数 第九节 函数模型及其应用课件 文

1、第九节函数模型及其应用总纲目录教材研读1.几种常见的函数模型考点突破2.三种增长型函数模型的图象与性质3.解函数应用题的步骤（四步八字）考点二指数函数、对数函数模型考点一二次函数模型考点三函数y=ax+的模型充要条件的应用bx考点四分段函数1.几种常见的函数模型几种常见的函数模型教材研读教材研读函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a、b为常数,且a0)反比例函数模型f(x)=(k为常数且k0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a0)指数函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b0,a0且a1)对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常

2、数,b0,a0且a1)幂函数模型f(x)=axn+b(a,b为常数,且a0)kx抽象函数的性质特殊函数模型f(x+y)=f(x)+f(y)(x0,y0);f(x-y)=f(x)-f(y)(x0,y0)正比例函数f(x)=kx(k0)f(x)f(y)=f(x+y)(x,yR); =f(x-y)(x,yR, f(y)0)指数函数f(x)=ax(a0,且a1)f(xy)=f(x)+f(y)(x0,y0);f=f(x)-f(y)(x0,y0)对数函数f(x)=logax(a0,且a1)f(xy)=f(x)f(y)(x,yR);f=(x,yR,y0)幂函数f(x)=xn( )( )f xf yxyxy(

3、 )( )f xf y常见抽象函数的性质与对应的特殊函数模型的对照表常见抽象函数的性质与对应的特殊函数模型的对照表2.三种增长型函数模型的图象与性质三种增长型函数模型的图象与性质函数性质y=ax(a1)y=logax(a1)y=x(0)在(0,+)上的增减性 增函数增函数增函数增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越快越来越慢越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与 y轴轴平行随x增大逐渐表现为与x轴轴平行随值变化而不同值的比较存在一个x0,当xx0时,有logaxxax3.解函数应用题的步骤解函数应用题的步骤(四步八字四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选

4、择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:1.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据:与这组数据最吻合的函数模型是()A.一次函数模型 B.幂函数模型C.指数函数模型 D.对数函数模型x45678910y15171921232527答案答案 A根据已知数据可知,自变量每增加1,函数值增加2,因此函数值的增量是均匀的,故为一次函数模型.A2.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间

5、加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是() C答案答案 C小明匀速行驶时,图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.故选C.3.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个),这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过()A.12小时 B.4小时 C.3小时 D.2小时答案答案 C设需经过t小时,由题意知24t=4 096,即16t=4 096,解得t=3.C4.某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元.销售额x为64万元时,奖励4万元.若公

6、司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为 万元.1024答案答案1 024解析解析依题意得即解得所以y=2log4x-2.当y=8时,2log4x-2=8,解得x=1 024(万元).44log 81,log 644,abab31,234,abab2,2.ab 5.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.3元,普通车存车费是每辆一次0.2元.若普通车存车量为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式为 .y=-0.1x+1200,x0,4000答案答案 y=-0.1x+1 200,x0,4 000

7、解析解析由题意知,y=0.2x+0.3(4 000-x)=-0.1x+1 200,其中x0,4 000.6.用长度为24的材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图),要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为 . 3答案答案3解析解析设隔墙的长度为x,矩形的面积为S,则S=(12-2x)x=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,当x=3时,S取最大值.典例典例1某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120吨(0t24).(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?(2)若蓄水池中水量少于80

8、吨时,就会出现供水紧张现象,则在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象?6t考点一二次函数模型考点一二次函数模型考点突破考点突破解析解析(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨,则y=400+60t-120,令=x,则x2=6t,6t6t即y=400+10 x2-120 x=10(x-6)2+40,所以当x=6,即t=6时,ymin=40,即从供水开始到第6小时时,蓄水池中的存水量最少,只有40吨.(2)由(1)及题意有400+10 x2-120 x80,得x2-12x+320,解得4x8,即48,t200,则lg130(1+12%)n-1lg 200,lg 130+(n-1)lg 1.12l

9、g 2+2,2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12lg 2+2,0.11+(n-1)0.050.30,解得n,又nN*,n5,该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.故选B.245规律总结规律总结一般地,涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等,都可以考虑用指数函数的模型求解.求解时注意指数式与对数式的互化,指数函数的值域的影响以及实际问题中的条件限制.2-1一种放射性元素的质量按每年10%衰减,这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期)是(精确到0.1,已知lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)()A.5.2 B.6.6

10、 C.7.1 D.8.3答案答案 B设这种放射性元素的半衰期是x年,则(1-10%)x=,化简得0.9x=,即x=log0.9=6.6(年).故选B.1212121lg2lg0.9lg22lg3 10.301 02 0.477 1 1B考点三考点三函数函数y=ax+的模型的模型bx典例典例3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系C(x)=(0 x10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建

11、造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式;(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.35kx解析解析(1)由已知条件得C(0)=8,则k=40,因此f(x)=6x+20C(x)=6x+(0 x10).(2)f(x)=6x+10+-102-10=70,当且仅当6x+10=,即x=5时,等号成立.所以当隔热层厚度为5 cm时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万元.80035x80035x800(610)35xx80035x规律总结规律总结应用函数y=ax+模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=叠加而成的.(2)

12、解决实际问题时一般可以直接建立f(x)=ax+的模型,有时可以将所列函数关系式转化为f(x)=ax+的形式.(3)利用模型f(x)=ax+求解最值时,要注意自变量的取值范围,及取得最值时等号成立的条件.bxbxbxbxbx3-1某养殖场需定期购买饲料,已知该场每天需要饲料200千克,每千克饲料的价格为1.8元,饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元,购买饲料每次支付运费300元.求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.解析解析设该场x(xN*)天购买一次饲料,平均每天支付的总费用为y元.因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少2000.03=6(元),所以x天饲料的保管

13、费与其他费用共是6(x-1)+6(x-2)+6=(3x2-3x)元.从而有y=(3x2-3x+300)+2001.8=+3x+357417,当且仅当=3x,即x=10时,y有最小值.故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.1x300 x300 x典例典例4国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定的75人为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数关系式;(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?考点四分

14、段函数考点四分段函数解析解析(1)设旅行团人数为x,由题得0 x75(xN*),飞机票的价格为y元,则y=(xN*),即y=(xN*).(2)设旅行社获利S元,则S=(xN*),即S=(xN*).900,030,900 10(30),3075xxx900,030,1 200 10 ,3075xxx90015 000,030,(1 200 10 ) 15 000,3075xxxxx290015 000,030,10(60)21 000,3075xxxx因为S=900 x-15 000在区间(0,30上为单调增函数,故当x=30时,S取最大值12 000,又S=-10(x-60)2+21 000的

15、定义域为(30,75,当x=60时,S取得最大值21 000.故当x=60时,旅行社可获得最大利润.规律总结规律总结1.在很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式表示,这时就需要构建分段函数模型,如出租车的收费与路程的关系.2.求函数的最值常利用基本不等式、导数、函数的单调性等.在求分段函数的最值时,应先求每一段上的最值,然后比较得最大值或最小值.4-1 (2018山东济南质检)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成交通堵塞,此时车流速度为0千米

16、/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当20 x200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0 x200时,求函数v(x)的表达式;(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=xv(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)解析解析(1)由题意可知当0 x20时,v(x)=60;当20 x200时,设v(x)=ax+b(a0),显然v(x)=ax+b在20,200上是减函数,由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)=(2)依题意及(1)可得2000,2060,abab1,3200,3ab 60,020,1(200),20200.3xxxf(x)=当0 x20时, f(x)为